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广东高考文科数学立体几何分类历年真题加解析


1、(2011?广东文数)正五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为 它的对角线,那么一个正五棱柱对角线的条数共有( ) A、20 B、15 C、12 D、10 1 解答:解:由题意正五棱柱对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线, 因为不同在任何侧面内, 故从一个顶点出发的对角线有 2 条.正五棱柱对角线的条数共有 2× 5=10 条.故选 D 2、(2011?广东文数)如图,某几何体的正视图(主视图),侧视图(左视图)和俯视图分 别是等边三角形,等腰三角形和菱形,则该几何体体积为 ( )

A、 B、4 C、 D、2 2 解答:解:由已知中该几何中的三视图中有两个三角形一个菱形可得 这个几何体是一个四棱锥 由图可知,底面两条对角线的长分别为 2 ,2,底面边长为 2 故底面棱形的面积为 侧棱为 2 故 V= ,则棱锥的高 h= =2 =2 =3

故选 C 3、(2011?广东理数)如某几何体的正视图(主视图)是平行四边形,侧视图(左视图)和 俯视图都是矩形,则几何体的体积为( )

A、6 B、9 C、12 D、18 3 解答:解:由已知中三视图该几何体为四棱柱,

其底面底边长为 3,底边上的高为: 故底面积 S=3× =3 , 又因为棱柱的高为 3, 故 V=3× 3 =9 , 故选 B.

=



4. 2010 广东文理数) ( 如图 1, ABC 为三角形,AA? // BB? // CC ? , CC ? ⊥平面 ABC 且 △ 3 AA? =

3 BB? = CC ? =AB,则多面体△ABC - A?B?C ? 的正视图(也称主视图)是 2

4.D. 5. (2009 广东文科)给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行;
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中,为真命题的是 A.①和② B.②和③ C.③和④ D.②和④

5. D【解析】①错, ②正确, ③错, ④正确.故选 D 6.(2008 广东文数)将正三棱柱截去三个角(如图 1 所示, A,B,C 分别是 △GHI 三边 的中点)得到几何体如图 2,则该几何体按图 2 所示方向的侧视图(或称左视图)为( ) H B A I C G 侧视 B A C B B B B

E F 图1 6. A

D

E F 图2

D

E A.

E B.

E C.

E D.

7.(2007 广东文数)若 l,m,n 是互不相同的空间直线, ?,? 是不重合的平面,则下列 命题中为真命题的是( ) B.若 ? ? ?,l ? ? ,则 l ? ? D.若 l ? ?,l ∥ ? ,则 ? ? ?

A.若 ? ∥ ?,l ? ?,n ? ? ,则 l ∥ n C.若 l ? n,m ? n ,则 l ∥ m 7.D

8、(2006 广东)给出以下四个命题 ①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线和 交线平行; ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面; ③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行; ④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么些两个平面互相垂直. 其中真命题的个数是 A.4 B.3 C.2 8、①②④正确,故选 B. D.1

9. (2005 广东)给出下列关于互不相同的直线 m 、 l 、 n 和平面 ? 、 ? ,的四个命题: ①若 m ? ? , l ? ? ? A ,点 A? m ,则 l 与 m 不共面; ②若 m、l 是异面直线,

l // ? , m // ? , 且 n ? l , n ? m ,则 n ? ? ;

l α

③若 l // ? , m // ? , ? // ? ,则 l // m ; ④若 l ? ? , m ? ? , l ? m ? 点 A , l // ? , m // ? ,则 ? // ? . 其中为假命题的是 A.① B.②

m

β

C.③

D.④

\ 9.C.解:③是假命题,如右图所示满足 l // ? , m // ? , ? // ? , 但 l //

m

,故选 C.

10. (2005 广东) 已知高为3的直棱锥 ABC ? A?B ?C ? 的底面是边长为1的正三角形 A' (如图1所示),则三棱锥 B ? ? ABC 的体积为 ( ) A.

C' B'

1 4

B.

1 2

C.

3 6

D.

3 4
A B
图1

C

10.D.解:∵ BB? ? 平面ABC,

∴ VB?? ABC

1 1 1 3 3 ? S ?ABC ? h ? S ?ABC ? BB? ? ? ?3 ? .故选 D. 3 3 3 4 4

11、(2006 广东)若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为 11、 d ? 3 3 ? R ?

3 3 ? S ? 4?R 2 ? 27? 2

12. (2009 广东文科)某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 4 所示,墩的上半部分是正四棱锥 P-EFGH,下半部分是长方体 ABCD -EFGH.图 5、图 6 分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图. (1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图;

(2)求该安全标识墩的体积 (3)证明:直线 BD ? 平面 PEG

12【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.

