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2013届高三第一次调研测试


高三不再有,劝君珍惜之。一年之经历,终身之财富

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南京市四星级高级中学 2013 届高三联考调研考试

数学Ⅰ
球的表面积为 S ? 4?R 2 ,其中 R 表示球的半径。

时间 2013 年 3 月参考公式:

一、填空题:本大题共 14

题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题纸相应位置上. . ........ 1、已知集合 P ? x x ( x ? 1) ≥ 0 , Q ? ?x | y ? ln(x ? 1)? ,则 P ? Q = 2、若复数 z ? a2 ?1 ? (a ? 1)i ( a ? R )是纯虚数,则 z = ▲ .

?

?



.

3、已知双曲线的中心在坐标原点,一个焦点为 F (10, 0) ,两条渐近线的方程为 y ? ? ▲ . 4、在等比数列{ an }中,若 a7 ? a9 ? 4, a4 ? 1 ,则 a12 的值是
3

4 x ,则该双曲线的标准方程为 3



.

5、 在用二分法求方程 x ? 2 x ? 1 ? 0 的一个近似解时,现在已经将一根锁定在区间(1,2)内,则下一步可断定该根所在 ... 的区间为 ▲ . 6.从 0,1,2,3 这四个数字中一次随机取两个数字,若用这两个数字组成无重复数字的两位数,则所得两位数为偶 数的概率是 ▲ . 7.已知等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,若 a 2 a 8 ? 2a 3 a 6 , S 5 ? ?62 ,则 a1 的值是 ▲
x2 a2 ? y2 b2

.

8.已知双曲线

? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F , 若以 F 为圆心的圆 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 与此双曲线的渐近线相

切,则该双曲线的离心率为



. .

9.由命题“ ?x ? R, x 2 ? 2 x ? m ? 0 ”是假命题,求得实数 m 的取值范围是 (a ,??) ,则实数 a 的值是 ▲

? x ? 0, 11 ? 10.已知实数 x, y 满足约束条件 ? y ? 2 x ? 1, ( k 为常数) ,若目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值是 ,则实数 k 的值是 3 ?x ? y ? k ? 0 ?



.

? 3 x , x ? [0,1] ? 11.已知函数 f ( x ) ? ? 9 3 ,当 t ? [0,1] 时, f ( f ( t )) ? [0,1] ,则实数 t 的取值范围是 ? ? x , x ? (1,3] ?2 2



.

12、过定点 P (1,2)的直线在 x轴与y轴 正半轴上的截距分别为 a、 b ,则 4 a ? b 的最小值为
2 2



.

13、已知 ?an ? 是首项为 a,公差为 1 的等差数列, bn ? 范围是 ▲ .

1 ? an * .若对任意的 n ? N ,都有 bn ? b8 成立,则实数 a 的取值 an

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信心来自于实力,实力来自于勤奋 14、已知 f1 ( x) ? ex sin x , fn ( x) ? f n??1 ( x), n ? 2 ,则
2008 i ?1

只求“少丢分”,不说“得高分

? f (0) ?
i



.

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题纸指定的区域内作答,解答题应写出文字说明、证明过程或演 ........... 算步骤. 15.(本小题满分 14 分)在△ ABC ,已知 (sin A ? sin B ? sin C )(sin B ? sin C ? sin A) ? 3 sin B sin C . (1) 求角 A 值; (2) 求 3 sin B ? cos C 的最大值.

16.(本小题满分 14 分) 如图,在四棱柱 ABCD ? A1 B1C 1 D1 中,已知平面 AA1 C 1 C ? 平面 ABCD , 且 AB ? BC ? CA ? 3 ,
AD ? CD ? 1 .

(1) 求证: BD ? AA1 ; (2) 若 E 为棱 BC 的中点, 求证:AE // 平面 DCC 1 D1 .
A1 B1

D1 C1

D A
第 16 题 图

C

E B

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人生能有几次搏?莫到白发还未博 2

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17.(本小题满分 14 分) 如图,两座建筑物 AB, CD 的底部都在同一个水平面上,且均与水平面垂直,它们的高度分别是 9 cm 和 15 cm ,从 建筑物 AB 的顶部 A 看建筑物 CD 的视角 ?CAD ? 45? . (1) 求 BC 的长度; (2) 在线段 BC 上取一点 P ( 点 P 与点 B, C 不重合) ,从点 P 看这两座建筑物的视角分别为 ?APB ? ? , ?DPC ? ? , 问 点 P 在何处时, ? ? ? 最小?

D A

?
B P

?
C
第 17 题图

18.(本小题满分 16 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 E :
x2 a
2

?

y2 b
2

? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2,且过点 ( 2 ,

6 ). 2

(1) 求椭圆 E 的方程; (2) 若点 A , B 分别是椭圆 E 的左、右顶点,直线 l 经过点 B 且垂直于 x 轴,点 P 是椭圆上异于 A , B 的任意 一点,直线 AP 交 l 于点 M . (ⅰ)设直线 OM 的斜率为 k 1 , 直线 BP 的斜率为 k 2 ,求证: k 1 k 2 为定值; (ⅱ)设过点 M 垂直于 PB 的直线为 m . 求证:直线 m 过定点,并求出定点的坐标.

y P A
O

M

B
x
l

m

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信心来自于实力,实力来自于勤奋 19、(本小题满分 16 分)

只求“少丢分”,不说“得高分

已知函数 f ( x) ? k[(log a x) 2 ? (log x a) 2] ?(log a x) 3 ?(log x a 3 , g ( x) ? (3 ? k 2 )(loga x ? log x a) , ) (其中 a ? 1 ),设 t ? log a x ? log x a . (Ⅰ)当 x ? (1, a) ? (a, ??) 时,试将 f ( x ) 表示成 t 的函数 h(t ) ,并探究函数 h(t ) 是否有极值;(7 分) (Ⅱ)当 x ? (1, ??) 时,若存在 x0 ? (1, ??) ,使 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,试求 k 的范围. (9 分)

20、(本小题满分 16 分) 已知 a 为实数,数列 ?an ? 满足 a1 ? a ,当 n ? 2 时, an ? ? (Ⅰ) 当a ? 100 时,求数列?an ?的前100项的和S100 ;(5 分) (Ⅱ)证明:对于数列 ?an ? ,一定存在 k ? N ,使 0 ? ak ? 3 ;(5 分)
*

?an?1 ? 3 ?4 ? an ?1

(an?1 ? 3) (an ?1 ? 3)



(Ⅲ)令 bn ?

n an 20 ? a ,当 2 ? a ? 3 时,求证: ? bi ? . (6 分) n n 2 ? (?1) 12 i ?1

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数学Ⅰ试题参考答案与评分标准
一、填空题 1. ?1, ?? ? 7. ?2 2.2

x2 y 2 ? ?1 3. 36 64

4.4

5. ?

?3 ? , 2 ?(说明:写成闭区间也算对) ?2 ?

6.

5 9

3 5 7 9. 1 10. ?3 11. [log3 ,1] 12.32 13. ? ?8, ?7 ? 5 3 二、解答题 15.⑴因为 (sin A ? sin B ? sin C )(sin B ? sin C ? sin A) ? 3sin B sin C , 由正弦定理,得 (a ? b ? c)(b ? c ? a) ? 3bc ,????????????????2 分
8. 所以 b2 ? c 2 ? a 2 ? bc ,所以 cos A ? 因为 A? (0, ?) ,所以 A ?

14.1 ? 4

502

b2 ? c2 ? a 2 1 ? ,????????????4 分 2bc 2

? .??????????????????????6 分 3 ? 2? 2? ⑵ 由 A ? ,得 B ? C ? ,所以 3sin B ? cos C ? 3sin B ? cos( ? B) 3 3 3 1 3 ? ? 3 sin B ? (? cos B ? sin B) ? sin( B + ) ,??????????????10 分 2 2 6 2? ? ? ?? 因为 0 ? B ? ,所以 ? B + ? ,?????????????????12 分 3 6 6 6 ? ? ? 当 B + ? ,即 B ? 时, 3sin B ? cos C 的最大值为 1 . ????????14 分 6 2 3
16.⑴在四边形 ABCD 中,因为 BA ? BC , DA ? DC ,所以 BD ? AC ,?????2 分 又平面 AAC1C ? 平面 ABCD ,且平面 AA1C1C ? 平面 ABCD ? AC , 1

BD ? 平面 ABCD ,所以 BD ? 平面 AA1C1C ,???????????????4 分
又因为 AA1 ? 平面 AA1C1C ,所以 BD ? AA1 .???????????????7 分 ⑵在三角形 ABC 中,因为 AB ? AC ,且 E 为 BC 中点,所以 AE ? BC ,???9 分 又因为在四边形 ABCD 中, AB ? BC ? CA ? 3 , DA ? DC ? 1 , 所以 ?ACB ? 60? , ?ACD ? 30? ,所以 DC ? BC ,所以 AE ? DC ,????12 分 因为 DC ? 平面 DCC1 D1 , AE ? 平面 DCC1 D1 ,所以 AE ? 平面 DCC1 D1 .?14 分 17.⑴作 AE ? CD ,垂足为 E ,则 CE ? 9 , DE ? 6 ,设 BC ? x , 则 tan ?CAD ? tan(?CAE + ?DAE) ?

tan ?CAE + tan ?DAE ???????2 分 1 ? tan ?CAE ? tan ?DAE

9 6 + ? x x ? 1 ,化简得 x 2 ? 15 x ? 54 ? 0 ,解之得, x ? 18 或 x ? ?3 (舍) 9 6 1? ? x x
答: BC 的长度为 18m .????????????????????????6 分 ⑵设 BP ? t ,则 CP ? 18 ? t (0 ? t ? 18) ,
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信心来自于实力,实力来自于勤奋

