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2016届高三湖北省八校第一次联考文科数学试卷及答案


2016 届高三第一次联考 数学试题(文科)
第 I 卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的. 1.已知集合 A ? y y ? x A. ? 0, 2?

?

2

? , B ? ?x y ? lg ? 2 ? x ?? ,则 A ? B ?
C. ? ??, 2? D. ? ??,2?

B. ? 0, 2 ?

ix 2.欧拉公式 e ? cos x ? i sin x ( i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的,它将指数函数的定义域扩大到复数,

建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”. e 在复平面 中表示的复数位于 A.第一象限 B.第二象限 3.已知 f ? x ? ? ? x ? sin x ,命题 p : ?x ? (0, A. p 是假命题, ?p : ?x ? (0, C. p 是真命题, ?p : ?x ? (0,

2i

?

C.第三象限

D.第四象限

?
?
2

2

), f ( x) ? 0 ,则
B. p 是假命题, ?p : ?x0 ? (0, D. p 是真命题, ?p : ?x0 ? (0,

), f ( x) ? 0
), f ( x) ? 0

?
?
2
2

), f ( x) ? 0
), f ( x) ? 0

2

4.设 {an } 是等差数列, S n 是其前 n 项和,且 S5 ? S6 , S6 ? S7 ? S8 ,则下列结论错误的是 A. d ? 0 B. a7 ? 0 C. S9 ? S5 D. S6与S7均为Sn的最大值
3

5.若偶函数 f ( x) 在 ( ??, 0] 上单调递减, a ? f (log 2 3), b ? f (log 4 5), c ? f (2 2 ) ,则 a , b, c 满足 A. a ? b ? c B. b ? a ? c C. c ? a ? b D. c ? b ? a 6.已知正数 x, y 满足 ? A. 2

?2 x ? y ? 0 , 则 z ? ?2 x ? y 的最小值为 ?x ? 3y ? 5 ? 0
B. 0 C. ?2 D. ?4

7.在等腰 ?ABC 中, BC ? 4 , AB ? AC , BA ? BC ? A. ? 4 B.4 C. ? 8 错误!未找到引用源。D. 8
2 3

??? ? ??? ?

8.要得到函数 f ( x) ? cos( 2 x ?

?
3

) 的图象,只需将函数 g ( x) ? sin( 2 x ?
B.向右平移 D.向右平移

?
3

) 的图象

? 个单位长度 2 ? C.向左平移 个单位长度 4
A.向左平移 A. 60 ? 4 3 ? 2 21

? 个单位长度 2

? 个单位长度 4
2 3

9.已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形,如图所示.则该几何体的表面积等于 B. 60 ? 2 3 ? 2 21 C. 60 ? 2 3 ? 4 21 D. 60 ? 4 3 ? 4 21

?2x ? 2, x ? 1, 10.函数 f ( x) ? ? 且 f (a) ? ?3, 则 f (5 ? a) ? ?? log2 ( x ? 1), x ? 1,
A. ?

7 5 3 B. ? C. ? 4 4 4

D. ?

1 4

11.点 P 从点 O 出发,按逆时针方向沿周长为 l 的图形运动一周, O, P 两点连线的距离 y 与点 P 走过的路程 x 的函 数关系如图,那么点 P 所走的图形是

第 11 题图

12.若函数 y ? f ? x ? 对任意 x ? ( ? A. 2 f ( ?

? ?

, ) 满足 f ? ? x ? cos x ? f ? x ? sin x ? 0, 则下列不等式成立的是 2 2

?

) ? f (? ) B. 2 f ( ) ? f ( ) C. f (0) ? 2 f ( ) D. f (0) ? 2 f ( ) 3 4 3 4 3 4 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)

?

?

?

?

?

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.
2 13.在平面直角坐标系中,角 ? 终边过点 P ? 2,1? ,则 cos ? ? sin 2? 的值为.

14.已知向量 a ? (2,1), b ? (2, ?3), 且 (ka ? b) // (a ? 3b) ,则实数 k 等于. 15.函数 y ? 2ax ? 1 在 [0, 2] 上的最大值是 7,则指数函数 y ? a 在 [0,3] 上的最大值与最小值之和为.
x

?

