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2012-2013学年四川省资阳市高一上学期期末质量检测(数学) Word版含答案


资阳市 2012—2013 学年度高中一年级第一学期期末质量检测





本试题卷分为第一部分(选择题)和第二部分(非选择题)两部分. 第一部分 1 至 2 页,第二部分 3 至 8 页. 全卷共 150 分,考试时间为 120 分钟.

第一部分(选择题 共 60 分)
注意事项: 1.答第一部分前,考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动,用橡皮擦干净后,再 选涂其它答案,不能答在试题卷上. 3.考试结束时,将本试卷和答题卡一并收回. 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是 符合题目要求的. 1.已知全集 U ? {?1,0,1} , A ? {0,1} ,则 ? U A ? (A){-1} (B){-1,0,1} (C){-1,0} (D){-1,1}

3 4 2.若角 ? 的终边经过点 P( , ? ) ,则 sin ? ? tan ? ? 5 5 16 16 15 15 (A) (B) ? (C) (D) ? 15 15 16 16 1 3.下列函数中,与函数 y ? 有相同定义域的是 x 1 (A) f ( x) ? ln x (B) f ( x) ? (C) f ( x) ?| x | (D) f ( x) ? e x x 3 4.下列各式中,值为 的是 2 (A) 2sin15 cos15 (B) 2sin 2 15 ? 1 2 2 (C) cos 15 ? sin 15 (D) sin 2 30 ? cos2 30 5.设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2x2 ? x ,则 f (1) ? (A)-1 (B)-3 (C)1 (D)3 x 6.已知函数 f ( x) ? cos ,则下列等式成立的是 2 (A) f (? ? x) ? f ( x) (B) f (2? ? x) ? f ( x)

(C) f (? x) ? ? f ( x)

(D) f (? x) ? f ( x)

7.奇函数 y ? f ( x) 在区间 [a, b] 上是减函数,则 y ? f ( x) 在区间 [?b, ? a ] 上是 (A)增函数,且最大值为 f (?b) (C)增函数,且最大值为 f (?a) (B)减函数,且最大值为 f (?b) (D)减函数,且最大值为 f (?a)

? ? 8.把函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象向左平移 后,所得函数的解析式是 3 3 2? ? (A) y ? sin 2 x (B) y ? sin(2x ? ) (C) y ? sin(2 x ? ) (D) y ? ? sin 2 x 3 3

9. 为了求函数 f ( x) ? 2x ? 3x ? 7 的一个零点, 某同学利用计算器得到自变量 x 和函数 f ( x) 的部分对应 值,如下表所示:
x
f ( x)
x

1.25

1.3125

1.375

1.4375

1.5

1.5625

-0.8716 -0.5788 -0.2813 0.2101 0.32843 0.64115 则方程 2 ? 3x ? 7 的近似解(精确到 0.1)可取为 (A)1.32 (B)1.39 (C)1.4 (D)1.3 10.甲、乙两人在一次赛跑中,从同一地点出发,路程 S 与时间 t 的函数关系如图所示,则下列说法正确 的是 (A)甲比乙先出发 (C)甲、乙两人的速度相同 (B)乙比甲跑的路程多 (D)甲比乙先到达终点

? ?log 2 x, x ? 2, 11.设函数 f ( x) ? ? 2 的值域为 R,则常数 a 的取值范围是 ? ? ? x ? a, x ? 2
(A) [5, ??) (B) (??,1] (C) [1, ??) (D) (??,5]

12 . 对 于 下 列 命 题 : ① 若 sin ? ? 0 , 则 角 ? 的 终 边 在 第 三 、 四 象 限 ; ② 若 点 P( 2 , 4 ) 在函数

y ? a x (a ? 0且a ? 1) 的图象上,则点 Q(4, 2) 必在函数 y ? loga x(a ? 0且a ? 1) 的图象上;③若角 ? 与角 ? 的
终边成一条直线,则 tan ? ? tan ? ;④幂函数的图象必过点(1,1)与(0,0).其中所有正确命题的序号 是 (A)①③ (B)② (C)③④ (D)②④

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第二部分(非选择题 共 90 分)
题号 得分 二 三 17 18 19 20 21 22 总分 总分人

注意事项: 1.第二部分共 6 页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上. 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案直接填在题中横线上.
1 13. ( )?2 ? log2 3 4 ? ________. 3 14.终边在 y 轴上的角的集合是_____________________.

15.函数 y ? f ( x) 的图象如右图所示,试写出该函数的两条 _________________________________________________. 16. 若函数 y ? f ? x ? 同时满足: (ⅰ) 对于定义域内的任意 x ,








f ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ? x2



f

? ?? ? x ?

