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高2014级周末检测(9)(教师版)


参考答案

高 2014 级周末检测(9)
一.选择题. (每小题 5 分,共 50 分) 1.已知集合 M={x|(x-1) < 4,x∈N} ,P={-1,0,1,2,3} ,则 M∩P=( A.{0,1,2} B.{-1,0,1,2} C.{-1,0,2,3}
2



D.{ 0,1,2,3}

2. “函数 f ( x) ? kx ? 2 在区间 ?? 1, 1? 上存在零点”是“ k ? 3 ”的(



A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

?? log x ( x ? 0) 2 ? 3.已知函数 f ( x) ? ? ,则不等式 f (x ) ? 0 的解集为( ) ?1 ? x 2 ( x ? 0) ?
A. {x | 0 ? x ? 1} B. {x | ?1 ? x ? 0} C. {x | ?1 ? x ? 1} D. {x | x ? ?1} ( )

4.在四边形 ABCD 中, AC ? (1, 2) , BD ? (?4, 2) ,则四边形的面积为 A. 5
2

B. 2 5

C .5

D.10

5.函数 f ( x) ? ax ? (a ? 1) x ? 3 在区间 ?? 1, ? ? ? 上是增函数,则实数 a 的取值范围

是(

) B. ?? ?, 0?
? 1? C. ? 0, ? ? 3?
a5 的值为( a3

1? ? A. ? ? ? , ? 3? ?

? 1? D. ?0, ? ? 3?
)

6.设 S n 是等差数列{an}的前 n 项和, S5 ? 3(a2 ? a8 ) ,则

A.

1 6

B.

1 3

C.

3 5

D.

5 6 π )的部分图象如右图所示,为了得到 2

7.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其中 A ? 0, ? ?

g ( x) ? sin 2 x 的图象,则只需将 f ( x) 的图象( )

π 个长度单位 6 π C.向左平移 个长度单位 6
A.向右平移

π 个长度单位 12 π D.向左平移 个长度单位 12
B.向右平移

8.已知集合 A ? {x | a ? 4 x ? 2 x ?1 ? 1 ? 0}, B ? {x |

2x ? 1} ,若 A B ? ? ,则实数 a 的取值 x ?1

第 1 页 共 1 页

参考答案

范围为( B) A、 ( ,8]

5 4

B、 [ ,8)

5 4

C、 [ ,8]

5 4

D、 ( ,8)

5 4

9 .已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数 , 且在区间 [0, ??) 单调递增 . 若实数 a 满足 C ) f (log 2 a) ? f (log 1 a) ? 2 f (1) , 则 a 的取值范围是(
2

(A) [1, 2]

? 1? (B) ? 0, ? ? 2?

?1 ? (C) ? , 2 ? ?2 ?

(D) (0, 2] )

10.已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? bx ? c ,下列结论中错误的是( A. ?x0 ? R, f ( x0 ) ? 0 B . 函数 y ? f ( x ) 的图像是中心对称图形

C.若 x0 是 f ( x) 的极小值点,则 f ( x) 在区间 (??, x0 ) 上单调递减 D.若 x0 是 f ( x) 的极值点,则 f '( x0 ) ? 0 二.填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11.设 m ? R , m ? m ? 2 ? (m ? 1)i 是纯虚数,其中 i 是虚数单位,则 m ? ________
2 2

【答案】 m ? ?2 .

12.已知函数 f ( x) 是 (??, ??) 上的偶函数,若对于 x ? 0 ,都有 f ( x ? 2) ? f ( x) , 且当 x ? [0, 2) 时, f ( x) ? log 2 ( x ? 1 ,则 f (?2012) ? f (2013) = ) 1

2 13. 已 知 等 比 数 列 ?an ? 为 递 增 数 列 , 且 a5 ? a10 , 2(an ? an?2 ) ? 5an?1 , 则 数 列 的 通 项 公 式

an ? ______________.
考生注意:14、15、16 三题为选做题,请从中任选 2 题作答,若三题全做,则按前两题给分。 14.若不等式 kx ? 4 ? 2 的解集为 x 1 ? x ? 3 ,则实数 k ? __________. 15.曲线 C 的直角坐标方程为 x +y -2x=0,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立积坐标系,则 曲线 C 的极坐标方程为___________. 16.如图, 弦 AB 与 CD 相交于 O 内一点 E, 过 E 作 BC 的平行线与 AD 的延长线相交于点 P. 已 知 PD=2DA=2, 则 PE=_____.
2 2

?

