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2014年普通高中高二文科数学试题及答案


秘密★启用前

试卷类型:A

2014 年普通高中高二级测试



学(文)

本试卷共 4 页,20 小题,满分 150 分,测试用时 120 分钟。不能使用计算器. 注意事项: 1. 答题前,考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上. 2. 做选择题时,必须用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其它答案标号. 3. 非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔,将答案写在答题卡规定的位置上. 4. 所有题目必须在答题卡上指定位置作答,不按以上要求作答的答案无效. 5. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将答题卡交回. 参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 S h ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3 n (ad ? bc) 2 独立性检验观察值计算公式 k ? ,n ? a ?b ? c ? d . (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
独立性检验临界值表:

P( K 2 ? k0 ) 0.50
k0
0.455

0.25 1.323

0.15 2.072

0.05 3.841

0.025 5.024

0.005 7.879

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的.

⒈ i 是虚数单位, i ? (1 ? 2i) ? A. 2 ? i A. ? ? 1 ? B. ? 2 ? i B. ? 0 ? C. 2 ? i C. ?1 ? D. ? 2 ? i D. ? 2 ? ⒉已知集合 A ? ?? 1 , 0 , 1 , 2? , B ? ?x | ln(x ? 1) ? 0?,则 A ? B ? ⒊为了解甲、乙两批次产品中某微量元素的含量,采用随机抽样的方法从两批次 产品中各抽取 4 件,测得它们所含微量元素(单位:毫克)如下表: 产品编号 甲批产品所含微量元素 x 乙批产品所含微量元素 y 根据抽样数据推测 A.甲批产品所含微量元素比较稳定 C.两批产品所含微量元素一样稳定 B. ? 4 B.乙批产品所含微量元素比较稳定 D.以上判断都不对 D. ? 9
第 1 页 共 8 页

1 890 900

2 890 850

3 850 910

4 950 920

⒋已知向量 a ? (2 , 3) , b ? ( x , ? 6) ,且 a // b ,则 x ? A. 4 C. 9
高二数学(文)试题

⒌下列命题中,正确的是 A.如果两条平行直线中的一条与平面 ? 平行,那么另一条也与平面 ? 平行 B.若两个平面垂直,则一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面 C.若直线 l 与平面 ? 平行,则 l 与平面 ? 内的任意一条直线都没有公共点 D.垂直于同一平面的两个平面互相平行 ⒍ 如图, 直线 l 和圆 C , 当 l 从 l0 开始在平面上绕点 O 按逆时针方向匀速转动 (转 动角不超过 900 )时,它扫过的圆内阴影部分的面积 S 是时间 t 的函数,这个函 数的图象大致是

⒎已知 p : | x ? 2 |? 3 , q : ? 1 ? x ? 5 ,则 p 是 q 的 A.充分非必要条件 C.充要条件 B.必要非充分条件 D.非充分非必要条件

⒏在三角形 ABC 中, A ? 300 , AB ? 3 , BC ? 1 ,则 AC ? A. 1 B. 3 C. 2 D. 1 或 2
x2 y2 ⒐已知双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的焦点为 F1 、 F2 ,过 F1 作垂直于 x 轴 a b 5 的直线交双曲线于 A 、 B ,若 sin ?AF2 F1 ? ,则该双曲线的离心率 e ? 13 3 5 A. B. 2 C. D. 3 2 2 1 ⒑设 a ? R ,若函数 y ? x ? a ln x 在区间 ( , e) 有极值点,则 a 取值范围为 e 1 1 A. ( , e) B. ( ?e , ? ) e e 1 1 C. (?? , ) ? (e , ? ?) D. (?? , ? e) ? (? , ? ?) e e

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.
㈠必做题(11~13 题)

⒒已知命题 p :?x ? R ,x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 。 ⑴命题 p 是 ⑵写出命题 p 的否定 ? p :

命题 (填 “真” 或 “假” ) ; .

高二数学(文)试题

第 2 页 共 8 页

⒓在等差数列 ?an ? 中,若 a9 ? 0 ,则有 a1 ? a2 ? ? ? an ? a1 ? a2 ? ? ? a17?n (其中
n ? 17 ,且 n ? N ? ) .