?

? ?

?

?

2 用一个单独的符号表示以外,其它分数都要写成若干个单分数和的形式.例 3 2 1 1 1 1 1 1 如 ? ? , 可以这样理解:假定有两个面包,要平均分给 5 个人,如果每人 ,不够,每人 ,余 ,再将这 分 5 3 15 2 3 3 3 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 成 5 份,每人得 ,这样每人分得 ? .形如 (n ? 5,7,9,11,?) 的分数的分解: ? ? , ? ? , ? ? , 按 5 3 15 7 4 28 9 5 45 n 15 3 15
16.埃及数学中有一个独特现象:除 此规律,

2 2 (n ? 5,7,9,11,?) . ; ? ? 11 _______________ n ______________

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)在等比数列 ?an ? 中,公比 q ? 1 , a2 ? 2 ,前三项和 S3 ? 7 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;(Ⅱ)记 bn ? log 2 an , cn ?

1 ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . bn ?1 ? bn ? 2

18. (本小题满分 12 分)如图, 在平面直角坐标系 xOy 中,?CAB ? 60? , AC ? 4, BC ? 2 7 . (Ⅰ)求△ ABC 的面积; (Ⅱ)若函数 f ( x) ? M sin(?x ? ? )(M ? 0, ? ? 0, | ? | ?

? ) 的图像经过 2

A、C、B三点,且 A、B 为 f ( x) 的图像与 x 轴相邻的两个交点,求 f ( x) 的解析式 .

19. (本小题满分 12 分)如图, 已知长方形 ABCD 中, AB ? 2 2 , AD ? 折起,使得平面 ADM ? 平面 ABCM . (Ⅰ)求证: AD ? BM ; (Ⅱ)若点 E 是线段 DB 上的一动点, 问点 E 在何位置时,三棱锥 E ? ADM 的体积 与四棱锥 D ? ABCM 的体积之比为 1:3?

2 ,M 为 DC 的中点.将 ?ADM 沿 AM

第 19 题图

20. (本小题满分 12 分)小明同学制作了一个简易的网球发射器,可用于帮忙练习定点接发球,如图 1 所示,网球场前 半区、后半区总长为 23.77 米,球网的中间部分高度为 0.914 米,发射器固定安装在后半区离球网底部 8 米处中轴线 上,发射方向与球网底部所在直线垂直. 为计算方便,球场长度和球网中间高度分别按 24 米和 1 米计算,发射器和网球大小均忽略不计.如图 2 所示,以 发射器所在位置为坐标原点建立平面直角坐标系 xOy ,x 轴在地平面上的球场中轴线上,y 轴垂直于地平面,单位长 度为 1 米,已知若不考虑球网的影响,网球发射后的轨迹在方程 y ?

1 1 kx ? (1 ? k 2 ) x 2 (k ? 0) 表示的曲线上,其中 2 80

k 与发射方向有关.发射器的射程是指网球落地点的横坐标.
(Ⅰ )求发射器的最大射程; (Ⅱ)请计算 k 在什么范围内,发射器能将球发过网(即网球飞行到球网正上空时,网球离地距离大于 1 米)?若 发射器将网球发过球网后,在网球着地前,小明要想在前半区中轴线的正上空选择一个离地面 2.55 米处的击球点正 好击中网球,试问击球点的横坐标 a 最大为多少?并请说明理由.

图1
第 20 题图

图2
x

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? e , x ? R . (Ⅰ)若直线 y ? kx 与 f ( x ) 的反函数的图象相切,求实数 k 的值; (Ⅱ)若 m ? 0, 讨论函数 g ? x ? ? f ( x) ? mx 零点的个数.
2

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用 2B

铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1 几何证明选讲: 如图,BC 是圆 O 的直径, 点 F 在弧 BC 上, 点 A 为弧 BF 的中点, 作 AD ? BC 于点 D ,