(2)该安全标识墩的体积为: V ? VP? EFGH ? VABCD? EFGH

1 ? ? 402 ? 60 ? 402 ? 20 ? 32000 ? 32000 ? 64000 3
(3)如图,连结 EG,HF 及 BD,EG 与 HF 相交于 O,连结 PO. 由正四棱锥的性质可知, PO ? 平面 EFGH , ? PO ? HF ? HF ? 平面 PEG 又 EG ? HF 又 BD P HF

? cm ?
2

? BD ? 平面 PEG;

w.w.w.k.s.5.u .c.o.m

13.(2008 广东文数)如图 5 所示,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是 半径为 R 的圆的内接四边形,其中 BD 是圆的直径, ?ABD ? 60? ,
P

?BDC ? 45? , PD 垂直底面 ABCD , PD ? 2 2R , E,F 分别是 PB,CD 上 E
G

的点,且

PE DF ? ,过点 E 作 BC 的平行线交 PC 于 G . EB FC

A B C 图5

(1)求 BD 与平面 ABP 所成角 ? 的正弦值;

D F

(2)证明: △EFG 是直角三角形; (3)当
PE 1 ? 时,求 △EFG 的面积. EB 2

13.解:(1)在 Rt ?BAD 中,

? ?ABD ? 60 ,? AB ? R, AD ? 3R
?

P E G D F C 图5

而 PD 垂直底面 ABCD, PA ?

PD ? AD ? (2 2 R) ? ( 3R) ? 11R
2 2 2 2

PB ? PD 2 ? BD 2 ? (2 2 R) 2 ? (2 R) 2 ? 2 3R ,
在 ?PAB 中, PA ? AB ? PB ,即 ?PAB 为以 ?PAB 为直角的直角三角形。
2 2 2

A B

设点 D 到面 PAB 的距离为 H , 由 VP? ABD ? VD? PAB 有 PA?AB?H ? AB?AD?PD , 即 H?

AD?PD 3R?2 2R 2 66 ? ? R, PA 11 11R

H 66 ; ? BD 11 PE PG PE DF (2) EG / / BC ,? ,而 , ? ? EB GC EB FC PG DF 即 ? ,? GF / / PD ,? GF ? BC ,? GF ? EG ,? ?EFG 是直角三角形; GC DC PE 1 EG PE 1 GF CF 2 (3) ? 时 ? ? , ? ? , EB 2 BC PB 3 PD CD 3 sin ? ? 1 1 2 2 2 4 2 BC ? ? 2R ? cos 45? ? R, GF ? PD ? ? 2 2R ? R, 3 3 3 3 3 3 ? ?EFG 的面积 S?EFG ? 1 EG? ? 1 ? 2 R ? 4 2 R ? 4 R 2 GF 2 2 3 3 9
即 EG ?

14.(2008 广东文数)如图 5 所示,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是 半 径 为 R 的 圆 的 内 接 四 边 形 , 其 中 BD 是 圆 的 直 径 ,
?ABD ? 60? , ?BDC ? 45?, ?ADP ~ ?BAD 。

(1)求线段 PD 的长; (2)若 PC ? 11R ,求三棱锥 P-ABC 的体积。
14【解析】(1)? BD 是圆的直径 ?

?BAD ? 90?



? A D P~? B A ,D

BD sin 60? AD 2 AD DP ? , DP ? ? ? BA AD BA BD sin 30?

? ?

? ?

2

3 4 ? 3R ; ? 1 2R ? 2 4R2 ?

(2 ) 在 Rt ? BCD 中, CD ? BD cos 45 ? 2R
?

?

2 2 2 2 2 2 P D ? C D ?9 R ?2 R ?1 1 R ? P C P D ? C D 又 ?PDA ? 90? ?

? PD ? 底面 ABCD
S? ABC ? 1 AB?BC s i n 6? 0 ? ? 2
?

45 ??

1 R? 2

? 3 2 R ?2 ? 2 2? ?

1 2

?2 ?? ? 2 ?

? 3 21 R 4

三棱锥 P ? ABC 的体积为 VP ? ABC ? ?S? ABC ?PD ? ?