?

B

C O E D A

P

第 2 页 共 2 页

参考答案

【答案】

6.

三.解答题. (16、17、18 每小题 13 分,19、20、21 每小题 12 分,共 75 分) 17.已知函数 f ( x) ? x ? 2 x ? a .
2

(1)当 a ? 0 时,画出函数 f ( x) 的简图,并指出 f ( x) 的单调递减区间; (2)若函数 f ( x) 有 4 个零点,求 a 的取值范围.
18.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流 速度 v (单位:千米/小时)是车流密度 x (单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度 达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0 千米/小时;当车流密度不超过 20 辆 /千米时,车流速度为 60 千米/小时.研究表明:当 20 ? x ? 200 时,车流速度 v 是车流 密度 x 的一次函数. (Ⅰ )当 0 ? x ? 200 时,求函数 v? x ? 的表达式; (Ⅱ )当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位: 辆/小时) f ? x ? ? x ? v? x ? 可以达到最大,并求出最大值。 (精确到 1 辆/小时) 解: (Ⅰ )由题意:当 0 ? x ? 20 时, v? x ? ? 60 ;当 20 ? x ? 200 时,设 v? x ? ? ax ? b ,

1 ? a?? ? ?200a ? b ? 0 ? 3 显然 v? x ? ? ax ? b 在 ?20,200?是减函数, 由已知得 ? , 解得 ? ?20a ? b ? 60 ?b ? 200 ? 3 ?
0 ? x ? 20, ?60, ? 故函数 v? x ? 的表达式为 v? x ? = ? 1 ?200 ? x ?, 20 ? x ? 200. ? ?3 0 ? x ? 20, ?60 x, ? (Ⅱ )依题意并由(Ⅰ )可得 f ? x ? ? ? 1 x?200 ? x ?, 20 ? x ? 200. ? ?3
当 0 ? x ? 20 时, f ? x ? 为增函数,故当 x ? 20 时,其最大值为 60 ? 20 ? 1200 ;

1 1 ? x ? ?200 ? x ? ? 10000 当 20 ? x ? 200 时, f ? x ? ? x?200 ? x ? ? ? , ? ? 3 3? 2 3 ?
2

当且仅当 x ? 200 ? x ,即 x ? 100 时,等号成立.

10000 . 3 10000 综上,当 x ? 100 时, f ? x ? 在区间 ?0,200? 上取得最大值 ? 3333 , 3
所以,当 x ? 100 时, f ? x ? 在区间 ?20,200?上取得最大值
第 3 页 共 3 页

参考答案

即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3333 辆/小时. 19.已知向量 a ? ? 1 ? 2 cos 2

? ?

?x

? ? ? ? , 1? , b ? ? ?1, cos(? x ? ) ? , ? ? 0 ,点 A、B 为函 2 3 ? ? ?

? ? 数 f ( x) ? a ? b 的相邻两个零点,AB=π .

(1)求 ? 的值; (2)若 f ( x) ?
3 ? ?? , x ? ? 0, ? ,求 sin x 的值; 3 ? 2?

? 3? ? (3)求 g ( x) ? f (2 x) ? 3 x 在区间 ?0, 上的单调递减区间. 2 ? ? ?

.解: (1) f ( x) ? 2 cos 2

?x

? 1 3 ? 1 ? cos(? x ? ) ? cos ? x ? cos ? x ? sin ? x 2 3 2 2
? ? ,………..3 分 ?

3 3 2? ? ? cos ? x ? sin ? x ? 3 sin ? ? x ? 2 2 3 ?

1 2? 由 AB ? ? ? T ,得 T ? 2? ? ,则 ? ? 1 ……………..4 分 2 ?

(2)由(1)得 f ( x) ? 3 sin( x ?

2? 3 2? 1 ,则 sin( x ? )? )? . 3 3 3 3

2? 2 2 ? ?? 由 x ? ? 0, ? ,得 cos( x ? ,……………..6 分 )?? 3 3 ? 2?
? sin x ? sin( x ? 2? 2? 2? 2? 2? 2? ? ) ? sin( x ? ) cos ? cos( x ? ) sin 3 3 3 3 3 3

1 1 2 2 3 2 6 ?1 ………………8 分 ? ? (? ) ? (? )? ? 3 2 3 2 6 2? ? ? (3) g ( x) ? 3 sin ? 2 x ? ? ? 3x , 3 ? ? 2? ? ? g ?( x) ? 2 3 cos? 2 x ? ?? 3 ? 0, 3 ? ? 2? ? 1 ? ∴ cos? 2 x ? ? ? ,??????10 分 3 ? 2 ?