BF 与 AD 交于点 E , BF 与 AC 交于点 G .
(Ⅰ)证明: AE ? BE ;(Ⅱ)若 AG ? 9, GC ? 7 ,求圆 O 的半径. . 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4 坐标系与参数方程: 已知曲线 C 的极坐标方程为 2 ? sin ? ? ? cos ? ? 10 . 曲线 C1 : ? (Ⅰ)求曲线 C1 的普通方程; (Ⅱ)若点 M 在曲线 C1 上运动,试求出 M 到曲线 C 的距离的最小值. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5 不等式选讲: 已知函数 f ( x) ? | x ? 10 | + | x ? 20 |,且满足 f ( x) ? 10a ( a ? R )的解集不是空集. (Ⅰ)求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)求 a ?
第 22 题图

? x ? 3cos ? ( ? 为参数). ? y ? 2sin ?

4 的最小值. a2

湖北省 八校 襄阳四中 襄阳五中 孝感高中 黄冈中学 2016 届高三第一次联考 数学试题(文科)参考答案
一、选择题 二、填空题 三、解答题
17.(Ⅰ) q ? 1, 时, a2 ? a1q ? 2 ; BBDCB DDCAA CA

鄂南高中 华师一附中 黄石二中

荆州中学

8 ; 5

1 ? ; 9; 3

1 1 1 1 , (3 分) ? ? (2 分) n ? 1 n(n ? 1) 6 66 2 2

S3 ? a1 (1 ? q ? q ) ? 7
2

? a1 ? 1 得? ?q ? 2

………………4 分

an ? 2n?1

………………6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)中, an ? 2n?1 , bn ? log2 an ? log2 2n?1 ? n ?1 …………8 分

∴ cn ?

1 1 1 1 ? ?( ? ) bn?1 ? bn? 2 n ? (n ? 1) n n ? 1

………………10 分

1 1 1 1 1 1 n ) ?1? ? ∴ Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ……12 分 2 2 3 n n ?1 n ?1 n ?1
18.(Ⅰ)在△ABC 中由余弦定理可知:

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos

?
3

………………2 分 ………………4 分 ………………6 分

∴ c2 ? 4c ? 12 ? 0 ?c ? AB ? 6
1 ? ? 4 ? 6 sin ? 6 3 2 3 (Ⅱ) T=2×6=12, ? ∴?? 6 S ?ABC ?

………………8 分

? ? ? ? 1 ? ? ) ? M ? sin( ? ?) ? 1 ,? ? ? ? 2k ? ? , k ? Z 6 6 6 2 ? ? ………………10 分 ? ? ? ,?? ? . 2 3

∵ f (1) ? M sin(

?

又? f (0) ? M sin

?

3

? 2 3 ,? M ? 4

? f ( x) ? 4 sin(

?
6

x?

?
3

) .

………………12 分

19.(Ⅰ) 证明:∵长方形 ABCD 中,AB= 2 2 ,AD= 2 ,M 为 DC 的中点, ∴AM=BM=2,∴BM⊥AM. ………………2 分 ∵平面 ADM⊥平面 ABCM,平面 ADM∩平面 ABCM=AM,BM? 平面 ABCM ∴BM⊥平面 ADM ∵AD? 平面 ADM ∴AD⊥BM ………………6 分 (Ⅱ)E 为 DB 的中点.

………………7 分 ………………12 分

1 1 1 2 1 VE ? ADM ? VB ? ADM ? VD ? ABM ? ? VD ? ABCM ? VD ? ABCM 2 2 2 3 3
20.(Ⅰ)由

1 1 40k kx ? (1 ? k 2 ) x 2 ? 0 得: x ? 或 x ? 0 ,………………2 分 2 80 1? k 2 40 40 由x? ? ? 20 ,当且仅当 k ? 1 时取等号. 1 2 k? k
因此,最大射程为 20 米; (Ⅱ)网球发过球网,满足 x ? 8 时 y ? 1 . 所以 4k ? ………………5 分

4 (1 ? k 2 ) ? 1 ,即 4k 2 ? 20k ? 9 ? 0 , 5 1 9 因此 ? k ? 2 2

………………8 分

依题意:关于 k 的方程
2 2 2

1 1 ?1 9? ka ? (1 ? k 2 )a 2 ? 2.55 在 ? , ? 上有实数解 2 80 ?2 2?
………………9 分

即 a k ? 40ak ? a ? 204 ? 0
2 a2 k 2? 4 0 a k ? a ? 2 0 4 (a ? 0)

? ?1 6 0 a 02 ? a 42? a 2 ? 2?0 4?
得 a ? 14 , 此时 k ?