只求“少丢分”,不说“得高分

9 15 + 162 + 6t 6(27 + t ) tan(? + ? ) ? t 18 ? t ? 2 ? 2 .?????????8 分 9 15 ?t + 18t ? 135 ?t + 18t ? 135 1? ? t 18 ? t
设 f (t ) ?

t 2 + 54t ? 27 ? 23 27 + t , f ?(t ) ? 2 , 令 f ?(t )? 0, 因 为 0 ? t ? 1 8, 得 t ? 15 6 ? 27 , 当 (t ? 18t + 135) 2 ?t 2 + 18t ? 135
时, 2 7 ) f ?(t ) ? 0 , f (t ) 是减函数;当 t ? (15 6 ? 27,18) 时, f ?(t ) ? 0 , f (t ) 是增函

t ?( 0 , 1 5 ? 6
数,

所以,当 t ? 15 6 ? 27 时, f (t ) 取得最小值,即 tan(? + ? ) 取得最小值,???12 分 因为 ?t 2 + 18t ? 135 ? 0 恒成立,所以 f (t ) ? 0 ,所以 tan(? + ? ) ? 0 , ? + ? ? ( , ?) , 因为 y ? tan x 在 ( , ?) 上是增函数,所以当 t ? 15 6 ? 27 时, ? + ? 取得最小值. 答:当 BP 为 (15 6 ? 27)m 时, ? + ? 取得最小值. ???????????14 分 18.⑴由题意得 2c ? 2 ,所以 c ? 1 ,又

? 2

? 2

2 3 + 2 ? 1 ,?????????????2 分 2 a 2b 1 消去 a 可得, 2b4 ? 5b2 ? 3 ? 0 ,解得 b2 ? 3 或 b2 ? ? (舍去) ,则 a 2 ? 4 , 2 x2 y2 ? ? 1 .????????????????????4 分 所以椭圆 E 的方程为 4 3
⑵(ⅰ)设 P( x1 , y1 )( y1 ? 0) , M (2, y0 ) ,则 k1 ?

y1 y0 , k2 ? , x1 ? 2 2

因为 A, P, B 三点共线,所以 y0 ?

y0 y1 4 y12 4 y1 ? , 所以, k1k2 ? ,8 分 x1 ? 2 2( x1 ? 2) 2( x12 ? 4)

因为 P( x1 , y1 ) 在椭圆上,所以 y12 ? (4 ? x12 ) ,故 k1k2 ?

3 4

4 y12 3 ? ? 为定值.10 分 2 2( x1 ? 4) 2

(ⅱ)直线 BP 的斜率为 k2 ?

y1 2 ? x1 ,直线 m 的斜率为 km ? , x1 ? 2 y1

则直线 m 的方程为 y ? y0 ?

2 ? x1 ( x ? 2) ,????????????????12 分 y1

y?

2 ? x1 2( x12 ? 4) ? 4 y12 2 ? x1 2 ? x1 2(2 ? x1 ) 4 y1 ( x ? 2) ? y0 ? x? ? ? x? y1 y1 y1 x1 ? 2 y1 ( x1 ? 2) y1

?

2 ? x1 2( x12 ? 4) ? 12 ? 3x12 2 ? x1 2 ? x1 2 ? x1 x? ( x ? 1) , x? = = y1 y1 y1 y1 ( x1 ? 2) y1
?????????????????????16 分

所以直线 m 过定点 (?1,0) .

看清知识的盲点、能力的弱项、丢分的原因

人生能有几次搏?莫到白发还未博 6

高三不再有,劝君珍惜之。一年之经历,终身之财富 19. 解: (Ⅰ)∵ (loga x)2 ? (log x a)2 ? (loga x ? log x a)2 ? 2 ? t 2 ? 2 ,

学强教育中小学名师联盟教育

(loga x)3 ? (log x a)3 ? (loga x ? logx a)[(loga x ? logx a)2 ? 3] ? t 3 ? 3t ,
∴ h(t ) ? ?t 3 ? kt 2 ? 3t ? 2k ,(t ? 2) ??????????????????? (3 分) ∴ h?(t ) ? ?3t 2 ? 2kt ? 3 设 t1 , t2 是 h?(t ) ? 0 的两根,则 t1t2 ? 0 ,∴ h?(t ) ? 0 在定义域内至多有一解, 欲使 h(t ) 在定义域内有极值,只需 h?(t ) ? ?3t 2 ? 2kt ? 3 ? 0 在 (2, ??) 内有解,且 h?(t ) 的值在根的左右两侧异号,

9 ??????????????? (6 分) 4 9 9 综上:当 k ? 时 h(t ) 在定义域内有且仅有一个极值,当 k ? 时 h(t ) 在定义域内无极值? (7 分) 4 4
∴ h?(2) ? 0 得 k ? (Ⅱ)∵存在 x0 ? (1, ??) ,使 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立等价于 f ( x) ? g ( x) 的最大值大于 0?(9 分) ∵ t ? log a x ? log x a ,∴ m(t ) ? ?t 3 ? kt 2 ? k 2t ? 2k ,(t ? 2) , ∴ m?(t ) ? ?3t 2 ? 2kt ? k 2 ? 0 得 t1 ? k , t2 ? ? 当 k ? 2 时, m(t )max ? m(k ) ? 0 得 k ? 2 ; 当 0 ? k ? 2 时, m(t )max ? m(2) ? 0 得

k . 3

17 ? 1 ? k ? 2 ?????????? (12 分) 2

当 k ? 0 时, m(t )max ? m(2) ? 0 不成立 ?????????????? (13 分) 当 ?6 ? k ? 0 时, m(t )max ? m(2) ? 0 得 ?6 ? k ? 当 k ? ?6 时, m(t ) max ? m( ? ) ? 0 得 k ? ?6 ; 综上得: k ?

? 17 ? 1 ; 2

k 3

? 17 ? 1 17 ? 1 或k ? ?????????????? (16 分) 2 2

20. 解:(Ⅰ)当a ? 100 时, 由题意知数列 ?an ? 的前 34 项成首项为 100,公差为-3 的等差数列,从第 35 项开始,奇数 项均为 3,偶数项均为 1,从而 S100 =

(100+97+94+ ??? +4+1) +(3+1+ ??? +3+1) 共34项 共66项

??(3 分)

=

(100 ? 1) ? 34 66 ? (3 ? 1) ? ? 1717 ? 132 ? 1849 . ????????????(5 分) 2 2

(Ⅱ)证明:①若 0 ? a1 ? 3 ,则题意成立?????????????????(6 分)
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信心来自于实力,实力来自于勤奋 ②若 a1 ? 3 ,此时数列 ?an ? 的前若干项满足 an ? an?1 ? 3 ,即 an ? a1 ? 3(n ?1) . 设 a1 ? ?3k ,3k ? 3?,(k ? 1, k ? N * ) ,则当 n ? k ? 1 时, ak ?1 ? a1 ? 3k ? ? 0,3? . 从而此时命题成立????????????????????(8 分) ③若 a1 ? 0 ,由题意得 a2 ? 4 ? a1 ? 3 ,则由②的结论知此时命题也成立. 综上所述,原命题成立???????????????????(10 分) (Ⅲ)当 2 ? a ? 3 时,因为 an ? ?

只求“少丢分”,不说“得高分

? a (n为奇数) , ?4 ? a(n为偶数)
(n为奇数)
????????????(11 分)

a ? ? 2n ? (?1) n a ? 所以 bn ? n n n = ? 2 ? ( ?1) ? 4 ? a ? 2n ? (?1) n ?

(n为偶数)

因为 bn >0,所以只要证明当 n ? 3 时不等式成立即可. 而 b2 k ?1 ? b2 k ?

4 ? a a ? 22 k ?1 ? 22 k ?1 ? (4 ? 2a) ? 22 k ?1 ? 1 22 k ? 1 (22 k ?1 ? 1)(22 k ? 1) a ?

?

a ? 22 k ?1 ? 22 k ?1 a ? 22 k ?1 ? 22 k ?1 a ? 4 ? ? 2 k ?????????????(13 分) 24 k ?1 ? 22 k ?1 ? 1 24 k ?1 2
*
2k a 4?a a?4 a?4 a?4 bi ? b1 ? b2 ? ? bi ? ? ? ( 2?2 ? 2?3 ????? 2?k ) ? 3 3 2 2 2 i ?1 i ?3 2k

①当 n ? 2k (k ? N 且k ? 2) 时,

1 1 1 (1 ? ( )k ?1 ) (a ? 4) ? (1 ? ( )k ?1 ) 4 4 4 4 a ? 4 20 ? a 4 4 ? . ? (15 分) ? ? (a ? 4) ? 2 ? ? ? ? 1 12 3 3 12 3 12 1? 4
②当 n ? 2k ?1(k ? N 且k ? 2) 时,由于 bn >0,所以
*
2 k ?1 i ?1

? b ? ?b <
i i ?1 i

2k

20 ? a . 12

综上所述,原不等式成立??????????????????????(16 分)

2012-2013 学 年 度 苏 锡 常 镇 四 市 高 三 教 学 情 况 调 研 ( — ) 数 学 Ⅰ 试 题
2013.3 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上. 1.已知全集 U ? ?1, 2,3, 4,5,6? , A ? ?1,3,5? , B ? ?1,2,3,5? ,则 ? ( A ? B) ? U 2.若实数 a 满足 ▲ .