类比上述性质,在等比数列 ?bn ? 中,若 b10 ? 1 ,则有
?y ? x ? ⒔若 x 、 y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 1 ,则 z ? ? x ? y 的最大值为 ? y ? ?1 ?
㈡选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题)

. .

⒕(坐标系与参数方程选做题)经过点 M (?1 , 2) 且倾斜角为 为 .

3? 的直线 l 的参数方程 4 C
A P B

⒖(几何证明选讲选做题)如图 1,圆内的两条弦 AB 、 CD 相交于圆内一点 P ,若 PA ? PB ? 4 , PD ? 4 PC ,则
CD ?


图1

D

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. ⒗(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 3 sin( 2 x ?

?
6

),x?R.

⑴求 f ( x) 的最小正周期; ⑵若 f (? ?

?

9 ) ? ? ,且 ? 是第一象限角,求 sin ? 的值. 6 5

⒘(本小题满分 14 分) 如图 2, ABCD ? A1 B1C1 D1 是长方体, AB ? AD ? a , AA1 ? 2a . ⑴求多面体 A1 B1C1 D1 ? BCD 的体积; ⑵求证:平面 A1 BD ? 平面 ACC1 A1 .

D1

C1 B1

A1

D A
图2

C
B

高二数学(文)试题

第 3 页 共 8 页

⒙(本小题满分 14 分) 为考察某种药物防治疾病的效果,对 105 只动物进行试验,得到如下的列联 表:
药物效果试验列联表

服用药 没服用药 总计

患病 10 20 30

未患病 45 30 75

总计 55 50 105

⑴能否以 97 .5% 的把握认为药物有效?为什么? ⑵用分层抽样方法在未患病的动物中随机抽取 5 只,服用药的动物应该抽取 几只? ⑶在⑵所抽取的 5 只动物中任取 2 只,求恰有 1 只服用药的动物的概率. ⒚(本小题满分 13 分) 已知点 P0 (0 , a1 ) 、 Pn (an , an?1 ) ( ?n ? N ? )都在直线 2 x ? y ? 1 ? 0 上. ⑴求证: ? an ? 1 ?是等比数列;
? n ? ? ⑵求数列 ? ? ( n ? N )的前 n 项和 S n . ? an ? 1 ?

⒛(本小题满分 13 分)
5 3 已知椭圆 ? 的两个焦点分别是 F1 (?2 , 0) 、 F2 (2 , 0) ,并且经过点 P( , ? ) . 2 2

⑴求椭圆 ? 的标准方程; ⑵求 ?F1 PF2 的平分线所在直线的方程. 21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x( x ? c) 2 ( x ? R , c 是实常数)在 x ? 2 处取极大值 . ... ⑴求 c 的值; ⑵在曲线 y ? f ( x) 上是否存在点 M ,使经过点 M 的切线与曲线 y ? f ( x) 有且 仅有一个公共点?若存在,求点 M 的坐标;若不存在,简要说明理由.

高二数学(文)试题

第 4 页 共 8 页

评分参考
一、选择题 二、填空题 ADBBC DCDAB
2

⒒真(2 分) ; ?x0 ? R , x0 ? 2x0 ? 3 ? 0 (3 分=1 分+2 分)
3 ? x ? ?1 ? t cos ? ? ? x ? ?1 ? t ? 4 ⒕? ( t 为参数) ,或 ? ( t 为参数)等 ?y ? 2 ? t ? y ? 2 ? t sin 3 ? ? 4 ?

⒓ b1 ? b2 ? ?? bn ? b1 ? b2 ? ?? b19?n(其中 n ? 19 ,且 n ? N ? ) (等式 4 分,条件 1 分)

⒔2

(每方程 2 分,其他 1 分) 三、解答题 ⒗⑴ f ( x) 的最小正周期 T ? ⑵由已知得 3 sin[ 2( x ?

⒖ 10

2? ? ? ??3 分(列式 2 分,计算 1 分) 2

?
6

)?

?
6

]??