1 3

1 3

3 ?1 2 3 ?1 3 R ?R? 3 R . 4 4

15.(2007 广东文数)已知某几何体的俯视图是如图 5 所示的矩形, 正视图(或称主视图)是一个底边长为 8,高为 4 的等腰三角形,侧 视图(或称左视图)是一个底边长为 6,高为 4 的等腰三角形. (1)求该几何体的体积 V ; (2)求该几何体的侧面积 S .
15 解: 由已知可得该几何体是一个底面为矩形,高为 4,顶点在底面的射影是矩形中心的 四棱锥 V-ABCD ; (1)

1 V ? ? ? 8 ? 6 ? ? 4 ? 64 3

(2) 该四棱锥有两个侧面 VAD、VBC 是全等的等腰三角形,且 BC 边上的高为

?8? h1 ? 4 ? ? ? ? 4 2 , 另两个侧面 VAB. VCD 也是全等的等腰三角形, ?2?
2

2

AB 边上的高为 因此

?6? h2 ? 42 ? ? ? ? 5 ?2?

2

1 1 S ? 2( ? 6 ? 4 2 ? ? 8 ? 5) ? 40 ? 24 2 2 2

16.(2007 广东理数)如图 6 所示,等腰三角形△ABC 的底边 AB= 6 6 ,高 CD=3,点 E 是线段 BD 上异于 B、D 的动点,点 F 在 BC 边上,且 EF⊥AB,现沿 EF 将△BEF 折起到 △PEF 的位置,使 PE⊥AE,记 BE=x,V(x)表示 P 四棱锥 P-ACEF 的体积。 (1)求 V(x)的表达式; (2)当 x 为何值时,V(x)取得最大值? (3)当 V(x)取得最大值时,求异面直线 AC D E 与 PF 所成角的余弦值。 A 16 ( 1 ) 由 折 起 的 过 程 可 知 , PE ⊥ 平 面 ABC ,
S?ABC ? 9 6 , S?BEF
x2 6 2 ? ? S ?BDC ? x 54 12

B

C

F 图6

V(x)=

6 1 x (9 ? x 2 ) ( 0 ? x ? 3 6 ) 3 12

(2) V '( x) ?

6 1 (9 ? x 2 ) ,所以 x ? (0, 6) 时, v '(x ) ? 0 ,V(x)单调递增; 6 ? x ? 3 6 时 3 4

v '( x) ? 0 ,V(x)单调递减;因此 x=6 时,V(x)取得最大值 12 6 ;

(3)过 F 作 MF//AC 交 AD 与 M,则

BM BF BE BE ? ? ? , MB ? 2 BE ? 12 ,PM= 6 2 , AB BC BD 1 AB 2

MF ? BF ? PF ?

6 3 6

BC ?

6 54 ? 9 ? 42 , 3

在△PFM 中, cos ?PFM ?

84 ? 72 2 2 ? ,∴异面直线 AC 与 PF 所成角的余弦值为 ; 42 7 7

17、(2006 广东)如图 5 所示,AF、DE 分别是⊙O、⊙O1 的直径.AD 与两圆所在的平面均 垂直,AD=8,BC 是⊙O 的直径,AB=AC=6,OE//AD. (Ⅰ)求二面角 B—AD—F 的大小; (Ⅱ)求直线 BD 与 EF 所成的角. 17、解:(Ⅰ)∵AD 与两圆所在的平面均垂直, ∴AD⊥AB, AD⊥AF,故∠BAD 是二面角 B—AD—F 的平面角, 依题意可知,ABCD 是正方形,所以∠BAD=450. 即二面角 B—AD—F 的大小为 450; (Ⅱ)以 O 为原点,BC、AF、OE 所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系(如图所示), 则 O(0,0,0),A(0, ? 3 2 ,0),B( 3 2 ,0,0),D(0, ? 3 2 ,8),E(0,0, 8),F(0, 3 2 ,0) 所以, BD ? (?3 2,?3 2,8), FE ? (0,?3 2,8)

cos ? BD , EF ??
设 异 面 直 线

BD ? FE | BD || FE |
BD 与

?

0 ? 18 ? 64 100 ? 82
EF

?

82 10

所 成 角 为

?

, 则

cos? ?| cos ? BD, EF ?|?

82 10 82 10

直线 BD 与 EF 所成的角为 arccos

18、(2006 广东)设函数 f ( x) ? ? x 3 ? 3x ? 2 分别在 x 1 、 x2 处取得极小值、极大值. xoy 平面上点 A、B 的坐标分别为 ( x1 , f ( x1 )) 、( x2 , f ( x2 )) ,该平面上动点 P 满足 PA ? PB ? 4 , 点 Q 是点 P 关于直线 y ? 2( x ? 4) 的对称点.求(Ⅰ)点 A、B 的坐标 ; (Ⅱ)动点 Q 的轨迹方程 18 解: (Ⅰ)令 f ?( x) ? (? x 3 ? 3x ? 2)? ? ?3x 2 ? 3 ? 0 解得 x ? 1或x ? ?1 当 x ? ?1 时, f ?( x) ? 0 , 当 ? 1 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 所 以 , 函 数 在 x ? ?1 处 取 得 极 小 值 , 在 x ? 1 取 得 极 大 值 , 故

x1 ? ?1, x2 ? 1, f (?1) ? 0, f (1) ? 4
所以, 点 A、B 的坐标为 A(?1,0), B(1,4) . (Ⅱ) 设 p(m, n) ,Q( x, y) ,PA ? PB ? ?? 1 ? m,?n? ? ?1 ? m,4 ? n? ? m2 ? 1 ? n 2 ? 4n ? 4