0
………………11 分

10 ,球过网了, 7
………………12 分

所以击球点的横坐标 a 最大为 14 20.(Ⅰ) f ? x ? 的反函数为 y ? ln x, 设切点为 ? x0 ,ln x0 ? , 则切线斜率为 k ?

1 1 ln x0 ? , 故 x0 ? e, k ? . ………………4 分 e x0 x0
2 2

(Ⅱ) 函数 g ( x) ? f ( x) ? mx 的零点的个数即是方程 f ( x) ? mx ? 0 根的个数,

等价于两个函数 h( x) ?

ex 与函数 y ? ?m图象交点的个数. x2

e x ( x ? 2) h ( x) ? x3
'

………………6 分

x ? (??,0), h' ( x) ? 0, h( x) 在 (??, 0) 上单调递增;
当 x ? (0,2) 时, h' ( x) ? 0, , h( x) 在(0,2)上单调递减; 当 x ? (2,??) 时, h' ( x) ? 0, , h( x) 在(2,+∞)上单调递增, ∴ h( x) 在 (0,??) 上有最小值为 h(2) ?

e2 .………………9 分 4

当 m ? (?

e2 ex , 0) 时,函数 h( x) ? 2 与函数 y ? ?m图象交点的个数为 1; 4 x

当m ? ?

e2 ex 时,函数 h( x) ? 2 与函数 y ? ?m图象交点的个数为 2; 4 x e2 ex ) 时,曲函数 h( x) ? 2 与函数 y ? ?m图象交点的个数为 3. ………………11 分 4 x e2 ) 时,函数 g ( x) 有三个零点; 4

当 m ? ( ??, ?

综上所述,当 m ? ( ??, ?

当m ? ?

e2 时,函数 g ( x) 有两个零点; 4

e2 当 m ? ( ? , 0) 时函数 g ( x) 有一个零点.………………12 分 4
? 的中点, 22.证明: (1)连接 AB ,因为点 A 为 BF

? ?? AF ,??ABF ? ?ACB 故 BA
又因为 AD ? BC , BC 是 ? O 的直径,

……………2 分 ……………4 分

??BAD ? ?ACB

?? A B F ? ?B A D
2

? AE ? BE

……………5 分 (2)由 ?ABG ? ?ACB 知 AB ? AG ? AC ? 9 ?16 ……………8 分 AB ? 12
直角 ?ABC 中由勾股定理知 BC ? 20 ……………9 分

圆的半径为 10 23.(Ⅰ)曲线 C1 的普通方程是:

…………10 分

x2 y2 ? ? 1 ……………4 分 9 4

(Ⅱ)曲线 C 的普通方程是: x ? 2 y ? 10 ? 0

……………5 分

设点 M (3cos ? , 2sin ? ) ,由点到直线的距离公式得

d?

3cos ? ? 4sin ? ? 10 5

?

3 4 1 5cos(? ? ? ) ? 10 其中 cos ? ? ,sin ? ? ………9 分 5 5 5

9 8 ?? ? ? ? 0 时, dmin ? 5 ,此时 M ( , ) 5 5

………10 分

24.(Ⅰ)要 x ?10 ? x ? 20 ? 10a 的解集不是空集,则 ( x ?10 ? x ? 20 )min ? 10a

………2 分

?10 ? 10a,? a ? 1
(Ⅱ) a ? 1 时, a ?

………5 分 ………7 分

4 a a 4 ? ? ? a2 2 2 a2

a a 4 a a 4 a 4 ? ? 2 ? 3 3 ? ? 2 ? 3 当且仅当 ? 2 ,即 a ? 2 时等号成立。 ………9 分 2 2 a 2 2 a 2 a
所以 a ?

4 的最小值为 3 a2

………10 分


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