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§5--从力做的功到向量的数量积


从力做功到向量的数量积

复习回顾

1、若向量a=(x1,y1) ,b=(x2,y2) 则向量a+b=( x1 + x2 ,y1 + y2 ) x x y y 1 2 1 2) 向量a-b=( ,
向量λa=( λ x1 ,λ y1)

2、若已知点A(x1,y1) , B(x2,y2)

y2- y1 ) 则向量AB=(x2 – x1 ,
3、向量a、b(b≠0)共线的充要

条件是什么? a =λb 若a= (x1,y1) b= (x2,y2) ,则共线的 充要条件是什么?x1 y2 - x2 y1=0

一.力做功的计算
θ

F

F θ S

O

位移S

A

如果一个物体在力F作用下产生位移S,那么F所 做的功为: W=│F││S│COSθ

θ表示力F的方向与位移S的方向的夹角。

二.两个向量的夹角 已知两个非零向量a、b, OA =a,OB = b. 则∠AOB称作向量a和向量b的夹角, 记作<a ,b>. 并规定0≤ <a ,b> ≤π

b
O

B

a
A

几点说明
(1)求两向量的夹角,应保证两个向量有公共起点,若没有,
须平移使它们有公共起点; (2)〈a ,b〉=〈b ,a〉;

b
O
B b O

B

(3)范围0≤〈a ,b〉≤π; (4)〈a ,b〉=0时, a、b同向;
O b B a A 〈a ,b〉=π时,a、b反向; B b O a A

a
A
a A

〈a ,b〉= 90°时, a ⊥b.

(5)规定:在讨论垂直问题时,零向量与任意向量垂直.

练习1 如图,等边三角形中,求 (1)AB与AC的夹角; (2)AB与BC的夹角。 C 通过平移 变成共起点! ?

C

'

120

A

60

?

B

三.向量在轴上的正射影
(1)概念:
已知向量a和轴l,作 OA =a,过点O,A 分别作轴l的垂线,垂足分别为O1,A1,则 向量 O1 A1 叫做向量a在轴l上的正射影.
A

a
O x

A1 al

O1

l

(2)正射影的数量: 向量a的正射影在轴l上的坐标,称作a在

轴l上的数量或在轴l方向上的数量.
记作: al

向量a的方向与轴l的正方向所成的角为θ,
则有

al ? a cos?

几点说明
1. a在轴l上的数量或在轴l方向上的数量是一个数 量,不是向量. 2. 当?为锐角时,数量为正值; 3. 当?为钝角时,数量为负值;

4. 当?为直角时,数量为0;
5. 当? = 0?时,数量为 |a|;
a
O

a
x l

6. 当? = 180?时,数量为 ?|a|.
A2
al

O 1 a l A1

例1.已知轴l
(1).向量︱OA︱=5, <OA, l>=60°, 求OA在l上的正射影的数量OA1
解:OA1=5COS600=5×( ?)=5/2

(2).向量︱OB︱=5, <OB,l >=120°, 求OB在l上的正射影的数量OB1

-5/2
(3)已知向量a, b ,向量|a|=4,<a, b>=600,则向量a在向量b上 的正射影的数量 解:4cos600=2

四.向量的数量积(内积)
定义: a b cos ? a, b ? 叫做向量a和b的数量 积(或内积) 记作:a· b. 即 a· b = a b cos ? a, b ?

几点说明

1.数量积a?b等于a的长度与b在a方向上正
射影的数量|b|cos?的乘积.
B

b
?
O

a ? b ? a ? b ? cos?
a
A

| b | cos?

2.两个向量的数量积是一个实数,符号由 cos〈a,b〉的符号所决定;而数乘向量是

一个向量。
B b

B b b

B

?
O

?
0?a ? 0

a

θ为锐角时, | b | cosθ>0

B1

A

B1

O

a A

? O( B1 ) a

A

θ为钝角时, | b | cosθ<0

θ为直角时, | b | cosθ=0

3.规定零向量与任意向 量的数量积为0
4. a ·b不能写成a×b ,a×b 表示向量的另一种运算.

两个向量的数量积的性质:

设a、b为两个非零向量,e是与b的单位向量.
1. e?a = a?e =|a|cos?;

2. a?b ? a?b = 0 内积为零是判定两向量垂直的条件
3. a?a = |a|2或 | a |? a ? a 用于计算向量的模

a ?b 4. cos? = | a || b |
5.|a?b| ≤ |a|.|b| .

用于计算向量的夹角, ; 以及判断三角形的形状

例2.已知|a|=5,|b|=4,<a,b>=120°,求a· b.
解: a?b =|a|· |b|cos<a,b>

=5×4×cos120°
= -10.

练习2
已知|a|=3,|b|=6,当①a∥b,②a⊥b,

③a与b的夹角是60°时,分别求a· b
①a∥b时, a· b =±18; ②a⊥b时,a· b=0;

③ a与b的夹角是60°时,a· b=9.

如图, 在平行四边形 ABCD中,已知 AB ? 4, AD ? 3, ?DAB ? 60? , 例3、
解: ?1?因为AD与BC平行且方向相同 ,

求 : ?1?. AD ? BC

?2?.AB? CD

?3?.AB? DA

D

C

? AD与BC的夹角为 0?. ? AD ? BC ? AD ? BC ? cos0? ? 3 ? 3 ?1 ? 9

60?
A 120? B

?2? ∵ AB与CD平行, 且方向相反
? AB与CD的夹角是 180?

? AB ? CD ? AB ? CD ? cos180? ? 4 ? 4 ? ?? 1? ? ?16

?3?. ∵ AB与 AD的夹角是 60 ° 的夹角是 120? ,? AB与DA
? 1? ? AB ? DA ? AB ? DA ? cos120? ? 4 ? 3 ? ? ? ? ? ?6 ? 2?

练习3
(1)已知|a|=3,

|b|=5,且a?b=-12,求a在b方向

上的正射影的数量及b在a方向上的正射影的

数量。 a ?b 4 解:因为 cos ? ? ??
| a |?| b | 5

所以a在b方向上的正射影的数量是
a ?b 12 | a | cos ? ? ?? |b| 5

b在a方向上的正射影的数量是
| b | cos ? ? a ?b ? ?4

( 2 )在 ?ABC中, AB ? BC ? 0,则 ?ABC的形状是
A 锐角三角形 C 钝角三角形 B 直角三角形 D 不能确定

D

( 3 )在 ?ABC中, AB ? BC ? 0,则 ?ABC的形状是 C
A C 锐角三角形 钝角三角形 B D 直角三角形 不能确定

练习4
判断下列命题是否正确
1.若a=0,则对任意向量b,有a · b=0.
( )

2.若a≠0,则对任意非零向量b,有a · b≠0.
3.若a≠0,且a ·b=0,则b=0. 4.若a· b=0,则a=0或b=0. 5.对任意的向量a,有a2=│a│2. 6.若a≠0,且a ·b=a ·c,则b=c.

(× )
(× ) (× ) ( )

(× )

课堂小结
1.两个向量的夹角 范围0≤〈a ,b〉≤π; 2.向量在轴上的正射影 正射影的数量

al ? a cos?

3.向量的数量积(内积) a· b= 4.两个向量的数量积的性质:
(1). (2).

a b cos ? a, b ?

a ?b ? a ? b = 0

a?a = |a|2或 | a |? a ? a a ?b (3). cos? = | a || b |


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