1 y?n 1 y?m ?x?n ? k PQ ? ? , ? ? , PQ 的中点在 y ? 2( x ? 4) 上, 所以 又 所以 ? 2? ? 4? 2 x?m 2 2 ? 2 ?
消去 m, n 得 ?x ? 8? ? ? y ? 2? ? 9
2 2

19(2005 广东)如图 3 所示, 在四面体 P ? ABC 中, P 已知 PA ? BC ? 6 ,
PC ? AB ? 10, AC ? 8, PB ? 2 34 . F 是线段 PB 上一

F E B

点,CF ?

15 34 , E 在线段 AB 上, EF ? PB . A 点 且 17

(Ⅰ)证明: PB ? 平面CEF ; (Ⅱ)求二面角 B ? CE ? F 的大小.
19【答案】 (Ⅰ)证明:在 ?ABC 中, ∵ AC ? 8, AB ? 10, BC ? 6, ∴ AC 2 ? BC 2 ? AB2 , ∴△PAC 是以∠PAC 为直角的直角三角形, 同理可证,△PAB 是以∠PAB 为直角的直角三角形, △PCB 是以∠PCB 为直角的直角三角形. 在 Rt?PCB 中,∵ PC ? 10, BC ? 6, PB ? 2 34 , CF ? ∴ PC ? BC ? PB ? CF ,

图3

C

15 34 , 17

∴ PB ? CF , 又 ∵ EF ? PB, EF ? CF ? F , ∴

PB ? 平面CEF.
(II)解法一:由(I)知 PB⊥CE,PA⊥平面 ABC ∴AB 是 PB 在平面 ABC 上的射影, AB⊥CE∴CE⊥平面 PAB, EF ? 平面 PAB, 故 而 ∴EF⊥EC,故∠FEB 是二面角 B—CE—F 的平面角, ∵ ?PAB ~ ?EFB ∴ tan ?FEB ? cot ?PBA ? ∴二面角 B—CE—F 的大小为 arctan

AB 10 5 ? ? , AP 6 3

5 . 3

P

z
F

解法二:如图,以 C 点的原点,CB、CA 为 x、y 轴, 建立空间直角坐标系 C-xyz,则

C (0, 0, 0) , A(0, 8, 0) , B(6, 0, 0) , P(0, 8, 6) ,

y
A

E

x
B

C

∵ PA ? (0, 0, 6) 为平面 ABC 的法向量, PB ? (6, ? 8, ? 6) 为平面 ABC 的法向量,

∴ cos ? PA, PB ??

PA? PB PA PB

?

? 36 3 34 , ?? 34 6 ? 2 34

∴二面角 B—CE—F 的大小为 arccos

3 34 . 34

20 ( 2004 广 东 ) 如 右 下 图 , 在 长 方 体 ABCD ? A1B1C1D1 中 , 已 知
AB ? 4, AD ? 3, AA1 ? 2 , E , F 分别是线段 AB, BC 上
D1 C1

的点,且 EB ? FB ? 1 (I)求二面角 C ? ED ? C1 的正切值 (II)求直线 EC1 与 FD1 所成角的余弦值
20.解:(I)以 A 为原点, AB, AD, AA 分别为 x 轴,y 轴,z 1 轴的正向建立空间直角坐标系,则有 D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2) 于是, DE ? (3,?3,0), EC1 ? (1,3,2), FD ? (?4,2,2) 1 设向量 n ? ( x, y, z) 与平面 C1DE 垂直,则有

A1 D

B1 C F

A

E

B

n ? DE ? 3 x ? 3 y ? 0 ? 1 ? ?? ?? x ? y ?? z x ? 3 y ? 2 z ? 0? 2 n ? EC1 ? ? z z z ? n ? (? ,? , z ) ? (?1,?1,2), 其中z ? 0 2 2 2 取n0 ? (?1,?1,2),则n0 是一个与平面C1 DE垂直的向量, ?向量 AA1 ? (0,0,2)与平面CDE垂直, ? n0 与 AA1所成的角?为二面角C ? DE ? C1的平面角 ? cos? ? ? t an? ? n0 ? AA1 | n0 | ?| AA1 | 2 2 ? ? 1? 0 ? 1? 0 ? 2 ? 2 1?1? 4 ? 0 ? 0 ? 4 ? 6 3

(II)设 EC1 与 FD1 所成角为β ,则

cos ? ?

