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2.3.2两个变量的线性相关(导学案)


大兴安岭实验中学《学案导学教学方式的研究》 “十二五”省级课题重点课题 大兴安岭实验中学数学学科导学案 使用 时间 教学 课题 2014 年 11 月 主备 刘 艳 审 批 张宝军 人 霞 人 李雁航 第一次批 阅 第二次批 阅

2.3.2 两个变量的线性相关

学习目标:
1.通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图, 并利用散点图直观认识变量 间的相关关系. 2.经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程,知道最小二乘法的思想,能根据 给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.

学习重难点:
重点:作出散点图和根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程 难点:对最小二乘法的理解。

一、新课探究
(一) 、思考:考察下列问题中两个变量之间的关系: (1)商品销售收入与广告支出经费; (2)粮食产量与施肥量; (3)人体内的脂肪含量与年龄. 这些问题中两个变量之间的关系是函数关系? 【说明】函数关系是一种非常确定的关系,而相关关系是一种非确定性关系。 思考探究: 1、有关法律规定,香烟盒上必须印上“吸烟有害健康”的警示语。吸烟是否一定会引 起健康问题?你认为“健康问题不一定是由吸烟引起的,所以可以吸烟”的说法对吗? 2、某地区的环境条件适合天鹅栖息繁衍,有人经统计发现了一个有趣的现象,如果村 庄附近栖息的天鹅多,那么这个村庄的婴儿出生率也高,天鹅少的地方婴儿出生率低,于是 他得出了一个结论: 天鹅能够带来孩子。 你认为这样的结论可靠吗?如何证明这个问题的可 靠性? (2) 、散点图 探究:在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据: 年龄 脂肪 脂肪 23 9.5 29.6 27 17.8 30.2 39 21.2 31.4 41 25.9 30.8 45 27.5 33.5 49 26.3 35.2 50 28.2 34.6

其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄人群脂肪含量的样本平均数。 思考探究: 1、对某一个人来说,他的体内脂肪含量不一定随年龄增长而增加或减少,但是如果把 很多个体放在一起,就可能表现出一定的规律性.观察上表中的数据,大体上看,随着年龄 的增加,人体脂肪含量怎样变化? 1 班级 姓名

2、为了确定年龄和人体脂肪含量之间的更明确的关系,我们需要对数据进行分析,通 过作图可以对两个变量之间的关系有一个直观的印象.以 x 轴表示年龄,y 轴表示脂肪含量, 你能在直角坐标系中描出样本数据对应的图形吗? 3 、观察人的年龄的与人体脂肪含量散点图的大致趋势,有什么样的特点?阅读课本

P85~86 ,这种相关关系我们称为什么?还有没有其他的相关关系?它又有怎样的特点?

(3) 、线性相关、回归直线方程和最小二乘法 1:如果散点图中的点的分布,从整体上看大致在 具有 关系,这条直线叫做 。 2:公式
n ? ( xi ? x )( y i ? y ) ? ?b ? i ?1 ? ? n ? 2 ( xi ? x ) ? i ?1 ? ? ?a ? y ? bx.

附近,则称这两个变量之间

?

?x y
i i ?1 n

n

i

? nx y , ? nx
2

?

?x
i ?1

2 i

其中 x =

,y=

,a 为回归方程的

,b 为



3:求回归直线,使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法叫最小二乘法。

二、典型例题
例 1.下列两个变量之间的关系,哪个不是函数关系 ( A.角度和它的余弦值 C.正 n 边形的边数和内角度数之和 )

B.正方形的边长和面积 D.人的年龄与身高 )

例 2.下列两个变量中具有相关关系 的是( A.正方形的体积与边长 C.人的身高与体重

B.匀速行驶的车辆的行驶距离与时间 D.人的身高与视力

例 3. 由 一 组 10 个 数 据 (xi , yi) 算 得 x ? 5, y ? 10,

?x
i ?1

n

i

y i ? 583, ? x i ? 292, 则
2 i ?1

n

b=

,a=
气温/℃ 杯数

,回归方程为_____________________.
26 20 18 24 13 34 10 38 4 50 -1 64

例 4、下表是某小卖部 6 天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表:

(1)将上表中的数据制成散点图. (2)你能从散点图中发现温度与饮料杯数近似成什么关系吗? (3)如果近似成线性关系的话,请求出回归直线方程来近似地表示这种线性关系. (4)如果某天的气温是-5℃时,预测这天小卖部卖出热茶的杯数.
2

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三、当堂检测
1.有关线性回归的说法,不正确的是 A.相关关系的两个变量不是因果关系 B.散点图能直观地反映数据的相关程度 C.回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系 D.任一组数据都有回归方程 2.下面哪些变量是相关关系 A.出租车费与行驶的里程 B.房屋面积与房屋价格 C.身高与体重 D.铁的大小与质量 ? =1.5x-15,则 3.回归方程 y A. y =1.5 x -15 B.15 是回归系数 a C.1.5 是回归系数 a D.x=10 时,y=0 4.r 是相关系数,则结论正确的个数为 ①r∈[-1,-0.75]时,两变量负相关很强 ②r∈[0.75,1]时,两变量正相关很强 ③r∈(-0.75,-0.3]或[0.3,0.75)时,两变量相关性一般 ④r=0.1 时,两变量相关很弱 A.1 B.2 C.3 ? =bx+a 过定点________. 5.线性回归方程 y 零件数 x(个) 加工时间 y(分钟) 10 12 20 25 30 33 40 48 D.4

6.一家工厂为了对职工进行技能检查,对某位职工进行了 10 次实验,收集数据如下: 50 55 60 61 70 64 80 70

(1)画出散点图; (2)求回归方程.

3

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四、归纳总结
1.通过收集现实问题中两个有关联变量之间的数据认识变量间的相关关系。 2.通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图,并利用散点图直观认识变量间 的相关关系 3.两个变量具有线性相关关系时,会在数点图中作出线性回归直线,会用线性回归进行预 测。 4、求样本数据的线性回归方程,可按下列步骤进行: (1)计算平均数 x , y ; (2)求 a,b; (3)写出回归直线方程。

五、课后作业
1.下列两个变量之间的关系不具有线性关系的是( ) A.小麦产量与施肥值 B.球的体积与表面积 C.蛋鸭产蛋个数与饲养天数 D.甘蔗的含糖量与生长期的日照天数 2.下列变量之间是函数关系的是( ) A.已知二次函数 y ? ax ? bx ? c ,其中 a , c 是已知常数,取 b 为自变量,因变量是这个函
2

数的判别式: ? ? b ? 4ac
2

B.光照时间和果树亩产量

C.降雪量和交通事故发生率 D.每亩施用肥料量和粮食亩产量 3.下面现象间的关系属于线性相关关系的是( ) A.圆的周长和它的半径之间的关系 B.价格不变条件下,商品销售额与销售量之间的关系 C.家庭收入愈多,其消费支出也有增长的趋势 D.正方形面积和它的边长之间的关系 4.下列关系中是函数关系的是( ) A.球的半径长度和体积的关系 B.农作物收获和施肥量的关系 C.商品销售额和利润的关系 D.产品产量与单位成品成本的关系

? ? 2 ? 1.5 x ,则变量 x 增加一个单位时( 5.设有一个回归方程为 y
A. y 平均增加 1.5 单位 C. y 平均减少 1.5 单位 B. y 平均增加 2 单位 D. y 平均减少 2 单位



? ? 50 ? 80 x ,下列 6.工人月工资( x 元)与劳动生产率( x 千元)变化的回归直线方程为 y
判断不正确的是( ) A.劳动生产率为 1000 元时,工资约为 130 元 B.劳动生产率提高 1000 元时,则工资平均提高 80 元 C.劳动生产率提高 1000 元时,则工资平均提高 130 元 D.当月工资为 210 元时,劳动生产率约为 2000 元 7.某城市近 10 年居民的年收入 x 与支出 y 之间的关系大致符合 y ? 0.8x ? 0.1 (单位: 亿元) ,预计今年该城市居民年收入为 15 亿元,则年支出估计是

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