0; ? f ? x (ⅱ)对 于定义域内的任意 x1 , x2 ,当 x1 ? x2 时,恒有

? 0 ,则称函数 f ? x ?

为“二维函数”.现给出下列四个函数 :
2 ? ?? x , x ? 0, ① f ? x ? ? tan x ;② f ? x ? ? ? x3 ? x ;③ f ? x ? ? log 1 x ;④ f ? x ? ? ? 2 ? 2 ? x , x ? 0.

其中能被称为“二维函数”的有_____________(写出所有满足条件的函数的序号) .

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 74 分.解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. (本小题满分 12 分)
3 3? 已知 sin ? ? ? , ? ? ( , 2? ) , 5 2

? cos 2? (Ⅰ)求 cos(? ? ) 的值; (Ⅱ)求 ? cos 2 ? 的值. 4 1 ? tan ?

18. (本小题满分 12 分) 某种产品投放市场以来,通过市场调查,销量 t(单位:吨)与利润 Q(单位:万元)的变化关系如 ( a? 0 ), y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) , 右 表 , 现 给 出 三 种 函 数 y ? a x? b 1 4 6 y ? a logb x (b ? 0 且 b ? 1) ,请你根据表中的数据,选取一个恰当的函 销量 t 数,使它能合理描述产品利润 Q 与销量 t 的变化,求所选取的函数的 解析式,并求利润最大时的销量. 利润 Q 2 5 4.5

19. (本小题满分 12 分)
x x x 3 已知函数 f ( x) ? cos (sin ? 3 cos ) ? . 2 2 2 2 (Ⅰ)求函数 y ? f ( x) 的对称轴方程; 5? 7? 2? ? (Ⅱ)画出 y ? f ( x) 在区间 [? , ] 上的图象,并求 y ? f ( x) 在 [? , ] 上的最大值与最小值. 6 6 3 3

20. (本小题满分 12 分)
a x (Ⅰ)证明: f ( x) 是 (a, ??) 上的减函数;

设函数 f ( x) ? log a (1 ? ), 其中 0 ? a ? 1 .

(Ⅱ)若 f ( x) ? 1 ,求 x 的取值范围.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? |? ) 的图象过点 P( ,0) ,且图象上与点 P 最近的一个最 2 12 低点是 Q(? , ?2) . 6 (Ⅰ)求 f ( x) 的解析式; ? 3 (Ⅱ)若 f (? ? ) ? ,且 ? 为第三象限的角,求 sin ? ? cos ? 的值; 12 8 (Ⅲ)若 y ? f ( x) ? m 在区间 [0, ] 上有零点,求 m 的取值范围. 2

?

?

?

?

22. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? kx2 ? 2 x ( k 为实常数)为奇函数,函数 g ( x) ? a f ( x ) ? 1(a ? 0且a ? 1) . (Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)求 g ( x) 在 [ ?1, 2] 上的最大值; (Ⅲ)当 a ? 2 时, g ( x) ? t 2 ? 2mt ? 1 对所有的 x ? [?1,1] 及 m ? [?1,1] 恒成立,求实数 t 的取值范围.

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数学参考答案及评分意见
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分. 1-5.AAACB; 6-10.DBCCD; 11-12.C B

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.6; 14. {? | ? ? k? ?

?
2

, k ? Z} ; 15. 略 ; 16.④.

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 74 分. 17.Ⅰ)由 sin ? ? ? 3 , ? ? ( 3? , 2? ) ,得 cos ? ? 4 , 2 5 5 又 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 4 4 4
? 4 ? 2 ? (? 3 ) ? 2 , 5 2 5 2

? 7 2 ∴ cos(? ? ) ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 4 10
(Ⅱ)
cos 2? cos2 ? ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? ? cos 2 ? sin ? 1 ? tan ? 1? cos ?

? cos? (cos? ? sin ? ) ? cos2 ? ? ? sin ? cos? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分

cos 2? 3 4 12 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 ? cos2 ? ? ?(? ) ? ? 1 ? tan ? 5 5 25

18.由单调性或代入验证可得,应选函数 Q ? at 2 ? bt ? c , 4 分
1 ? ? a?? , ? ?a ? b ? c ? 2 4 ? ? 9 ? 由条件 ?16a ? 4b ? c ? 5 得 ?b ? 4 ? 9 ? ?36a ? 6b ? c ? ?c ? 0. ? 2 ? ?
1 9 ∴ Q ? ? t2 ? t . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分 4 4 1 9 1 9 81 又 Q ? ? t 2 ? t ? ? (t ? )2 ? . 4 4 4 2 16

∴当 t ?