EC1 ? FD1 | EC1 |? | FD1 |

?

1 ? (?4) ? 3 ? 2 ? 2 ? 2 12 ? 32 ? 2 2 ? (?4) 2 ? 2 2 ? 2 2

?

21 14

21、(2011?广东文数)如图所示的几何体是将高为 2,底面半径为 1

的直圆柱沿过轴的平面切开后, 将其中一半沿切面向右水平平移后得 到的,A,A′,B,B′分别为 的中点,O1,

O1′,O2,O2′分别为 CD,C′D′,DE,D′E′的中点. (1)证明:O1′,A′,O2,B 四点共面; (2) G 为 A A′中点, 设 延长 A′O1′到 H′, 使得 O1′H′=A′ O1 ′ . 证 明 : BO2 ′ ⊥ 平 面 H ′ B ′

G 考点:直线与平面垂直的判定;棱柱的结构特征;平面的基本性质及推论。 专题:证明题;综合题。 ′ ′ 分析:(1)要证 O1′,A′,O2,B 四点共面,即可证四边形 BO2A O1 为平面图形,根 据 A′O1′与 B′O2′在未平移时属于同一条直径 ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ 知道 A O1 ∥B O2 即 BO2∥A O1 再根据 BO2=A′O1′=1 即可得到四边形 BO2A O1 是 平行四边形,则证. (2)建立空间直角坐标系,要证 BO2 ′⊥平面 H′B′G 只需证 , 根据坐标运算算出 解答:证明:(1)∵B′,B 分别是中点 ′ ′ ∴BO2∥B O2 A′O1′与 B′O2′ ∵ 在未平移时属于同一条直径 ′ ′ ′ ′ ∴A O1 ∥B O2 ′ ′ ∴BO2∥A O1 ∵BO2=A′O1′=1 ′ ′ ∴四边形 BO2A O1 是平行四边形 即 O1′,A′,O2,B 四点共面 ? , , 的值均为 0 即可

(2)以 D 为原点,以向量 DE 所在的直线为 X 轴,以向量 DD′所在的直线为 Z 轴,建立 如图空间直角坐标系, 则 B(1,1,0),O2′(0,1,2),H′(1,﹣1,2),A(﹣1,﹣1,0),G(﹣1,

﹣1,1),B′(1,1,2) 则 ∵ =(﹣1,0,2), ? =0, =(﹣2,﹣2,﹣1), =0 =(0,﹣2,0)

∴BO2′⊥B′G,BO2′⊥B′H′ 即 ,

∵B′H′∩B′G=B′,B′H′、B′G?面 H′GB′ ∴BO2′⊥平面 H′B′G

点评:本题考查了直线与平面垂直的判定,棱柱的结构特征,平面的基本性质及推论以及空 间向量的基本知识,属于中档题. 22、 (2011?广东理数) 如图, 在锥体 P﹣ABCD 中, ABCD 是边长为 1 的菱形, 且∠DAB=60° , PA=PD= ,PB=2,E,F 分别是 BC,PC 的中点 (1)证明:AD⊥平面 DEF (2)求二面角 P﹣AD﹣B 的余弦值.

考点:与二面角有关的立体几何综合题;二面角的平面角及求法。 专题:常规题型;综合题。 分析:(1)利用线面垂直的判定定理进行证明是解决本题的关键,在平面 DEF 中找两条相 交直线与 AD 垂直,利用 60° 角菱形的特征可以发现 AD⊥DE,通过取出 AD 的中点构造一 个平面可以证明 AD⊥EF; (2)利用(1)中的结论找到二面角 P﹣AD﹣B 的平面角是解决本题的关键,求角往往要 利用三角形中的余弦定理. 解答:解:(1)取 AD 的中点 G,连接 PG,BG,在△ABG 中,根据余弦定理可以算出

BG=
2 2 2



发现 AG +BG =AB ,可以得出 AD⊥BG,又 DE∥BG ∴DE⊥AD, 又 PA=PD,可以得出 AD⊥PG,而 PG∩BG=G, ∴AD⊥平面 PBG,而 PB?平面 PBG, ∴AD⊥PB,又 PB∥EF, ∴AD⊥EF.又 EF∩DE=E,∴AD⊥平面 DEF. (2)由(1)知,AD⊥平面 PBG,所以∠PGB 为二面角 P﹣AD﹣B 的平面角,在△PBG 中,PG= ,BG= ,PB=2,由余弦定理得

cos∠PGB=

,因此二面角 P﹣AD﹣B 的余弦值为



点评: 本题考查立体几何中基本的线面关系, 考查线面垂直的判定方法, 考查二面角的求法, 训练了学生基本的空间想象能力, 考查学生的转化与化归思想, 解三角形的基本知识和学生 的运算能力,属于基本的立体几何题.