9 ??4 分 5

9 3 即 3 cos 2 x ? ? ??6 分, cos 2 x ? ? ??7 分 5 5 3 4 2 5 1 ? 2 sin 2 x ? ? ??9 分, sin 2 x ? ( sin x ? ? )??10 分 5 5 5

因为 ? 是第一象限角,所以 sin x ?

2 5 ??12 分. 5

⒘⑴多面体 A1 B1C1 D1 ? BCD 的体积 V ? V长方体 ? VA1 ? ACD ??2 分
1 1 ? AB ? AD ? AA1 ? ? ? AB ? AD ? AA1 ??4 分 3 2
? 5 3 a ??6 分 3

⑵ A1 B1C1 D1 ? ABCD 是长方体, AA1 ? 底面 ABCD ??7 分, AA1 ? BD ??9 分 又因为 AB ? AD 且 ABCD 是长方体,所以 AC ? BD ??10 分

AA1 ? AC ? A ,所以 BD ? 平面 ACC1 A1 ??12 分
因为 BD ? 平面 A1 BD ,所以平面 A1 BD ? 平面 ACC1 A1 ??14 分.

高二数学(文)试题

第 5 页 共 8 页

⒙⑴ k ?

n(ad ? bc) 2 105? (10 ? 30 ? 20 ? 45) 2 ? ? 6.1 ? 5.024 ??3 分 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 55? 50 ? 30 ? 75

(其中,不论是否写公式,正确代入 1 分,近似计算 1 分,比较 1 分) 所以,能以 97 .5% 的把握认为药物有效??4 分 ⑵应抽取服用药的动物
45 ? 5 ? 3 (只)??7 分(列式 2 分,计算 1 分) 75

⑶由⑵知,已抽取没服用药的动物 5 ? 3 ? 2 (只)??8 分 记所抽取的动物为 a1 、 a2 、 a3 (服用药) , b1 、 b2 (没服用药) ,从中任取 2 只, 不同的取法有 a1a2 、a1a3 、a2 a3 、a1b1 、a1b2 、a2 b1 、a2 b2 、a3b1 、a3b2 、b1b2 ?? 10 分,共 10 种??11 分 恰有 1 只服用药的动物的取法有 a1b1 、 a1b2 、 a2 b1 、 a2 b2 、 a3b1 、 a3b2 ??12 分,共 6 种??13 分 各种取法等可能,所以恰有 1 只服用药的动物的概率 P ?
6 ? 0.6 ??14 分 10

⒚⑴依题意, 2 ? 0 ? a1 ? 1 ? 0 , 2an ? an?1 ? 1 ? 0 ( ?n ? N ? )??2 分 所以 a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 1??3 分

an?1 ? 1 ? 2an ? 1 ? 1 ? 2(an ? 1) ??4 分
a1 ? 1 ? 2 ? 0 ??5 分,所以 ? an ? 1 ?是等比数列??6 分
⑵由⑴得 an ? 1 ? 2 n ??7 分, 依题意, S n ?
2S n ? 1 ?

n n ? n ??8 分 an ? 1 2

1 2 3 n ?1 n ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? n ??9 分 2 2 2 2 2

2 3 n ?1 n ? 2 ? ? ? n ? 2 ? n ?1 ??11 分 2 2 2 2 1 1 1 n ? 2 ? ? ? n ?1 ? n ??12 分 2 2 2 2

两式相减得: S n ? 1 ?
? 2?

n?2 ??13 分. 2n

高二数学(文)试题

第 6 页 共 8 页

⒛⑴依题意,设椭圆 ? 的标准方程为

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )??1 分 a2 b2

5 3 5 3 c ? 2 ??2 分, 2a ? (?2 ? ) 2 ? ( ) 2 ? (2 ? ) 2 ? ( ) 2 ? 2 10 ??4 分 2 2 2 2
所以 a ? 10 , b ? a 2 ? c 2 ? 6 ??5 分 椭圆 ? 的标准方程为
x2 y2 ? ? 1 ??6 分 10 6
5 3 9 3 1 3 , ) , PF1 ? ( ? , ) , PF2 ? ( ? , ) ??8 分 2 2 2 2 2 2

⑵由图可知, ?F1 PF2 的平分线与 x 轴相交,设交点为 Q(m , 0) ??7 分 (方法一) PQ ? (m ?

