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2014届高考数学(理)一轮复习热点针对训练:第30讲《数列的概念与通项公式》 Word版含解析


第30讲
(D)

数列的概念与通项公式

?2n ?n是偶数? ? 1.(2013· 延庆县第一次模拟)Sn 是数列{an}的前 n 项和,an=? ,则 S5 等于 ? ?2n ?n是奇数?

A.30 B.32 C.36 D.38 解析:S5=2+22+6+24+10=38,故选 D. 1 34 2.(2

013· 新课标提分专家预测)若数列{an}满足关系 an+1=1+ ,且 a8= ,则 a3=( A ) an 21 3 5 A. B. 2 3 8 13 C. D. 5 8 34 1 21 1 解析:由 a8= =1+ ,得 a7= =1+ , 21 a7 13 a6 13 1 8 1 5 1 3 类似有 a6= =1+ ,a5= =1+ ,a4= =1+ ,从而 a3= ,故选 A. 8 a5 5 a4 3 a3 2 3.(2012· 东北师大附中、辽宁省实验中学、哈师大附中第二次模拟)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3n-1,则其通项公式 an=( B ) - - A.3· 2n 1 B.2· 3n 1 C.2n D.3n - - 解析:当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3n-1)-(3n 1-1)=2· 3n 1,又 a1=S1=31-1=2 满足 - an=2· 3n 1,故选 B. 4.(2012· 东莞市第二次模拟)已知数列{an}的通项公式是 an=(-1)n(n+1),则 a1+a2+a3 +?+a10=( C ) A.-55 B.-5 C.5 D.55 解析:由 an=(-1)n(n+1),得 a1+a2+a3+?+a10=-2+3-4+5-6+7-8+9-10+ 11=5,故选 C. a2 an n+1 5.(改编)若数列{an}满足 a1=4,an+1= + (n∈N*),则其{an}的前 10 项和为( A ) 2an 2 A.40 B.80 C.120 D.160 a2 an n+1 解析:由 an+1= + , 2an 2 2 得 a2 n+1-2an+1an+an=0,所以 an+1=an, 即{an}为常数列,所以 S10=10a1=40,故选 A. 6.(改编)若{an}是递增数列,对于任意自然数 n,an=n2+λn 恒成立,则实数 λ 的取值范 围是 (-3,+∞) . 解析:因为{an}为递增数列, 所以 n2+λn>(n-1)2+λ(n-1)(n≥2), 即 2n-1>-λ(n≥2)?λ>1-2n(n≥2),要使 n∈N*恒成立,则 λ>-3. n 7.(2013· 山东青岛市期末)对于正项数列{an},定义 Hn= 为{an}的 a1+2a2+3a3+?+nan 2n+ 1 2 “光阴”值, 现知某数列的“光阴”值为 Hn= , 则数列{an}的通项公式为 an= . 2n n+2 n 解析:由 Hn= ,可得 a1+2a2+3a3+?+nan n n?n+2? a1+2a2+3a3+?+nan= = ,① Hn 2
-1-

a1+2a2+3a3+?+(n-1)an-1=

?n-1??n+1? ,② 2

由①-②,得 n?n+2? ?n-1??n+1? 2n+1 nan= - = , 2 2 2 2n+1 所以 an= . 2n 8.(2012· 北京市东城区一模)若对于正整数 k,g(k)表示 k 的最大奇数因数,例如 g(3)=3, g(10)=5.设 Sn=g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+?+g(2n). (1)求 g(6),g(20)的值; (2)求 S1,S2,S3 的值. 解析:(1)g(6)=3,g(20)=5. (2)S1=g(1)+g(2)=1+1=2; S2=g(1)+g(2)+g(3)+g(4)=1+1+3+1=6; S3=g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+g(5)+g(6)+g(7)+g(8)=1+1+3+1+5+3+7+1=22. a1?3n-1? 9.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn= (n∈N*),且 a4=54,求: 2 (1)a1 的值; (2)通项 an. a1?34-1? a1?33-1? 解析:(1)因为 S4= ,S3= , 2 2 所以 a4=S4-S3=27a1=54,即 a1=2. - 2?3n-1? 2?3n 1-1? (2)因为 Sn= ,所以 Sn-1= (n≥2), 2 2 - - 所以 an=3n-3n 1=2· 3n 1(n≥2). n-1 显然 a1=2 满足 an=2· 3 , - 所以数列{an}的通项 an=2· 3n 1(n∈N*).

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