9(2010 浙江理数)(6)设 l , m 是两条不同的直线, ? 是一个平面,则下列命题正确的 是 (A)若 l ? m , m ? ? ,则 l ? ? (C)若 l //? , m ? ? ,则 l //m 9 解析:选 B, 10(2010 全国卷 2 理数) (11)与正方体 ABCD ? A B1C1D1 的三条棱 AB 、CC1 、 A1D1 所 1 在直线的距离相等的点 (A)有且只有 1 个 (B)有且只有 2 个 (C)有且只有 3 个 上取一点,分别作 (D)有无数个 垂直于 则 于 (B)若 l ? ? , l //m ,则 m ? ? (D)若 l //? , m//? ,则 l //m

10【答案】D【解析】直线

分别 作 垂线定理可得,PN⊥ 所以 PM⊥ ,垂足分别为 M,N,Q,连 PM,PN,PQ,由三 ;PQ⊥AB,由于正方体中各个表面、对等角全等, ,∴PM=PN=PQ,即 P 到三条棱 AB、CC1、A1D1.所

在直线的距离相等所以有无穷多点满足条件,故选 D. 11 (2010 辽宁文数) (11) 已知 S , A, B, C 是球 O 表面上的点,SA ? 平面ABC ,AB ? BC ,

SA ? AB ? 1 , BC ? 2 ,则球 O 的表面积等于
(A)4 ? (B)3 ? (C)2 ? (D) ?

11 解析:选 A.由已知,球 O 的直径为 2 R ? SC ? 2 ,?表面积为 4? R 2 ? 4? . 12(2010 全国卷 2 文数)(11)与正方体 ABCD—A1B1C1D1 的三条棱 AB、CC1、A1D1 所 在直线的距离相等的点 (A)有且只有 1 个 (B)有且只有 2 个 (C)有且只有 3 个 (D)有无数个 12【解析】D:本题考查了空间想象能力 ∵到三条两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴,以正方体边长为半径的圆柱面上, ∴三个圆柱面有无数个交点, 13.(2010 全国卷 2 文数)(8)已知三棱锥 S ? ABC 中,底面 ABC 为边长等于 2 的等边三 角形, SA 垂直于底面 ABC , SA =3,那么直线 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值为 (A)

3 4

(B)

5 4

(C)

7 4

(D)

3 4
S

13.【解析】D:本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所 成角。 过 A 作 AE 垂直于 BC 交 BC 于 E,连结 SE,过 A 作 AF 垂直于 SE 交 SE 于 F,连 BF,∵正三角形 ABC,∴ E 为 BC 中点,∵ BC⊥AE,SA⊥BC,∴ BC⊥面 SAE, ∴ BC⊥AF,AF⊥SE,∴ AF⊥面 SBC,∵∠ABF 为直线 AB 与面 SBC 所成角,由

F C A

E

B

3 3 sin ?ABF ? 4 正三角形边长 3, AE ? 3 , ∴ AS=3, SE= 2 3 , ∴ AF= 2 , ∴

14.(2010 山东文数)(4)在空间,下列命题正确的是 A.平行直线的平行投影重合 B.平行于同一直线的两个平面平行 C.垂直于同一平面的两个平面平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行 14.答案:D 15(2010 四川理数)(11)半径为 R 的球 O 的直径 AB 垂直于平面 ? ,垂足为 B , A BCD 是平面 ? 内边长为 R 的正三角形,线段 AC 、 AD 分别 与球面交于点 M,N,那么 M、N 两点间的球面距离是

?

(A) R arccos

17 25

(B) R arccos

18 25

O
M B

N D

(C) ? R
1 3

(D)

4 ?R 15

15 解析:由已知,AB=2R,BC=R,故 tan∠BAC=

1 2

cos∠BAC=

2 5 5

连结 OM,则△OAM 为等腰三角形 AM=2AOcos∠BAC=

4 5 4 5 R ,同理 AN= R ,且 MN∥CD 5 5
MN=

而 AC= 5 R,CD=R 故 MN:CD=AN:AC ?