依题意, ?F1 PQ ? ?F2 PQ , cos?F1 PQ ? cos?F2 PQ ??10 分 | PF1 | ? | PQ | | PF2 | ? | PQ | 9 27 m 7 ? m? ? ? 2 2 2 2 ? 即 ??11 分 3 10 5 2 9 10 5 2 9 (m ? ) ? (m ? ) ? 2 2 4 2 2 4 解得 m ? 1 ??12 分 y?0 x ?1 角平分线 PQ 所在直线的方程为 ,即 x ? y ? 1 ? 0 ??13 分 ? 3 5 ? ?0 ?1 2 2 1 5 3 3 10 ??8 分 (方法二) | PF1 |? ( ? 2) 2 ? ( ) 2 ? 10 , | PF2 |? 2 2 2 2 | PF1 | | QF1 | 因为 PQ 是角平分线,所以 ??10 分 ? | PF2 | | QF2 | 3 m?2 即 ? ??11 分 1 m?2 解得 m ? 1 ??12 分 y?0 x ?1 角平分线 PQ 所在直线的方程为 ,即 x ? y ? 1 ? 0 ??13 分 ? 3 5 ? ?0 ?1 2 2
PF1 ? PQ ? PF2 ? PQ

高二数学(文)试题

第 7 页 共 8 页

21.⑴ f / ( x) ? ( x ? c) 2 ? 2x( x ? c) ? ( x ? c)(3x ? c) ??1 分

f / (2) ? (2 ? c)(6 ? c) ? 0 ??2 分,解得 c ? 2 或 c ? 6 ??3 分
c ? 2 时,由 f / ( x) ? 0 得 x ? 2 或 x ?

2 , 3 2 ( , 2) 3
2

x
f / ( x)
f ( x)

( ?? ,

2 ) 3

2 3

( 2 , ? ?)

+ ↗

0 极大

- ↘

0 极小

+ ↗

??4 分, f ( x) 在 x ? 2 处取得极小值,不符合题意??5 分
c ? 6 时,由 f / ( x) ? 0 得 x ? 2 或 x ? 6 ,

x

(?? , 2)

2

(2 , 6)

6

(6 , ? ? )

f / ( x) + 0 - 0 f ( x) ↗ 极大 ↘ 极小 ??6 分, f ( x) 在 x ? 2 处取得极大值,所以 c ? 6 ??7 分
⑵由⑴知 f ( x) ? x( x ? 6) 2 , f / ( x) ? 3( x ? 2)(x ? 6)

+ ↗

设 M (a , a(a ? 6) 2 ) ,切线方程为 y ? a(a ? 6) 2 ? 3(a ? 2)(a ? 6)(x ? a) ??8 分 设 g ( x) ? f ( x) ? [a(a ? 6) 2 ? 3(a ? 2)(a ? 6)(x ? a)],切线与曲线 y ? f ( x) 有且仅 有一个公共点,即函数 g ( x) 有且仅有一个零点??9 分

g / ( x) ? f / ( x) ? 3(a ? 2)(a ? 6) ? 3( x ? a)(x ? a ? 8) ??10 分
若a ? 4, 则 g / ( x) ? ( x ? 4) 2 ? 0 ,g ( x) 单调递增, 有且仅有一个零点 x ? a ?? 11 分 若 a ? 4 ,类似⑴讨论知, g ( x) 在 (a , 8 ? a) 单调递减,在 (8 ? a , ? ?) 单调递 增,所以 g (8 ? a) ? g (a) ? 0 ,从而 g ( x) 在 (8 ? a , ? ?) 有一个零点,所以 g ( x) 在定 义域有两个零点??12 分 同理,若 a ? 4 , g ( x) 在定义域有两个零点??13 分 综上所述,存在唯一一点 M (4 , 16) ,经过点 M 的切线与曲线 y ? f ( x) 有且仅 有一个公共点??14 分

高二数学(文)试题

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