2 ? ai ? 2i ,其中 i 是虚数单位,则 a ? ▲ 1? i

. 则“ m ? 1 ”是

3.已知 m 为实数,直线 l1 : mx ? y ? 3 ? 0 , l2 : (3m ? 2) x ? my ? 2 ? 0 ,
看清知识的盲点、能力的弱项、丢分的原因

While I ? 20

T ?1 I ?3

人生能有几次搏?莫到白发还未博 8 I ? I ?2

T ?T ?I

End While Print T

高三不再有,劝君珍惜之。一年之经历,终身之财富 “ l1 // l2 ”的 ▲ 条件(请在“充要、充分不 ▲ .

学强教育中小学名师联盟教育 必要、必要不充分、既不充分也不必要”中选择一个天空) .

4.根据右图的伪代码,输出的结果 T 为

5.已知 l , m 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,有下列四个命题: ①若 l ? ? ,且 ? ? ? ,则 l ? ? ;②若 l ? ? ,且 ? // ? ,则 l ? ? ; ③若 l ? ? ,且 ? ? ? ,则 l // ? ;④若 ? ? ? ? m ,且 l // m ,则 l // ? . 则所有正确命题的序号是 ▲ . 6.正四面体的四个面上分别写有数字 0,1,2,3,把两个这样的四面体抛在桌面上, 则露在外面的 6 个数字恰好是 2,0,1,3,0,3 的概率为 ▲ .

1 ,则 cos(300 ? 2? ) 的值为 ▲ . 3 ? ? ? ? ? ? 0 8.已知向量 a , b 的夹角为 45 ,且 a ? 1 , 2a ? b ? 10 ,则 b ?
7.已知 cos(75 ? ? ) ?
0





9. Sn , n 分别是等差数列 ?an ? , bn ? 的前 n 项和, 设 已知 T ?

S n 2n ? 1 a10 a11 n , ?N*, 则 ? ? ? Tn 4n ? 2 b3 ? b18 b6 ? b15





10.已知 F , F2 是双曲线的两个焦点,以线段 F1F2 为边作正 ?MF F2 ,若边 MF1 的中点在此双曲线上,则此双曲 1 1 线的离心率为 ▲ .

11.在平面直角坐标系 xOy 中, A(1, 0) ,函数 y ? e x 的图像与 y 轴的交点为 B , P 为函数 y ? e x 图像上的任意一 点,则 OP?AB 的最小值

??? ??? ? ?





12.若对于给定的正实数 k ,函数 f ( x) ?

k 的图像上总存在点 C ,使得以 C 为圆心,1 为半径的圆上有两个不同的 x
▲ . ▲ .

点到原点 O 的距离为 2,则 k 的取值范围是 13.已知函数 f ( x) ?

5 5 x x ?1 x ? 2 x ? 3 ? ? ? ,则 f (? ? 2) ? f (? ? 2) ? 2 2 x ?1 x ? 2 x ? 3 x ? 4

14.设函数 f ( x) ? ln x 的定义域为 ? M , ?? ? ,且 M ? 0 ,对于任意 a , b , c ? ( M , ??) ,若 a , b , c 是直角三 角形的三条边长,且 f ( a ) , f (b) , f (c) 也能成为三角形的三条边长,那么 M 的最小值为 ▲ .

二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸 的指定区域内. 15.(本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c ,且 A , B , C 成等差数列.

3 , b ? 3 ,求 a ? c 的值; 2 (2)求 2sin A ? sin C 的取值范围.
(1)若 BA?BC ?

??? ??? ? ?

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信心来自于实力,实力来自于勤奋

只求“少丢分”,不说“得高分

16.(本小题满分 14 分) 如图,在三棱柱 A1B1C1 ? ABC 中,已知 E ,F ,G 分别为棱 AB , AC , AC1 的中点,?ACB ? 90 , A1F ? 1
0

平面 ABC , CH ? BG , H 为垂足.求证: (1) A E // 平面 GBC ; 1 (2) BG ? 平面 ACH .

C1 G A1 B1

C F A E

H B

17.(本小题满分 14 分) 已 知 实 数 a , b , c ? R , 函 数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx 满 足 f (1)? 0, 设 f ( x ) 的 导 函 数 为 f ?( x ) , 满 足

f ?(0) f ?(1) ? 0 . (1)求

c 的取值范围; (2)设 a 为常数,且 a ? 0 ,已知函数 f ( x ) 的两个极值点为 x1 , x2 , a

? 2a a ? A( x1 , f ( x1 )) , B( x2 , f ( x2 )) ,求证:直线 AB 的斜率 k ? ? ? , ? ? . 6? ? 9

O
D A
18.(本小题满分 16 分) 某部门要设计一种如图所示的灯架,用来安装球心为 O ,半径为 R 的球形灯泡.该灯架由灯托、灯杆、灯脚三个部件组成,其中圆弧形

C
B E
(米) 灯 托 弧 的

? ? ? ? EA , EB , EC , ED 所在圆的圆心都是 O 、半径都是 R (米) 、圆
圆心角都是 ? (弧度) ;灯杆 EF 垂直于地面,杆顶 E 到地面的距离为 ( 米 ) 且 h ? R ; 灯 脚 FA1 , FB1 , FC1 , FD1 是 正 四 棱 锥 ,

h
F

D1
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C1 B1

人生能有几次搏?莫到白发还未博 10

A1

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正方形 A1B1C1D1 的外接圆半径为 R(米) 四条灯脚与灯杆所在直线的夹角都为 ?(弧 , F ? A1B1C1D1 的四条侧棱, 度) .已知灯杆、灯脚的造价都是每米 a (元),灯托造价是每米 总造价为 y (元) . (1)求 y 关于 ? 的函数关系式; (2)当 ? 取何值时, y 取得最小值?

a (元),其中 R , h , a 都为常数.设该灯架的 3

19.(本小题满分 16 分)已知椭圆 E :

x2 ? y 2 ? 1 的左、右顶点分别为 A , B ,圆 x2 ? y 2 ? 4 上有一动点 P , P 在 4

x 轴的上方,C (1, 0) ,直线 PA 交椭圆 E 于点 D ,连结 DC ,PB .
(1)若 ?ADC ? 90 ,求 ?ADC 的面积 S ;
0

y

DC 的斜率存在且分别为 k1 , 2 , k1 ? ? k2 , (2) 设直线 PB , k 若
求 ? 的取值范围.

D

P

A

O

C

B

x

20.(本小题满分 16 分) 设数列 ?an ? 的各项均为正数,其前 n 项的和为 Sn ,对于任意正整数 m ,n , Sm? n ? (1)若 a1 ? 1 ,求 a2 , a3 , a4 及数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 a4 ? a2 (a1 ? a2 ? 1) ,求证:数列 ?an ? 成等比数列.
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2a2m (1 ? S2n ) ? 1恒成立.

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盐城市 2013 届高三年级第二次模拟考试

数 学 试 题
(总分 160 分,考试时间 120 分钟) 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上. 1. 若集合 A ? ?1, m ? 2? , B ? ??1,2,4? ,且 A ? B ? 2? ,则实数 m 的值为 2. 若复数 z 满足 ?1 ? i ? z ? 2 ( i 为虚数单位) ,则 z = ▲ .

?



.

开始 a←1,b←1 N 输出 b 结束

3. 现有在外观上没有区别的 5 件产品,其中 3 件合格,2 件不合格, 从中任意抽检 2 件,则一件合格,另一件不合格的概率为 ▲ . 4. 已知正六棱锥的底面边长是 3,侧棱长为 5,则该正六棱锥的体积是





? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? 5. 若 e1 , e2 是两个单位向量, a ? e1 ? 2e2 , b ? 5e1 ? 4e2 ,且 a ? b ,
则 e1 , e2 的夹角为

a<4 Y b←2b a←a+1

??

?? ?



. ▲ . ▲ .

6. 如图,该程序运行后输出的结果为 7. 函数 f ? x ? ? 2sin ? x ?

第6题

? ?

??

? , x ?? ?? ,0? 的单调递增区间为 4?
?

2 8. 若等比数列 {an } 满足 am?3 ? 4 且 amam?4 ? a4 ( m ? N 且 m ? 4 ) ,则 a1a5 的值为 ▲ .

9. 过点(2,3)且与直线 l1 : y ? 0 和 l2 : y ?

3 x 都相切的所有圆的半径之和为 4





2 2 10. 设 函 数 y ? f ? x 满 足 对 任 意 的 x ? R , f ? x ? ? 0 且 f ? x ?1? ? f ? x ? ? 9 . 已 知 当 x ??0 , 1 时 , 有 ? ?

? 2013 ? f ? x ? ? 2 ? 4x ? 2 ,则 f ? ? 的值为 ? 6 ?
2





x2 y 11. 椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的左焦点为 F ,直线 x ? m 与椭圆相交于 A , B 两点,若 ?FAB 的周长最大时, a b
?FAB 的面积为 ab ,则椭圆的离心率为
12. 定义运算 a ? b ? ? ▲ .

?a ? a ? b ? 4? 1? ? ? ? ,则关于非零实数 x 的不等式 ? x ? ? ? 4 ? 8 ? x ? ? 的解集为 ▲ . x? x? ? ? ?b ? a ? b ? ?
▲ .