4 R, 5

连结 OM、ON,有 OM=ON=R 于是 cos∠MON=

OM 2 ? ON 2 ? MN 2 17 ? 2OM ? ON 25

所以 M、N 两点间的球面距离是 R arccos

17 25

16.(2010 福建文数)3.若一个底面是正三角形的三棱柱的正 视图如图所示,则其侧面积等于 ( ... A. 3 C. 2 3 B.2 D.6 )

16【答案】D【解析】由正视图知:三棱柱是以底面边长为 2, 高为 1 的正三棱柱,所以底面积为 2 ?

3 ? 4 ? 2 3 ,侧面积为 3 ? 2 ?1 ? 6 ,选 D. 4

17 2010 全国卷 1 文数) ( (6)直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, ?BAC ? 90? ,AB ? AC ? AA1 , 若 则异面直线 BA1 与 AC1 所成的角等于 (A)30° (B)45°(C)60° (D)90° 17.C【解析】延长 CA 到 D,使得 AD ? AC ,则 ADAC1 为平行四边形, ?DA B 就是异 1 1 面直线

BA1 与 AC1 所成的角,又三角形 A1DB 为等边三角形,??DA1B ? 600
18(2010 山东理数)(3)在空间,下列命题正确的是 (A)平行直线的平行投影重合(B)平行于同一直线的两个平面平行 (C)垂直于同一平面的两个平面平行(D)垂直于同一平面的两条直线平行 18.【答案】D

(2006)17、(本题 14 分)如图 5 所
D

O1

E

示, AF 、 DE 分别世 ? O 、 ? O 的直
1

径, AD 与两圆所在的平面均垂 直,
AD ? 8

C

.

BC



?O

的直径,

A B

O

F

AB ? AC ? 6 , OE // AD .

图5

(I)求二面角 B ? AD ? F 的大小; (II)求直线 BD 与 EF 所成的角.

17、解:(Ⅰ)∵AD 与两圆所在的平面均垂直, ∴AD⊥AB, AD⊥AF,故∠BAD 是二面角 B—AD—F 的平面角, 依题意可知,ABCD 是正方形,所以∠BAD=450. 即二面角 B—AD—F 的大小为 450; (Ⅱ)以 O 为原点,BC、AF、OE 所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系(如图所示), 则 O(0,0,0),A(0, ? 3 2 ,0),B( 3 2 ,0,0),D(0, ? 3 2 ,8),E(0,0, 8),F(0, 3 2 ,0) 所以, BD ? (?3 2,?3 2,8), FE ? (0,?3 2,8)

cos ? BD , EF ??
设 异 面 直 线

BD ? FE | BD || FE |
BD 与

?

0 ? 18 ? 64 100 ? 82
EF

?

82 10

所 成 角 为

? , 则

cos? ?| cos ? BD, EF ?|?

82 10 82 10

直线 BD 与 EF 所成的角为 arccos

(2007) 17.(本小题满分12分) 已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形,正视图(或称主 视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形,侧视图(或称左视 图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.

(1)求该儿何体的体积V; (2)求该几何体的侧面积S
【解析】画出直观图并就该图作必要的说明. …………………3分 (2) V ? 64 ……………7分 (3) S ? 40 ? 24 2 ………12分

(2008) 18.(本小题满分 14 分) 如图 5 所示,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是半径为 R 的圆 的内接四边形,其中 BD 是圆的直径,∠ABD=60°,∠BDC=45°, △ADP~△BAD. (1)求线段 PD 的长; (2)若 PC= 11 R,求三棱锥 P-ABC 的体积.
A

P

D

B

图5 18.解:(1)因为 BD 是园的直径,所以 ?BAD ? 90 又△ADP~△BAD.
?

C

3 ? 4R2 ? AD DP AD 2 ? BD sin 60 ? 4 ? 3R 所以 ? , DP ? ? ? ? 1 BA AD BA ? BD sin 30 ? 2 R ? 2 ? (2)在 Rt ? BCD 中, CD ? BD cos 45 ? 2R 2 2 2 2 2 因为 PD ? CD ? 9R ? 2R ? 11R ? 所以 PD ? CD 又 ?PDA ? 90 所以 PD ? 底面 ABCD ? 3 1 1 2 1 2? 3? 2 S? ABC ? AB ? BC sin ? 60? ? 45? ? ? R ? 2 R ? ? ? ? R ?? ? 2 ? 2 2 2 2 2 ? 4 ? 三棱锥 P ? ABC 体积为 1 1 3 ?1 2 3 ?1 3 VP ? ABC ? ? S? ABC ? PD ? ? R ? 3R ? R 3 3 4 4

(2009) 17.(本小题满分 13 分) 某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 4 所示,墩的上半部 分是正四棱锥 P-EFGH,下半部分是长方体 ABCD-EFGH.图 5、 6 分 图 别是该标识墩的正(主)视图和俯视图. (1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图 (2)求该安全标识墩的体积

(3)证明:直线 BD ? 平面 PEG

【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.

