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§3.4.2简单线性规划(1)


§4.2 简单线性规划(1)
王全生 西工大附中 710072

【教材版本】北师大版 【教材分析】
1.知识内容与结构分析 本节内容是教材§4 简单线性规划的第二节,本节教材的主要内容包括目标函数、约束 条件、可行解、可行域、最优解等概念与求二元线性规划问题的方法.教材通过一个具体的 数学问题的分析, 不仅引出二元线性规划问题的有关概念, 同时也提出了解决二元线性规划 问题的方法.最后列举了 3 个例题旨在对于本节内容与方法予以巩固.本节分 2 课时进行, 第 1 课时主要包括基本概念、 求简单二元线性规划问题的方法. 第 2 课时主要通过几道例题 予以巩固. 2.知识学习意义分析 线性规划是解决实际问题的一种重要的数学模型.通过对线性约束条件的分析,掌握求 二元目标函数的最值的理论与方法, 既是对前面内容的分析与巩固, 又为后面进一步学习线 性规划在实际问题中的应用奠定好基础, 同时, 这部分内容对于培养学生数形结合的思想与 动手解决问题的能力,都是良好的题材. 3.教学建议与学法指导 本节通过探讨线性规划的理论, 主要是让学生掌握解决线性规划问题的方法, 暂不涉及 在实际中的应用。因为本节内容是学习后续内容线性规划应用的关键,教学时,应重点放在 求线性规划问题的理论与方法,要放开让学生动脑思考、动手操作、合作交流、归纳方法。 引导好学生对数学思想方法的重视并加以应用. 在学生对于求解的方法熟悉后, 再专题进行 线性规划在实际问题应用的探究.

【学情分析】
在经历二元一次不等式(组)表示的平面区域的探究与学习,要得到二元线性规划问题 的解法,是学生力所能及的事情,但对于目标函数求最值时的动态观察问题、静态得出结论 的思想有一定难度,教师要给予适当指导。

【教学目标】
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1.知识与技能 (1)了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念. (2)掌握线性规划的图解法,会求二元目标函数的最大值和最小值. 2.过程与方法 在教师引导与点拨下,学生经过探究,在师生的双边活动中,完成简单的线性规划的数 学理论的构建,再由学生动手实践,掌握求解简单的线性规划问题的方法. 3.情态与价值 体会线性规划的基本思想,通过二元一次不等式(组)表示平面区域的应用价值,感悟 数形结合,化归转化的数学思想,培养学生识图、画图的能力,提高分析问题与动手解决问 题的能力.

【重点难点】
1.教学重点:掌握用图解法求线性规划问题的最优解. 2.教学难点:对用图解法求线性规划问题的最优解这一方法的理解.

【教学环境】
◆多媒体教室 ◆课件

【教学思路】
本节课以复习前一节内容引入,顺势提出要探究的问题,激发学生求知的兴趣,利用问 题教学法,通过动态的观点,得到求目标函数最值的方法.教学过程按“提出问题——分析 探究——归纳方法——简单运用——回顾小结”的环节安排进行.

【教学过程】
一、复习提问,导入新课
师: 上节课我们学习了运用二元一次不等式组表示的平面区域的方法, 请大家利用学过

?5 x ? 6 y ? 30 ? y ? 3 x 表示的平面区域。 的方法画出下列不等式组 ? ? y ?1 ?
(学生板演)学生板演完后,予以点评。然后提出新问题:上述不等式组是从一个简单 实际问题中抽象出来的,对于符合上面条件的 x, y 值有无数多组,在实际问题中,如果我们

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要想在满足条件的 x, y 中,找到使得 2 x ? y 取得最大或最小值,你有办法吗?

二、问题探究
1.分析探究 上面的不等式组表示区域如如图 1, 如果设 z ? 2 x ? y , 问题 即为在公共区域即阴影区域中, 如何找到点 ( x, y ) , 使 z ? 2x ?y 最大或最小值? 师: (从特殊入手) 考察点 (1,1) 对应的值为 3, 即 z 可以为 3, 还存在使得 z ? 3 的点吗? 通过点 (1,1) 的考察和分析,我们得到了使得 z ? 3 的所有点,即直线