∴ 2k? ?

?
3

? 2x ?

2? 5? ( k ? Z ), ? 2k? ? 3 3

第 4 页 共 4 页

参考答案

即 k? ?

?
6

? x ? kx ?

?
2

( k ? Z ),

? 3? ? ? 3? ? 又 x ? ?0, ,∴ g ( x) 在区间 ?0, 上的单调递减区间为 ? 2? 2 ? ? ? ?
? ? ? ? 5? 3? ? , .(12 分) 0, , ? 2? ? 2? ? ? ? 6 ?
20.甲、 乙两支排球队进行比赛,约定先胜 3 局者获得比赛的胜利,比赛随即结束,除第五局甲队 获胜的概率是

1 2 外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是 ,假设各局比赛结果相互独立. 2 3

(Ⅰ)分别求甲队以 3:0,3:1,3:2 胜利的概率; (Ⅱ)若比赛结果为 3:0 或 3:1,则胜利方得 3 分,对方得 0 分;若比赛结果为 3:2,则胜利方 得 2 分、对方得 1 分.求乙队得分 X 的分布列及数学期望.
【答案】解:(Ⅰ)记“甲队以 3:0 胜利”为事件 A1 ,“甲队以 3:1 胜利”为事件 A2 ,“甲

队以 3:2 胜利”为事件 A3 ,由题意,各局比赛结果相互独立, 故 P ( A1 ) ? ( ) ?
3

8 , 27 2 2 2 8 P( A2 ) ? C32 ( ) 2 (1 ? ) ? ? , 3 3 3 27 2 2 1 4 P( A3 ) ? C41 ( ) 2 (1 ? ) 2 ? ? 3 3 2 27 8 8 4 , , ; 27 27 27

2 3

所以,甲队以 3:0,3:1,3:2 胜利的概率分别是

(Ⅱ)设“乙队以 3:2 胜利”为事件 A4 ,由题意,各局比赛结果相互独立,所以

2 2 1 4 P( A4 ) ? C41 (1 ? ) 2 ( ) 2 ? (1 ? ) ? 3 3 2 27 由题意,随机变量 X 的所有可能的取值为 0,1,2,3,,根据事件的互斥性得 16 P( X ? 0) ? P( A1 ? A2 ) ? P ( A1 ) ? P ( A2 ) ? , 27 4 P( X ? 1) ? P ( A3 ) ? , 27 4 P( X ? 2) ? P( A4 ) ? , 27 3 P( X ? 3) ? 1 ? P( X ? 0) ? P( X ? 1) ? P( X ? 2) ? 27 故 X 的分布列为 0 1 2 3 X 16 4 4 3 P 27 27 27 27
第 5 页 共 5 页

参考答案

EX ? 0 ?
所以

16 4 4 3 7 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 27 27 27 27 9

2 21. 正项数列{an}的前项和{an}满足: S n ? (n 2 ? n ? 1) S n ? (n 2 ? n) ? 0

(1)求数列{an}的通项公式 an; (2)令 bn ?

5 n ?1 ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn .证明:对于任意的 n ? N * ,都有 Tn ? . 2 2 64 (n ? 2) an

2 (1)解:由 S n ? (n 2 ? n ? 1) S n ? (n 2 ? n) ? 0 ,得 [ S n ? (n 2 ? n)]( S n ? 1) ? 0.

由于{an}是正项数列,所以 S n ? 0, S n ? n 2 ? n. 综上,数列{an}的通项 an ? 2n. (2)证明:由于 an ? 2n, bn ? 则 bn ?

…… 2 分

于是 a1 ? S1 ? 2, n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? n 2 ? n ? (n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? 2n. …… 6 分

n ?1 , 2 (n ? 2) 2 an
…… 8 分

n ?1 1 1 1 ? [ 2? ]. 2 4n (n ? 2) 16 n (n ? 2) 2
2

Tn ? ?

1 1 1 1 1 1 [1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 16 3 2 4 3 5

?