(2)该安全标识墩的体积为: V ? VP? EFGH ? VABCD? EFGH

1 ? ? 402 ? 60 ? 402 ? 20 ? 32000 ? 32000 ? 64000 3
(3)如图,连结 EG,HF 及 BD,EG 与 HF 相交于 O,连结 PO. 由正四棱锥的性质可知, PO ? 平面 EFGH , 又 EG ? HF 又 BD P HF

? cm ?
2

? PO ? HF

? HF ? 平面 PEG ? BD ? 平面 PEG;

(2010) 18.(本小题满分 14 分) w_w w. k#s5_u.c o*m 如图 4, 弧AEC 是半径为 a 的半圆, AC 为直径,点 E 为弧 AC 的中 点, B 和点 C 为线段 AD 的三等分点, 点 平面 AEC 外一点 F 满足 FC ? 平 面 BED , FB = 5a . (1)证明: EB ? FD ; (2)求点 B 到平面 FED 的距离. w_w*w.k_s_5 u.c*o*m
18.法一:(1)证明:∵点 B 和点 C 为线段 AD 的三等分点, ∴点 B 为圆的圆心 又∵E 是弧 AC 的中点,AC 为直径, ∴ BC ? EB 即 BD ? EB ∵ FC ? 平面 BDE , EB ? 平面 BDE , ∴ FC ? EB 又 BD ? 平面 FBD , FC ? 平面 FBD 且 BD ? FC ? C ∴ EB ? 平面

FBD
又∵ FD ? 平面 FBD , ∴ EB ? FD (2)解:设点 B 到平面 FED 的距离(即三棱锥 B ? FED 的高)为 h . ∵ FC ? 平面 BDE , ∴FC 是三棱锥 F-BDE 的高,且三角形 FBC 为直角三角形 由已知可得 BC ? a ,又 FB ?

5a

∴ FC ?

( 5a) 2 ? a 2 ? 2a
1 ? 2a ? a ? a 2 , 2

在 Rt?BDE 中, BD ? 2a, BE ? a ,故 S ?BDE ? ∴ V F ? BDE ?

1 1 2 S ?BDE ? FC ? ? a 2 ? 2a ? a 3 , 3 3 3 又∵ EB ? 平面 FBD ,故三角形 EFB 和三角形 BDE 为直角三角形,
∴ EF ? 6a, DE ? 5a ,在 Rt?FCD 中, FD ?

5a , ∴ S ?FED ?

21 2 a , 2

∵ VF ? BDE ? VB ? FED 即

1 21 2 2 4 21 ? a ? h ? a 3 ,故 h ? a, 3 2 3 21 4 21 a. 21

即点 B 到平面 FED 的距离为 h ?

法二:向量法,此处略,请同学们动手完成。

(2011)18.(本小题满分 13 分) 图 5 所示的集合体是将高为 2,底面半径为 1 的直圆柱沿过轴的 平面切开后, 将其中一半沿切面向右水平平移后得到的. A′, A,
? ? ? ? B , B′ 分 别 为 CD , C ' D' , DE , D' E ' 的 中 点 , O1, O1' , O2,O2' 分 别 为
CD, C ' D ', DE, D ' E ' 的中点.

(1)证明: O1' , A' , O2 , B 四点共面;
' ' (2)设 G 为 A A′中点,延长\ AO1' 到 H′,使得 O1' H ' ? AO1' .证明: ' BO2 ? 平面H ' B'G'

18.(本小题满分 13 分)

? ? 证明:(1)? A, A?分别为CD, C?D? 中点,
? O1? A? / / O1 A
连接 BO2 ? 直线 BO2 是由直线 AO1 平移得到

? AO1 / / BO2
? O1? A? / / BO2
? O1? , A?, O2 , B 共面。
(2)将 AO1 延长至 H 使得 O1H=O1A, 连接 HO1? , HB, H ?H

// ? 由平移性质得 O1?O2? =HB

? BO2? / / HO1?

? ? A?G ? H ?O1? , H ?H ? A?H ?, ?O1? H ?H ? ?GA?H ? ? 2
? ?GA?H ? ? ?O1? H ?H

? ?H ?O1? H ? GH ?A ?
? O1? H ? H ?G ? BO2? ? H ?G

?
2

? O1?O2? ? B ?O2? , O1?O2? ? O2?O2 , B ?O2? ? O2?O2 ? O2? ? O1?O2? ? 平面B ?BO2 O2?

? O1?O2? ? BO2?
? BO2? ? H ?B ?
? H ?B ? ? H ?G ? H ?

? BO2? ? 平面H ?B ?G.


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