13. 若点 G 为 ?ABC 的重心,且 AG ? BG ,则 sin C 的最大值为

a 2 ? 2 ln a 3c ? 4 2 2 ? ? 1 ,则 ?a ? c? ? ?b ? d ? 的最小值为 ▲ . 14. 若实数 a 、 b 、 c 、 d 满足 b d

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二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸 的指定区域内. 15. (本小题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? 4sin x cos ? x ? (2)求 f ? x ? 在区间 ? ?

? ?

??

? ? 3 (1)求 f ? x ? 的最小正周期; 3?

? ? ?? 上的最大值和最小值及取得最值时 x 的值. , ? 4 6? ?

16.(本小题满分 14 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? PB ? PD ? AB ? BC ? CD ? DA ? DB ? 2 , E

为的 PC 中点.(1)求证: PA ∥平面 BDE ; (2)求证:平面 PBC ? 平面 PDC . P E D A B C

17.(本小题满分 14 分)如图,在海岸线 l 一侧 C 处有一个美丽的小岛,某旅游公司为方便游客,在 l 上设立了 A 、 B 两个报名点,满足 A 、 B 、 C 中任意两点间的距离为 10 千米.公司拟按以下思路运作: B B 先将 A 、 两处游客分别乘车集中到 AB 之间的中转点 D 处 (点 D 异于 A 、 两点)然后乘同一艘游轮前往 C 岛. , 据 B 统计, 每批游客 A 处需发车 2 辆, 处需发车 4 辆, 每辆汽车每千米耗费 2 元, 游轮每千米耗费 12 元. ?CDA ? ? , 设 每批游客从各自报名点到 C 岛所需运输成本为 S 元. (1)写出 S 关于 ? 的函数表达式,并指出 ? 的取值范围; (2)问中转点 D 距离 A 处多远时, S 最小? C

A

D

B

18. (本小题满分 16 分) 如图,圆 O 与离心率为

x2 y2 3 的椭圆 T : 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )相切于点 M ? 0,1? . 2 a b

(1)求椭圆 T 与圆 O 的方程;

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(2)过点 M 引两条互相垂直的两直线 l1 、 l2 与两曲线分别交于点 A 、 C 与点 B 、 D (均不重合) .
2 ① 若 P 为椭圆上任一点,记点 P 到两直线的距离分别为 d1 、 d2 ,求 d12 ? d2 的最大值;

② 若 3MA ?MC ? 4MB ? MD ,求 l1 与 l2 的方程.

???? ? ?????

???? ???? ?

y M A C O B D x

n ? 19.(本小题满分 16 分) 设函数 f n ? x ? ? ? x ? 3ax ? b n ? N , a, b ? R .

?

?

(1) a ? b ? 1 , f3 ? x ? 在 ? 0, 2? 上的最大值和最小值; 若 求 (2) 若对任意 x1, x2 ?? ?1,1? , 都有 f 3 ? x1 ? ? f 3 ? x2 ? ? 1 , 求 a 的取值范围; (3)若 f 4 ? x ? 在 ??1,1? 上的最大值为

1 ,求 a , b 的值. 2

20.(本小题满分 16 分)设 Sn 是各项均为非零实数的数列 an ? 的前 n 项和,给出如下两个命题: 命题 p : an ? 是等差数列;命题 q :等式

?

?

1 1 1 kn ? b ? 对任意的 n ? n ? N ? 恒成立,其中 k , ? ??? ? a1a2 a2 a3 an an ?1 a1an ?1

b 是常数. (1)若 p 是 q 的充分条件,求 k , b 的值; (2)对于(1)中的 k 与 b ,问 p 是否为 q 的必要条件,
2 2 请说明理由; (3)若 p 为真命题,对于给定的正整数 n ? n ? 1? 和正数 M ,数列 an ? 满足条件 a1 ? an?1 ? M ,

?

试求 Sn 的最大值.

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苏北三市(徐州、淮安、宿迁)2013 届高三第二次调研考试 参考公式:球的表面积为 S ? 4?R 2 ,其中 R 表示球的半径。
一、填空题:本大题共 14 题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题纸相应位置上. . ........ 1.已知全集 U ? {0,1,2,3}, 集合 A ? {0,1}, B ? {1,2,3}, 则 (C U A) ? B ? 2.已知 i 是虚数单位,实数 a, b 满足 ( 3 ? 4i )(a ? bi ) ? 10i , 则 3a ? 4b ? ▲ ▲ . .

3.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10000 人,并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图,现 要从这 10000 人中再用分层抽样的方法抽出 100 人作进一步调查,则月收入在 [2500,3000) (元)内应抽出 ▲ 人.
开始 输入 n
S?0

频率/组距
0.0005 0.0004 0.0003 0.0002 0.0001 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 月收入(元)

n?2

输出 S
S?S?n

结束
n?n?1

(第 3 题图)

(第 4 题图

4.如图是一个算法的流程图,若输入 n 的值是 10,则输出 S 的值是 ▲

. .

5.若一个长方体的长、宽、高分别为 3 、 2 、1,则它的外接球的表面积是 ▲

6.从 0,1,2,3 这四个数字中一次随机取两个数字,若用这两个数字组成无重复数字的两位数,则所得两位数为偶 数的概率是 ▲ . 7.已知等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,若 a 2 a 8 ? 2a 3 a 6 , S 5 ? ?62 ,则 a1 的值是 ▲
x2 a2 ? y2 b2

.

8.已知双曲线

? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F , 若以 F 为圆心的圆 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 与此双曲线的渐近线相

切,则该双曲线的离心率为



. .

9.由命题“ ?x ? R, x 2 ? 2 x ? m ? 0 ”是假命题,求得实数 m 的取值范围是 (a ,??) ,则实数 a 的值是 ▲

? x ? 0, 11 ? 10.已知实数 x, y 满足约束条件 ? y ? 2 x ? 1, ( k 为常数) ,若目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值是 ,则实数 k 的值是 3 ?x ? y ? k ? 0 ?



.

? 3 x , x ? [0,1] ? 11.已知函数 f ( x ) ? ? 9 3 ,当 t ? [0,1] 时, f ( f ( t )) ? [0,1] ,则实数 t 的取值范围是 ? ? x , x ? (1,3] ?2 2



.

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12.已知角 ? 的终边经过点 P (1,?1) ,点 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) 是函数 f ( x ) ? sin(?x ? ? )(? ? 0) 图象上的任意两点,若

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 2 时, x1 ? x 2 的最小值为

?

,则 f ( ) 的值是 ▲ 3 2

?

.

13.若对满足条件 x ? y ? 3 ? xy( x ? 0, y ? 0) 的任意 x, y , ( x ? y) 2 ? a( x ? y) ? 1 ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是 ▲ . 14. 如 图 , 在 等 腰 三 角 形 ABC 中 , 已 知 AB ? AC ? 1, A ? 120?, E , F 分 别 是 边 AB, AC 上 的 点 , 且

AE ? m AB, AF ? n AC , 其 中 m , n ? (0,1), 若 EF , BC 的 中 点 分 别 为

A
M , N , 且 m ? 4n ? 1, 则 MN 的最小值是



.

E B

F
M
C

N
第 14 题图

15.(本小题满分 14 分)在△ ABC ,已知 (sin A ? sin B ? sin C )(sin B ? sin C ? sin A) ? 3 sin B sin C . (3) 求角 A 值; (4) 求 3 sin B ? cos C 的最大值.

? 16. ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 如 图 , 在 四 棱 柱 A B C D A1 B1C 1 D1 中 , 已 知 平 面 AA1 C 1 C ? 平 面 ABCD , 且

AB ? BC ? CA ? 3 ,
AD ? CD ? 1 .

D1 A1
B1 C1

(3) 求证: BD ? AA1 ; (4) 若 E 为棱 BC 的中点,求证: AE // 平面 DCC 1 D1 .

D A
第 16 题 图

C

E B

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17.(本小题满分 14 分) 如图,两座建筑物 AB, CD 的底部都在同一个水平面上,且均与水平面垂直,它们的高度分别是 9 cm 和 15 cm ,从 建筑物 AB 的顶部 A 看建筑物 CD 的视角 ?CAD ? 45? . (3) 求 BC 的长度; (4) 在线段 BC 上取一点 P ( 点 P 与点 B, C 不重合) ,从点 P 看这两座建筑物的视角分别为 ?APB ? ? , ?DPC ? ? , 问 点 P 在何处时, ? ? ? 最小?

D A

?
B P

?
C
第 17 题图

18.(本小题满分 16 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 E :
x2 a
2

?

y2 b
2

? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2,且过点 ( 2 ,

6 ). 2

(3) 求椭圆 E 的方程; (4) 若点 A , B 分别是椭圆 E 的左、右顶点,直线 l 经过点 B 且垂直于 x 轴,点 P 是椭圆上异于 A , B 的任意 一点,直线 AP 交 l 于点 M . (ⅰ)设直线 OM 的斜率为 k 1 , 直线 BP 的斜率为 k 2 ,求证: k 1 k 2 为定值; (ⅱ)设过点 M 垂直于 PB 的直线为 m . 求证:直线 m 过定点,并求出定点的坐标.

y P A
O

M

B
x
l

m

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19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? a x ? x 2 ? x ln a(a ? 0, a ? 1). (1) 求函数 f ( x ) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (2) 求函数 f ( x ) 单调区间; (3) 若存在 x1 , x 2 ? [?1,1] ,使得 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? e ? 1(e 是自然对数的底数) ,求实数 a 的取值范围.