1 1 1 1 ? ? 2? ] 2 2 ( n ? 1) ( n ? 1) n ( n ? 2) 2
…… 12 分

1 1 1 1 1 1 5 [1 ? 2 ? ? ] ? (1 ? 2 ) ? . 2 2 16 2 64 16 2 (n ? 1) (n ? 2)

22.已知函数 f ( x) ? ax 2 ? ln( x ? 1) . 1 (1)当 a ? ? 时,求函数 f ( x) 的单调区间; 4 (Ⅱ )当 x ? [0, ??) 时,不等式 f ( x) ? x 恒成立,求实数 a 的取值范围.

1 1 )(1 ? )? 1? 2 2?3 1 提示: [ln( x ? 1)]' ? x ?1
(Ⅲ )求证: (1 ?

? [1 ?

1 。 ] ? e ( n ? N* ,e 是自然对数的底数) n( n ? 1)

1 1 解: (1)当 a ? ? 时, f ( x) ? ? x 2 ? ln( x ? 1) ( x ? ?1 ) , 4 4

1 1 ( x ? 2)( x ? 1) f ?( x) ? ? x ? ?? ( x ? ?1 ) , 2 x ?1 2( x ? 1)

由 f ?( x) ? 0 解得 ?1 ? x ? 1 ,由 f ?( x) ? 0 解得 x ? 1 . 故函数 f ( x) 的单调递增区间为 (?1,1) ,单调递减区间为 (1, ??) . ·· 4 分 ( 2 )因当 x ? [0, ??) 时,不等式 f ( x) ? x 恒成立,即 ax 2 ? ln( x ? 1) ? x ? 0 恒成立,设

g ( x) ? ax 2 ? ln( x ? 1) ? x ( x ? 0 ) ,只需 g ( x) max ? 0 即可. ····· 5 分
由 g ?( x) ? 2ax ?
1 x[2ax ? (2a ? 1)] , ?1 ? x ?1 x ?1

第 6 页 共 6 页

参考答案

(ⅰ)当 a ? 0 时, g ?( x) ?

?x ,当 x ? 0 时, g ?( x) ? 0 ,函数 g ( x) 在 (0, ??) 上单调递减, x ?1 故 g ( x) ? g (0) ? 0 成立. ··················· 6 分 x[2ax ? (2a ? 1)] 1 (ⅱ)当 a ? 0 时,由 g ?( x) ? ? 0 ,因 x ? [0, ??) ,所以 x ? ?1 , x ?1 2a 1 1 ①若 即 a ? 时, 在区间 (0, ??) 上,g ?( x) ? 0 , 则函数 g ( x) 在 (0, ??) 上 ?1 ? 0 , 2a 2 单调递增, g ( x) 在 [0, ??) 上无最大值(或:当 x ? ?? 时, g ( x) ? ?? ) ,此

时不满足条件; 1 1 1 ②若 ? 1 ? 0 , 即 0 ? a ? 时 , 函 数 g ( x) 在 (0, ? 1) 上 单 调 递 减 , 在 区 间 2a 2 2a 1 ( ? 1, ??) 上单调递增,同样 g ( x) 在 [0, ??) 上无最大值,不满足条件. 2a ····························· 8 分 x[2ax ? (2a ? 1)] (ⅲ)当 a ? 0 时,由 g ?( x) ? ,∵ x ? [0, ??) ,∴ 2ax ? (2a ? 1) ? 0 , x ?1 ∴ g ?( x) ? 0 ,故函数 g ( x) 在 [0, ??) 上单调递减,故 g ( x) ? g (0) ? 0 成立. 综上所述,实数 a 的取值范围是 (??, 0] . ············ 10 分 (3)据(Ⅱ)知当 a ? 0 时, ln( x ? 1) ? x 在 [0, ??) 上恒成立 ········ 11 分 则对任意的 n ? N * ,有 ln[1 ?

1 1 1 1 ]? ? ? n(n ? 1) n(n ? 1) n n ? 1 ? ln[1 ? 1 ] n( n ? 1)

ln{(1 ?

1 1 )(1 ? )? 1? 2 2?3

? [1 ?

1 1 1 ]} ? ln(1 ? ) ? ln(1 ? )? n(n ? 1) 1? 2 2?3

1 1 1 1 1 1 ? 1? ? ? ? ? ? ? 1? ? 1, 2 2 3 n n ?1 n ?1 1 1 1 ∴ (1 ? )(1 ? ) ? ? [1 ? ]? e. 1? 2 2?3 n( n ? 1)

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