2 x ? y ? 3 与阴影部分的公共点。存在使得 z ? 0 的点吗?即存在点 ( x, y ) ,
使得 2 x ? y ? 0 成立吗?若有,存在几组?若没有,为什么?继续考察 z 的 值可以为 ?3, ?1, 2, 4 吗? 生:可以,当 z 的值为 ?3, ?1, 2, 4 时,分别对应下列几条直线

l2' : 2x ? y ? ?3 、 l1' : 2x ? y ? ?1、 l0 : 2x ? y ? 0 、 l1 : 2x ? y ? 2 、
l2 : 2x ? y ? 4 。
师:这些直线有什么关系? 生:所得直线相互平行。 2.小结成果 师:刚才,同学们实际上是考察了斜率为-2 的几条直线与阴影区域的公共点,其中每 一直线与阴影区域的公共点所对应的 z 值相等,不同直线上的点所对应的 z 值不同。那么怎 样才能找到所对应的 z 值最大的点呢? 生:因为在直线 2 x ? y ? 4 中,4 有几何意义, 2x ? y ? 4 ? y ? ?2x ? 4 ,4 为直线在 y 轴上 的截距。所以,一般的 z ? 2 x ? y ? y ? ?2 x ? z , z 实质上为与阴影区域有公共点的这些 斜率为-2 的直线在 y 轴上的截距。由图像可以看出,直线 l0 向上平移时,对应的 z 值增大; 直线 l0 向下平移时,对应的 z 值减小;这样可在图 1 中将直线 l0 向上平移至经过点 A( ,1)

1 3

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时,得 z 的最小值为

5 24 53 ,至经过点 B ( ,1) 时,得 z 的最大值为 。 3 5 5

师:像上述这类问题,就是我们今天要学习的内容---线性规划。 (板书课题) 3.反思过程,方法总结 (1)概念介绍 如果两个变量 x, y 满足一组一次不等式, (例如上述中的不等式组)求这两个变量的一 个线性函数(例如 z ? 2 x ? y )的最大值或最小值,那么我们就称这个线性函数为目标函 数,称一次不等式组为约束条件,上述问题为二元线性规划问题 在二元线性规划问题中, 满足约束条件的解 ( x, y ) 称为可行解,由所有可行解组成的集 合称为可行域,使目标函数取得最大、最小值的可行解称为最优解。 显然最优解一般在可行域的边界处,有些问题没有最优解,而有些问题的最优解却不 止一个。 (2)方法归纳 师:根据解决上述问题的过程,总结解决此类问题的方法。 生:设目标函数为 z ? ax ? by ? c ?b ? 0? ,求目标函数的最值步骤: 1.根据约束条件做出可行域; 2.做出参照直线 l0 : ax ? by ? c ? 0 3.将直线 l0 向上 (向下) 平移时, 根据对应的 z 值的大小变化规律判断取得最优解的点; 4.解相关方程组,求出最优解,从而求出目标函数的最小值或最大值。

三、范例应用

? x ? ?3 ? y ? ?4 ? 例 1 设约束条件为 ? ? ?4 ? 3 y ? 12 ? ?4 x ? 3 y ? 36
(1)求目标函数 z ? 2 x ? 3 y 的最小值和最大值。 (2)求目标函数 z ? ?4 x ? 3 y ? 24 的最小值和最大值。 解: (1)作出可行域(如图)令 z ? 0 ,作直线 l0 : 2 x ? 3 y ? 0 , 当直线

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l0 : 2 x ? 3 y ? 0 向下平移时, z 值随之减小,至直线过顶点 B(?3, ?4) 时,
z ? 2 x ? 3 y 取得最小值-18
当直线 l0 : 2 x ? 3 y ? 0 向上平移时, z 值随之增大,至直线过顶点 D(3,8) 时,

z ? 2 x ? 3 y 取得最大值 30
(2)可行域同(1) ,作直线 l0 : ?4 x ? 3 y ? 0
'

当直线 l0 : ?4 x ? 3 y ? 0 向下平移时, z 值随之减小,至直线过顶点

C (12, ?4) 时, z ? ?4 x ? 3 y 取得最小值-84
当直线 l0 : ?4 x ? 3 y ? 0 向上平移时, z 值随之增大,至直线过顶点

D(3,8) 时(其实这时直线与直线 AD 重合) , z ? ?4 x ? 3 y 取得最大值
-12

四、练习巩固

? x ? 4 y ? ?3 ? 练习 1:若 x, y 满足 ?3 x ? 5 y ? 25 求 z ? 2 x ? y 的最小值和最大值 ? x ?1 ?

?3 x ? 2 y ? 0 ? x ? 4 y ? 11 ? ? 练习 2:若 x, y 满足 ? x, y ? Z 求 z ? 5x ? 4 y 的最小值和最大值 ? x?0 ? ? ? y?0
(由学生练习板演,教师点评)

五、总结归纳
1.线性规划概念 2.求解线性规划问题的步骤

六、作业布置
P 116
2、3

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