20. (本小题满分 16 分) 已知 a ? 0, b ? 0, 且 a ? b ? 0, 令 a1 ? a, b1 ? b, 且对任意正整数 k , a k ? bk ? 0 时,a k ?1 ? 当

1 1 3 a k ? bk , bk ?1 ? bk ; 当 2 4 4

1 1 3 a k ? bk ? 0 时, bk ?1 ? ? a k ? bk , a k ?1 ? a k . 4 2 4
(1) 求数列 {a n ? bn } 的通项公式; (2) 若对任意的正整数 n , a n ? bn ? 0 恒成立,问是否存在 a, b 使得 {bn } 为等比数列?若存在,求出 a, b 满足的 条件;若不存在,说明理由; (3) 若对任意的正整数 n, a n ? bn ? 0, 且 b2n ?

3 b2n?1 , 求数列 {bn } 的通项公式. 4

徐州市 2012—2013 学年度高三第一次质量检测
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数学Ⅰ试题参考答案与评分标准
一、填空题 1. {2,3} 8. 2. 0 3. 25 4. 54 5. 6? 6.

5 9

7. ?2

3 5 2 7 7 37 9. 1 10. ?3 11. [log3 ,1] 12. ? 13. (??, ] 14. 2 7 5 3 6 二、解答题 15.⑴因为 (sin A ? sin B ? sin C )(sin B ? sin C ? sin A) ? 3sin B sin C , 由正弦定理,得 (a ? b ? c)(b ? c ? a) ? 3bc ,????????????????2 分
所以 b2 ? c 2 ? a 2 ? bc ,所以 cos A ? 因为 A? (0, ?) ,所以 A ?

b2 ? c2 ? a 2 1 ? ,????????????4 分 2bc 2

? .??????????????????????6 分 3 ? 2? 2? ⑵ 由 A ? ,得 B ? C ? ,所以 3sin B ? cos C ? 3sin B ? cos( ? B) 3 3 3 1 3 ? ? 3 sin B ? (? cos B ? sin B) ? sin( B + ) ,??????????????10 分 2 2 6 2? ? ? ?? 因为 0 ? B ? ,所以 ? B + ? ,?????????????????12 分 3 6 6 6 ? ? ? 当 B + ? ,即 B ? 时, 3sin B ? cos C 的最大值为 1 . ????????14 分 6 2 3
16.⑴在四边形 ABCD 中,因为 BA ? BC , DA ? DC ,所以 BD ? AC ,?????2 分 又平面 AAC1C ? 平面 ABCD ,且平面 AA1C1C ? 平面 ABCD ? AC , 1

BD ? 平面 ABCD ,所以 BD ? 平面 AA1C1C ,???????????????4 分
又因为 AA1 ? 平面 AA1C1C ,所以 BD ? AA1 .???????????????7 分 ⑵在三角形 ABC 中,因为 AB ? AC ,且 E 为 BC 中点,所以 AE ? BC ,???9 分 又因为在四边形 ABCD 中, AB ? BC ? CA ? 3 , DA ? DC ? 1 , 所以 ?ACB ? 60? , ?ACD ? 30? ,所以 DC ? BC ,所以 AE ? DC ,????12 分 因为 DC ? 平面 DCC1 D1 , AE ? 平面 DCC1 D1 ,所以 AE ? 平面 DCC1 D1 .?14 分 17.⑴作 AE ? CD ,垂足为 E ,则 CE ? 9 , DE ? 6 ,设 BC ? x , 则 tan ?CAD ? tan(?CAE + ?DAE) ?

tan ?CAE + tan ?DAE ???????2 分 1 ? tan ?CAE ? tan ?DAE

9 6 + ? x x ? 1 ,化简得 x 2 ? 15 x ? 54 ? 0 ,解之得, x ? 18 或 x ? ?3 (舍) 9 6 1? ? x x
答: BC 的长度为 18m .????????????????????????6 分 ⑵设 BP ? t ,则 CP ? 18 ? t (0 ? t ? 18) ,

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9 15 + 162 + 6t 6(27 + t ) tan(? + ? ) ? t 18 ? t ? 2 ? 2 .?????????8 分 9 15 ?t + 18t ? 135 ?t + 18t ? 135 1? ? t 18 ? t
设 f (t ) ?

t 2 + 54t ? 27 ? 23 27 + t , f ?(t ) ? 2 , 令 f ?(t )? 0, 因 为 0 ? t ? 1 8, 得 t ? 15 6 ? 27 , 当 (t ? 18t + 135) 2 ?t 2 + 18t ? 135
时, 2 7 ) f ?(t ) ? 0 , f (t ) 是减函数;当 t ? (15 6 ? 27,18) 时, f ?(t ) ? 0 , f (t ) 是增函

t ?( 0 , 1 5 ? 6
数,

所以,当 t ? 15 6 ? 27 时, f (t ) 取得最小值,即 tan(? + ? ) 取得最小值,???12 分 因为 ?t 2 + 18t ? 135 ? 0 恒成立,所以 f (t ) ? 0 ,所以 tan(? + ? ) ? 0 , ? + ? ? ( , ?) , 因为 y ? tan x 在 ( , ?) 上是增函数,所以当 t ? 15 6 ? 27 时, ? + ? 取得最小值. 答:当 BP 为 (15 6 ? 27)m 时, ? + ? 取得最小值. ???????????14 分 18.⑴由题意得 2c ? 2 ,所以 c ? 1 ,又

? 2

? 2

2 3 + 2 ? 1 ,?????????????2 分 2 a 2b 1 消去 a 可得, 2b4 ? 5b2 ? 3 ? 0 ,解得 b2 ? 3 或 b2 ? ? (舍去) ,则 a 2 ? 4 , 2 x2 y2 ? ? 1 .????????????????????4 分 所以椭圆 E 的方程为 4 3
⑵(ⅰ)设 P( x1 , y1 )( y1 ? 0) , M (2, y0 ) ,则 k1 ?

y1 y0 , k2 ? , x1 ? 2 2

因为 A, P, B 三点共线,所以 y0 ?

4 y1 y0 y1 4 y12 ? , 所以, k1k2 ? ,8 分 x1 ? 2 2( x1 ? 2) 2( x12 ? 4)

因为 P( x1 , y1 ) 在椭圆上,所以 y12 ? (4 ? x12 ) ,故 k1k2 ?

3 4

4 y12 3 ? ? 为定值.10 分 2 2( x1 ? 4) 2

(ⅱ)直线 BP 的斜率为 k2 ?

y1 2 ? x1 ,直线 m 的斜率为 km ? , x1 ? 2 y1

则直线 m 的方程为 y ? y0 ?

2 ? x1 ( x ? 2) ,????????????????12 分 y1

y?

2 ? x1 2 ? x1 2(2 ? x1 ) 4 y1 2 ? x1 2( x12 ? 4) ? 4 y12 ( x ? 2) ? y0 ? x? ? ? x? y1 y1 y1 x1 ? 2 y1 ( x1 ? 2) y1

?

2 ? x1 2 ? x1 2 ? x1 2( x12 ? 4) ? 12 ? 3x12 2 ? x1 x? ( x ? 1) , x? = = y1 y1 y1 y1 ( x1 ? 2) y1
?????????????????????16 分

所以直线 m 过定点 (?1,0) .

看清知识的盲点、能力的弱项、丢分的原因

人生能有几次搏?莫到白发还未博 36

高三不再有,劝君珍惜之。一年之经历,终身之财富 19.⑴因为函数 f ( x) ? a x + x2 ? x ln a(a ? 0, a ? 1) ,

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所以 f ?( x) ? a x ln a + 2x ? ln a , f ?(0) ? 0 ,????????????????2 分 又因为 f (0) ? 1 ,所以函数 f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y ? 1 . ????4 分 ⑵由⑴, f ?( x) ? a x ln a + 2 x ? ln a ? 2 x + ( a x ?1)ln a . 因为当 a ? 0, a ? 1 时,总有 f ?( x) 在 R 上是增函数, ????????????8 分 又 f ?(0) ? 0 ,所以不等式 f ?( x) ? 0 的解集为 (0, +?) , 故函数 f ( x) 的单调增区间为 (0, +?) .??????????????????10 分 ⑶因为存在 x1 , x2 ?[?1,1] ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≥ e ? 1 成立, 而当 x ? [?1,1] 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≤ f ( x)max ? f ( x)min , 所以只要 f ( x)max ? f ( x)min ≥ e ? 1即可.?????????????????12 分 又因为 x , f ?( x) , f ( x) 的变化情况如下表所示:

x
f ?( x)

(??,0)

0
0

(0, +?)

?
减函数

+
增函数

f ( x)

极小值

所以 f ( x) 在 [?1,0] 上是减函数,在 [0,1] 上是增函数,所以当 x ? [?1,1] 时, f ? x ? 的最小值 f ? x ?min ? f ? 0? ? 1 ,

f ? x ? 的最大值 f ? x ?max 为 f ? ?1? 和 f ?1? 中的最大值.