9 81 时, Q 的最大值是 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 16 2

∴利润最大时的销量为 4.5 吨 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分
x x x 3 x x x 3 ? cos sin ? 3 cos 2 ? 19. (Ⅰ)∵ f ( x) ? cos (sin ? 3 cos ) ? 2 2 2 2 2 2 2 2 ?

2分

1 3 ? sin x ? cos x ? sin( x ? ) .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分 2 2 3

? f ( x) ? sin( x ? ) 的对称轴方程为: x ? k? ? 3 6

?

?

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 (k ? Z ) ·

(Ⅱ)函数 y ? f ( x) 在区间 [?

5? 7? , ] 上的图象如下: 6 6

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 ∴函数 y ? f ( x) 最大值为 1,最小值为 ? 20.(Ⅰ)设 0 ? a ? x1 ? x2 , g ( x) ? 1 ? 则 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? (1 ?
3 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 2

a x

a ( x1 ? x2 ) a a ) ? (1 ? ) ? ?0 x1 x2 x1 x2
0 ? a ? 1 ? f ( x1 ) ? f ( x2 )

? g ( x1 ) ? g ( x2 )



? f ( x) 在 (a, ??) 上是减函数 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分

(Ⅱ) loga (1 ? ) ? 1 ? 0 ? 1 ? ? a · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分

a x

a x

?1 ? a ?

a ?1 x

0 ? a ? 1 ?1 ? a ? 0 从而

a?x?

a · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 1? a

? x 的取值范围是 (a,

a · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 )· 1? a

21. (Ⅰ)由已知:

T ? ? ? ? ? (? ) ? , 4 12 6 4

得 T ? ? ,∴ ? ? 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·1 分 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分 ?? ? ? · 6

又 A ? 2 且过点 P( ,0) 12
6

?

? ∴ sin( ? 2 ? ? ) ? 0 12

?

? ∴ f ( x) ? 2sin(2 x ? ) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分
(Ⅱ)由 f (? ?
3 )? 得 12 8

?

2 sin ?2 ?

3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 8

? 为第三象限的角,∴ sin ? ? cos ? ? ? 1 ? sin 2? ? ?

19 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 4

? ? ? 5? ? (Ⅲ)∵ x ?[0, ] ,∴ ? ? 2 x ? ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 ,??1 ? 2sin(2 x ? ) ? 2 .· 2 6 6 6 6
? ∴①当 ?1 ? m ? 1或m ? ?2 时,函数 y ? f ( x) ? m 在 [0, ] 上只有一个零点; 2 ? ②当 ?2 ? m ? ?1 时,函数 y ? f ( x) ? m 在 [0, ] 上有两个零点; 2
综合①、②知 m 的取值范围是 ? ?2,1? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 22. (Ⅰ)由 f (? x) ? ? f ( x) 得 kx2 ? 2 x ? ?kx2 ? 2 x , ∴k ? 0 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分

(Ⅱ)∵ g ( x) ? a f ( x) ? 1 ? a2 x ? 1 ? (a2 ) x ? 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分 ①当 a 2 ? 1 ,即 a ? 1 时, g ( x) ? (a2 ) x ? 1 在 [ ?1, 2] 上为增函数,

? g ( x) 最大值为 g (2) ? a4 ? 1 . ····················································································5 分
②当 a 2 ? 1 ,即 0 ? a ? 1 时, ∴ g ( x) ? (a2 ) x 在 [ ?1, 2] 上为减函数, ∴ g ( x) 最大值为 g (?1) ?
1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分 ? 1.· a2

∴ g ( x)max

?a 4 ? 1, a ? 1 ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分 ?? 1 ? 2 ?1 , 0 ? a ? 1 ?a

(Ⅲ)由(Ⅱ)得 g ( x) 在 x ? [?1,1] 上的最大值为 g (1) ? ( 2)2 ? 1 ? 1 , ∴ 1 ? t 2 ? 2mt ? 1 即 t 2 ? 2mt ? 0 在 [ ?1,1] 上恒成立 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 令 h(m) ? ?2mt ? t 2 ,

?h(?1) ? t ?? ? 2

2

? 2t ? 0,

? ?h(1) ? t ? 2t ? 0,

?t ? ?2或t ? 0, 即? ?t ? 0或t ? 2.

所以 t ? (??, ?2] {0} [2, ??) . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·14 分


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