1 ? 2ln a , a 1 1 2 1 令 g (a) ? a ? ? 2ln a(a ? 0) ,因为 g ?(a) ? 1 + 2 ? ? (1 ? )2 ? 0 , a a a a 1 所以 g (a) ? a ? ? 2ln a 在 a ? ? 0, ?? ? 上是增函数. a
因为 f (1) ? f (?1) ? (a + 1 ? ln a) ? ( + 1 + ln a) ? a ? 而 g (1) ? 0 ,故当 a ? 1 时, g ? a ? ? 0 ,即 f (1) ? f (?1) ; 当 0 ? a ? 1 时, g ? a ? ? 0 ,即 f (1) ? f (?1) .???????????????14 分

1 a

n e ? 函数 y ? a ? ln a 在 a ? (1, ??) 上是增函数, 所以, a ? 1 时, f (1) ? f (0) ≥e ?1 , a ? l a ≥ 1 , 当 即 解得 a ≥ e ;

1 1 1 函数 y ? ? ln a 在 a ? (0,1) 上是减函数, 解得 0 ? a ≤ . ?n a ≥ 1 ? , l e a a e 1 综上可知,所求 a 的取值范围为 a? (0, ] ? [e, +?) .????????????16 分 e
当 0 ? a ? 1 时,f (?1) ? f (0) ≥ e ? 1 , 即
争取时间就是争取成功,提高效率就是提高分数 学强教育中考,高考学生和家长的得力帮手 南京大厂十村苏果超市 A1 栋 1503 联系电话 13951713955 37

信心来自于实力,实力来自于勤奋 20.⑴当 an ? bn ≥ 0 时, an?1 ? an ? bn 且 bn?1 ? bn , 所以 an?1 ? bn?1 ? an ? bn ? bn ? (an ? bn ) ,??????????????2 分 又当 an ? bn ? 0 时, bn?1 ? ? an ? bn 且 an?1 ? an ,

只求“少丢分”,不说“得高分

1 2

1 4

3 4

1 2

1 4

3 4

1 2

1 4

1 2

3 4

3 1 1 1 an?1 ? bn?1 ? an ? an ? bn ? (an ? bn ) ,????????????????4 分 4 4 2 2 1 因此,数列 ?an ? bn ?是以 a ? b 为首项, 为公比的等比数列, 2
所以, a n ? bn ? (a ? b) ? ?

?1? ?2?

n ?1

.?????????????????????5 分
n ?1

⑵因为 an ? bn ? 0 ,所以 a n ?1

3 ?3? ? a n ,所以 an ? a ? ? 4 ?4?
n ?1



?1? bn ? (a ? b) ? ? ?2?

n ?1

?1? ? an ? (a ? b) ? ? ? 2?

? 3? ? a? ? ? 4?

n ?1

,?????????????8 分

假设存在 a , b ,使得 ?bn ? 能构成等比数列,则 b1 ? b , b2 ? 故(

2b ? a 4b ? 5a , b3 ? , 4 16

2b ? a 2 4b ? 5a ) ?( )b ,化简得 a ? b ? 0 ,与题中 a ? b ? 0 矛盾, 4 16

故不存在 a , b 使得 ?bn ? 为等比数列. ?????????????????10 分

3 1 1 b2 n ?1 ,所以 b2 n ? ? a 2 n ?1 ? b2 n ?1 4 4 2 3 1 1 1 3 1 所以 b2 n ?1 ? ? a2n?1 ? b2n?1 ? ? a2n?1 ? b2n?1 ? b2n?1 4 4 2 4 4 4 3 1 所以 (b2n?1 ? b2n?1 ) ? ? (a2n?1 ? b2n?1 ) ,?????????????????12 分 4 4
⑶因为 an + bn ? 0 且 b2 n ?

?1? 由⑴知, a2 n ?1 ? b2 n ?1 ? (a ? b) ? ? ?2?

2n?2

,所以 b2 n ?1 ? b2 n ?1 ? ?

a?b?1? ? ? 3 ?2?

2n?2

b2n?1 ? b1 ? (b3 ? b1 ) ? ?(b2n?1 ? b2n?3 )
?b? a?b? ?1? ?1? ?1? ?1? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? ? 2? ? 2? ? 2? ? 2? ?
2 4 6 2n?4

? ? ? ?

? ? 1 ? n ?1 ? n ?1 ?1 ? ? a?b? ?4? ? 4(a ? b) ? ? 1 ? ? ? ? ?b? ?b? ?1 ? ? ? ? ,?????????????13 分 3 ? 1? 1 ? 9 ? ?4? ? ? ? ? 4 ? ? ?
n 3 3 (a ? b) ? ? 1 ? ? b2 n ? b2 n ?1 ? b ? ?1 ? ? ? ? ,??????????????????14 分 4 4 3 ? ?4? ? ? ?

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高三不再有,劝君珍惜之。一年之经历,终身之财富

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n ?1 ? ? ? 4(a ? b) ? ? 1 ? 2 ? ?b ? 1? ? ? , n为奇数时, ? ? ?4? ? 9 ? ? ? 所以, bn ? ? ?????????????16 分 n ? 3 (a ? b) ? ? 1 ? 2 ? ?1 ? ? ? b? ? , n为偶数时. 3 ? ?4? ? ?4 ? ? ?

徐州市 2012—2013 学年度高三第一次质量检测

数学Ⅱ试题参考答案与评分标准
2 21.A.因为 AB 为切线, AE 为割线,所以 AB ? AD ? AE ,

又因为 AC ? AB ,所以 AD ? AE ? AC 2 .?????????????????4 分 所以

AD AC ? ,又因为 ?EAC ? ?DAC ,所以 △ ADC ∽ △ ACE , AC AE

所以 ?ADC ? ?ACE ,又因为 ?ADC ? ?EGF ,所以 ?EGF ? ?ACE , 所以 GF ? AC .???????????????????????????10 分 B.设点 P ( x, y ) 为圆 C: x2 ? y 2 ? 1 上任意一点,经过矩阵 A 变换后对应点为 P?( x?, y?) ,

? x? ? ax, ? a 0 ? ? x ? ? ax ? ? x? ? 则? ????????????????2 分 ? ? y ? ? ?by ? ? ? y ?? ,所以 ? y ? ? by. ?0 b? ? ? ? ? ? ? ?
因为点 P?( x?, y?) 在椭圆 E :

x2 y2 a 2 x2 b2 y 2 + ? 1 上,所以 + ? 1 ,??????4 分 4 3 4 3

? a2 ? ? 1, ?a2 ? 4, ?4 ? 又圆方程为 x2 ? y 2 ? 1 ,故 ? 2 ,即 ? 2 ,又 a ? 0 , b ? 0 ,所以 a ? 2 , b ? 3 . ?b ? 3, ? b ? 1, ? ?3 ?
?2 所以 A ? ? ?0 0? ? ,??????????????????????????6 分 3?

争取时间就是争取成功,提高效率就是提高分数 学强教育中考,高考学生和家长的得力帮手 南京大厂十村苏果超市 A1 栋 1503 联系电话 13951713955 39

信心来自于实力,实力来自于勤奋

只求“少丢分”,不说“得高分

?1 ?2 所以 A?1 ? ? ? ?0 ?

? 0 ? ? .?????????????????????????10 分 3? 3 ? ?
2 ? r cos? , 2 ( ? 为参数, r ? 0 ) ,消去参数得, 2 ? r sin ? 2

? ?x ? ? ? C.因为圆 C 的参数方程为 ? ?y ? ? ? ?
2 2

? ? 2? ? 2? 2 2? 2 ,半径为 r ,??3 分 ?x? ? ?? y? ? ? r ? r ? 0 ? ,所以圆心 C ? ? ? ? ? ? ? 2 ,? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? ?
因为直线 l 的极坐标方程为 ? sin(? ? ) ? 1,化为普通方程为 x ? y ? 2 ,???6 分

? 4

?
圆心 C 到直线 x ? y ? 2 的距离为 d ?

2 2 ? ? 2 2 2 2

? 2 ,????????8 分

又因为圆 C 上的点到直线 l 的最大距离为 3,即 d ? r ? 3 ,所以 r ? 3 ? 2 ? 1 .?10 分

1 ? 1 ? D.由柯西不等式, ( x ? y ? z )2 ≤ ?( 2 x) 2 ? ( 3 y) 2 ? z 2 ? ? ?( ) 2 ? ( ) 2 ? 12 ? ,??5 分 ? ? ? 2 3 ?
因为 x + y + z ? 2 ,所以 2 x2 ? 3 y 2 ? z 2 ≥

24 , 11

当且仅当

2x 3y z 6 4 12 ? ? ,即 x ? , y ? , z ? 时,等号成立, 1 1 1 11 11 11 2 3

所以 2 x2 ? 3 y 2 ? z 2 的最小值为

24 .???????????????????10 分 11

22.⑴因为抛物线 y 2 ? 4 x 焦点为 F ?1,0 ? , T (?1,0) .

??? ??? ??? ??? TB TB 当 l ? x 轴时, A(1, 2) , B(1, ?2) ,此时 TA? ? 0 ,与 TA? ? 1 矛盾,?????2 分
所以设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,代入 y 2 ? 4 x ,得 k 2 x2 ? (2k 2 + 4) x + k 2 ? 0 , 则 x1 + x2 ?

2k 2 + 4 2 , x1 x2 ? 1 , ①所以 y12 y2 ? 16 x1 x2 ? 16 ,所以 y1 y2 ? ?4 ,②?4 分 2 k

??? ??? TB 因为 TA? ? 1 ,所以 ( x1 + 1)( x2 + 1) + y1 y2 ? 1 ,将①②代入并整理得, k 2 ? 4 ,
所以 k ? ?2 .??????????????????????????????6 分 y 1 y y 1 ⑵因为 y1 ? 0 ,所以 tan ?ATF ? 1 ? 2 1 ? ≤1 ,当且仅当 1 ? ,即 y1 ? 2 时,取等,所以 y1 1 4 y1 x1 ? 1 y1 ? ?1 4 y1 4

? ? ?ATF ≤ ,所以 ?ATF 的最大值为 .????????10 分 4 4
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23.⑴ a2 ? 4 , a3 ? 5 , a4 ? 6 ,猜想: an ? n + 2(n ? N* ) .???????????2 分 ①当 n ? 1 时, a1 ? 3 ,结论成立; ②假设当 n ? k (k ≥1, k ?N* ) 时,结论成立,即 ak ? k + 2 ,
2 则当 n ? k + 1 时, ak ?1 ? ak ? kak ? 1= (k + 2)2 ? k (k +2)+1=k +3=(k +1)+2 ,

1 2

1 2

1 2

1 2

即当 n ? k + 1 时,结论也成立,由①②得,数列{an } 的通项公式为 an ? n + 2(n ? N* ) .5 分 ⑵原不等式等价于 (1 + )n ≥ 4 . 证明:显然,当 n ? 2 时,等号成立; 当 n ? 2 时, (1 ? )n ? C0 ? C1 n n

2 n

2 2 2 2 2 2 n 2 ? C2 ( )2 ? ? ? Cn ( )n ≥ C0 ? C1 ? C2 ( )2 ? C3 ( )3 n n n n n n n n n n n n 2 2 2 2 > C0 ? C1 ? Cn ( )2 ? 5 ? ? 4 , n n n n n

n 综上所述,当 n ≥ 2 时, an ≥ 4nn .???????????????????10 分

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只求“少丢分”,不说“得高分

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1. 【答案】 (1,4)
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信心来自于实力,实力来自于勤奋 2.【答案】 ? 0,3? 3.【答案】 1 2 4.【答案】 ln 6 ? 1 6 5. 【答案】72 6.【答案】145 7. 【答案】 2 2 8. 【答案】 3 9. 【答案】 y ? 2sin x ? π 3 10.【答案】 4 11. 【答案】 ? 16 65

只求“少丢分”,不说“得高分

?

?

12. 【答案】 1 4 13.【答案】9 14. 【答案】2

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 请把答案写在答题卡相应的位置上. 解答时应写出文字说明、证明过程或 ......... 演算步骤. 15. 【解】 (1)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 于是 3 ? 1 bc sin A ? 3 bc ,所以 bc=4. ????????????????????????3 分 2 4 因为 c ? AB ? 2 2 ,所以 b ? CA ? 2 . 由余弦定理得 BC ? a ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? b2 ? c2 ? 4 ? 2 ? 8 ? 4 ? 14 . ?????????6 分 (2)由 BC ? 21 得 b2 ? c 2 ? 4 ? 21 ,即 b2 ? 16 ? 17 ? 0 ,解得 b ? 1 或 4.???????????8 分 b2
uuu uuu uuu r r r 设 BC 的中点为 D,则 AO ? AD ? DO , uuu uuu r r 因为 O 为△ABC 的外心,所以 DO ? BC ? 0 ,

uuu uuu uuu uuu r r r r uur uuu uuu uur u r r u 2 2 于是 AO ? BC ? AD ? BC ? 1 AB ? AC ? AC ? AB ? b ? c .????????????????12 分 2 2 uuu uuu r r 2 2 所以当 b ? 1 时, c ? 4 , AO ? BC ? b ? c ? ? 15 ; 2 2

?

??

?

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高三不再有,劝君珍惜之。一年之经历,终身之财富 学强教育中小学名师联盟教育 uuu uuu r r 2 2 当 b ? 4 时, c ? 1 , AO ? BC ? b ? c ? 15 .?????????????????????14 分 2 2

16. 【证】 (1)因为 BC//平面 PAD, 而 BC ? 平面 ABCD,平面 ABCD I 平面 PAD = AD, 所以 BC//AD. ?????????????3 分 因为 AD ? 平面 PBC,BC ? 平面 PBC, 所以 AD // 平面 PBC .?????????????????????????????????6 分 (2)自 P 作 PH ? AB 于 H,因为平面 PAB ? 平面 ABCD ,且平面 PAB I 平面 ABCD =AB, P 所以 PH ? 平面 ABCD .???????????????9 分 因为 BC ? 平面 ABCD,所以 BC ? PH. 因为 ?PBC ? 90 ,所以 BC ? PB,
?

A H B C

D

而 ?PBA ? 90? ,于是点 H 与 B 不重合,即 PB I PH = H. 因为 PB,PH ? 平面 PAB,所以 BC ? 平面 PAB.????12 分

因为 BC ? 平面 PBC,故平面 PBC ? 平面 PAB.????????????????????? 14 分

17. 【解】 (1)如果每幢楼为 5 层,那么所有建筑面积为 10×1 000×5 平方米,所有建筑费用为 [(k +800)+(2k +800)+(3 k +800)+(4k+800)+(5k +800)]×1 000×10,所以,??????????3 分 16 000 000+[(k +800)+(2k +800)+(3k +800)+(4k+800)+(5k +800)]×1 000×10 1 270= , 10×1 000×5 解之得:k=50.???????????????????????????????????6 分 (2)设小区每幢为 n(n∈N*)层时,每平方米平均综合费用为 f (n),由题设可知 16 000 000+[(50 +800)+(100 +800)+?+(50n +800)]×1 000×10 f (n) = 10×1 000×n 1 600 = n +25n+825≥2 1 600×25+825=1 225 (元). ?????????????????10 分 1 600 当且仅当 n =25n,即 n=8 时等号成立.???????????????????????12 分 答:该小区每幢建 8 层时,每平方米平均综合费用最低,此时每平方米平均综合费用为 1 225 元. ???????????14 分

18.
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信心来自于实力,实力来自于勤奋

只求“少丢分”,不说“得高分

【解】 (1)因为 f ? (0)=9 > 0,所以 f (x)在区间 ? ??, ? ? 上只能是单调增函数. ??????3 分 ? 由 f ? (x)=3(m-3)x2 + 9≥0 在区间(-∞,+∞)上恒成立,所以 m≥3. 故 m 的取值范围是[3,+∞) . ????????????????????????????6 分 (2)当 m≥3 时,f (x)在[1,2]上是增函数,所以[f (x)] max=f (2)=8(m-3)+18=4, 5 解得 m=4<3,不合题意,舍去. ???????????????????????????8 分 当 m<3 时, f ? (x)=3(m-3) x2 + 9=0,得 x ? ? 所以 f (x)的单调区间为: ??, ?

?

3 单调减, ? 3 , 3 单调增, 3? m 3? m 3? m

?

3 . 3? m

?

?

?

3 , ? 单调减. ? 3? m

?

??????????????10 分 ①当

3 ≥2 ,即 9 ≤m ? 3 时, [1 2] ? ? 3 , 3 ? ,所以 f (x)在区间[1,2]上单调增, , 4 3? m 3? m 3? m? ?

?

5 [f (x)] max =f(2)=8(m-3)+18=4,m=4,不满足题设要求. ②当 1 ? ③当

3 ? 2 ,即 0<m< 9 时,[f (x)] ? f max 4 3? m

?

3 ? 0 ? 4 舍去. 3? m

?

3 ≤ ,即 m≤0 时,则 [1, ? 1 2] 3? m

?

3 , ?? ,所以 f (x)在区间[1,2]上单调减, ? ? 3? m ?

[f (x)] max =f (1)=m + 6=4,m=-2. 综上所述:m=-2.?????????????????????????????????16 分

19. 【解】 (1)当 r=2,M(4,2),则 A1(-2,0),A2(2,0).
? x 2 ? y 2 ? 4, 直线 MA1 的方程:x-3y+2=0,解 ? 得 P 8 ,6 .???????????????2 分 5 5 x ? 3y ? 2 ? 0 ? ? x 2 ? y 2 ? 4, ? 直线 MA2 的方程:x-y-2=0,解 ? 得 Q ? 0, 2? . ???????????????4 分 ?x ? y ? 2 ? 0

? ?

由两点式,得直线 PQ 方程为:2x-y-2=0. ??????????????????????6 分 (2)证法一:由题设得 A1(-r,0),A2(r,0) .设 M(a,t), t t 直线 MA1 的方程是:y = a+r(x+r),直线 MA1 的方程是:y = (x-r) .??????????8 分 a-r
? x 2 ? y 2 ? r 2, r (a ? r )2 ? rt 2 2tr (a ? r ) ? , 解? 得P .??????????????????10 分 2 2 t (x ? r) (a ? r ) ? t (a ? r ) 2 ? t 2 ?y ? a ? r ?

?

?

? x 2 ? y 2 ? r 2, rt 2 ? r (a ? r )2 2tr (a ? r ) ? 解? t ( x ? r ) 得 Q (a ? r )2 ? t 2 ,? (a ? r ) 2 ? t 2 . ?????????????????12 分 ?y ? a ? r ?

?

?

看清知识的盲点、能力的弱项、丢分的原因

人生能有几次搏?莫到白发还未博 48

高三不再有,劝君珍惜之。一年之经历,终身之财富 2at 于是直线 PQ 的斜率 kPQ= 2 2 2, a -t -r 直线 PQ 的方程为 y ?

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2tr (a ? r ) r (a ? r ) 2 ? rt 2 ? 2 2at 2 x ? . ????????????14 分 2 2 2 (a ? r ) ? t a ?t ?r (a ? r ) 2 ? t 2

?

?

2 r2 上式中令 y = 0,得 x= a ,是一个与 t 无关的常数.故直线 PQ 过定点 r ,0 . ???????16 分 a

?

?

证法二:由题设得 A1(-r,0),A2(r,0) .设 M(a,t), t 直线 MA1 的方程是:y=a+r(x+r),与圆 C 的交点 P 设为 P(x1,y1) . t 直线 MA2 的方程是:y= (x-r);与圆 C 的交点 Q 设为 Q(x2,y2) . a-r 则点 P(x1,y1) ,Q(x2,y2)在曲线[(a+r)y-t(x+r)] [(a-r)y-t(x-r)]=0 上, ???????10 分 化简得 (a2-r2)y2-2ty(ax-r2)+t2(x2-r2)=0. ①

又有 P(x1,y1) ,Q(x2,y2)在圆 C 上,圆 C:x2+y2-r2=0.② ① 2×②得 (a2-r2)y2-2ty(ax-r2)-t2(x2-r2) -t2( x2+y2-r2)=0, -t 化简得:(a2-r2)y-2t(ax-r2) -t2 y=0. 所以直线 PQ 的方程为(a2-r2)y-2t(ax-r2)-t2 y=0. ③ ??????????????14 分

2 r2 在③中令 y = 0 得 x = a ,故直线 PQ 过定点 r ,0 .??????????????????16 分 a

?

?

20. 【解】 (1)因为 an ? N? ,所以若 a1 ? 1 ,则 aa1 ? a1 ? 3 矛盾,
≥ 若 a1≥3 ? aa1 ,可得 1 a1≥3 矛盾,所以 a1 ? 2 . ?????????????????????4 分

于是 a2 ? aa1 ? 3 ,从而 c1 ? aa1 ?1 ? a3 ? aa2 ? 6 . ?????????????????????7 分 (2) ?an ? 是公差为 1 的等差数列,证明如下: ?????????????????????9 分
an?1 ? an ? n≥2 时, an ? an?1 ,所以 an≥an ?1 ? 1 ? an≥am ? (n ? m) , (m ? n)

? aan?1 ?1≥aan ?1 ? an?1 ? 1 ? (an ? 1) ,???????????????????????????13 分
≥ 即 cn?1 ? cn≥an?1 ? an ,由题设, 1 an ?1 ? an ,又 an ?1 ? an≥1 ,

所以 an ?1 ? an ? 1,即 ?an ? 是等差数列.?????????????????????????16 分

数学 II(附加题)

21. (选做题)本大题包括 A,B,C,D 共 4 小题,请从这 4 题中选做 2 小题. 每小题 10 分,共 20 分.请在答题卡 上准确填涂题目标记. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
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信心来自于实力,实力来自于勤奋 A. 选修 4-1:几何证明选讲 【证明】连结 OF. 因为 DF 切⊙O 于 F,所以∠OFD=90°. 所以∠OFC+∠CFD=90°. A 因为 OC=OF,所以∠OCF=∠OFC. 因 为 CO⊥AB 于 O , 所 以 O E C

只求“少丢分”,不说“得高分

B

D

F

∠OCF+∠CEO=90°. ??????????????????5 分 所以∠CFD=∠CEO=∠DEF,所以 DF=DE. 因为DF是⊙O的切线,所以DF2=DB· DA.所以DE2=DB· DA. ????????????10分

B. 选修 4-2:矩阵与变换 【解】设曲线 2 x2 ? 2 xy ? y 2 ? 1 上任一点 P ( x, y ) 在矩阵 M 对应的变换下的像是 P ?( x ?, y ?) ,

? x? ? ? m 0? ? x ? ? mx ? ? x? ? mx, 由? ??? ? ? y ? ? ? nx ? y ? ,得 ? y? ? nx ? y, ? y?? ? n 1 ? ? ? ? ? ?
因为 P?( x?,y?) 在圆 x 2 ? y 2 ? 1 上,所以 ? mx ? ? ? nx ? y ? ? 1,化简可得 (m2 ? n2 ) x2 ? 2nxy ? y 2 ? 1 .
2 2

??????????????????3 分 依题意可得 m2 ? n2 ? 2, n ? 2 , m ? 1,n ? 1 或 m ? ?1,n ? 1 而由 m ? 0 可得 m ? 1,n ? 1 .???6 分 2

? 1 0? ?1 0? ?1 故M ?? ? , M ? ? ?1 1 ? .????????????????????????????10 分 ? ? ?1 1?

C. 选修 4-4:坐标系与参数方程 【解】 (1)圆 C1 的极坐标方程为 ? =2 , 圆 C2 的极坐标方程为 ? ? 4cos? ,

? ? ? 2, π 由? 得 ? =2,? ? ? ,故圆 C1,C2 交点坐标为圆 2,π , 2, π .???????5 分 ? 3 3 3 ? ? ? 4cos?
(2)由(1)得,圆 C1,C2 交点直角坐标为 (1, 3), , 3) , (1 ? 故圆 C1与C2 的公共弦的参数方程为 ?

? ??

?

? x ? 1, ? ???????????????10 分 ? y ? t (? 3≤t≤ 3). ?

注:第(1)小题中交点的极坐标表示不唯一;第(2)小题的结果中,若未注明参数范围,扣 2 分. D.选修 4-5:不等式选讲 设正数 a,b,c 满足 a ? b ? c ? 1 ,求
1 ? 1 ? 1 的最小值. 3a ? 2 3b ? 2 3c ? 2

【解】因为 a,b,c 均为正数,且 a ? b ? c ? 1 ,所以 (3a ? 2) ? (3b ? 2) ? (3c ? 2) ? 9 .
看清知识的盲点、能力的弱项、丢分的原因 人生能有几次搏?莫到白发还未博 50

高三不再有,劝君珍惜之。一年之经历,终身之财富 于是

学强教育中小学名师联盟教育

? 3a1? 2 ? 3b1? 2 ? 3c1? 2 ??(3a ? 2) ? (3b ? 2) ? (3c ? 2)?
≥33 1 ( 3 ? 2 )b ? a (3 c?( 3 2)
3 ? 3 (a3? 2)

2b ? 3 )(

c2 ) ( 3 , ) ? ? 2

9

当且仅当 a ? b ? c ? 1 时,等号成立. ?????????????????????????8 分 3 即
1 ? 1 ? 1 ≥1 ,故 1 ? 1 ? 1 的最小值为 1.???????????10 分 3a ? 2 3b ? 2 3c ? 2 3a ? 2 3b ? 2 3c ? 2

22. 必做题, 本小题 10 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【解】 (1)如图,以 A 为原点建立空间直角坐标系, 则 C ? 2,,?,B ? 0,,?,A1 ? 0,,?,B1 ? 0,,? , 00 20 2 2 4 2

???? ??? ????? ? AA1 ? ? 0,,? , BC ? B1C1 ? ? 2, 2,? . 22 ? 0 ???? ??? ? ???? ??? ? AA1 ? BC ?4 1 cos? AA1,BC ? ? ???? ??? ? ?? , ? 2 8? 8 AA1 ? BC
故 AA1 与棱 BC 所成的角是 π . 3 (2)P 为棱 B1C1 中点, ?????????4 分

C1 P B1

A1

z

???? ????? 设 B1P ? ? B1C1 ? ? 2?, 2?,0? ,则 P ? 2?, ? 2?, ? . 4 2 ?
设平面 PAB 的法向量为 n1 ? ? x, y, z ? , AP= ? 2?, ? 2?, ? , 4 2

??? ?

x C B A

??? ? ?n1 ? AP ? 0, ? x ? 3 y ? 2 z ? 0, ? z ? ?? x, ? 则 ? ??? ?? ?? ? ?2 y ? 0 ? y ? 0. ?n1 ? AB ? 0 ?
故 n1 ? ?1 0, ? ? ?????????????????8 分 , ? 而平面 ABA1 的法向量是 n2=(1,0,0),则 cos? n1 , n2 ? ? 解得 ? ?

y

n1 ? n2 1 2 5 ? ? , n1 ? n2 5 1? ?2

1 ,即 P 为棱 B1C1 中点,其坐标为 P ?1 3 2 ? . ,, ??????????????????10 分 2

23.必做题, 本小题 10 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【解】 (1)由题 F ( x) ? f ?( x) ? 1 ? 2(ax ? 1) ? a ? 1 ? 1 ? 1 ax ? 1 ,x ? 0,b ? 0 . 2ab b bx b x 于是 F' ( x) ? 1 a ? 12 ,若 a ? 0 ,则 F' ( x) ? 0 ,与 F ( x) 有极小值矛盾,所以 a ? 0 . b x 令 F' ( x) ? 0 ,并考虑到 x ? 0 ,知仅当 x ? 1 时, F ( x) 取得极小值. a

?

?

?

?

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? 1 ? 1, ? 所以 ? a 解得 a ? b ? 1 .????????????????????????????4 分 ? 1 (a ? 1) ? 2, ?b
? 故 F ( x) ? x ? 1 ( x ? 0) ,由 F ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 ,所以 F ( x) 的单调增区间为 (1, ?) . x

(2)因为 x ? 0 ,所以记 g ( x) ? ? F ( x)? ? F ( xn ) ? ? F ( x)? ? F ( xn ) ? x ? 1 x
n n

? ? ? ? x ? x1 ?
n n n

? C1 xn ?1 ? 1 ? C2 xn ?2 ? 12 ? C3 xn ?3 ? 13 ? ?????? ?Cn ?1 x ? 1?1 n n n n x x x xn 1 因为 Cr xn ?r ? 1 ? Cn ?r x ? n? r ≥2Cr (r ? 1, , ,n ? 1) , 2 L n n n x x
n 所以 2g ( x)≥2(C1 ? C2 ? C3 ? ?????? ?Cn?1 ) ? 2(2n ? 2) ,故 ? F ( x)? ? F ( x n ) ≥2n ? 2 ? n ? N* ? .???10 分 n n n
n

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