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江苏省无锡市宜兴市高中2015-2016学年高一(上)第一次月考数学试卷(解析版)


2015-2016 学年江苏省无锡市宜兴市高中高一 (上) 第一次月考数学试 卷

3, m}, B={3, 4}, A∪B={1, 2, 3, 4}, 一、 填空题 (2010?上海) 已知集合 A={1, 则 m=



2.已知集合 A={x|x2﹣1=0},则下列表达式 ①1∈A ②{﹣1}∈A ③??A ④{1,﹣1}?A, 其中正确表达式的序号为 .

3.设集合 M={x|0≤x≤2},N={x|0≤x≤2},则在下面四个图形中,能表示集合 M 到集合 N 的函数关系 的是 (填序号).

4.函数 f(x)=x2+2(a﹣1)x+2 在(﹣∞,4]是单调减函数时,a 的取值范围



5.函数

的定义域为



6.已知

,则 f(﹣1)=



7.函数

在区间(8,9]上的值域为



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8.已知函数 f(x)=

,则满足方程 f(x)= 的 x 的值为



9. f x) =x2+x+1, f x) = 已知 y=f (x) 是定义在 R 上的奇函数, 当 x>0 时, ( 则当 x<0 时, (



10.函数 y=x|x+2|的单调减区间为



11.已知集合 A={x|2a≤x≤a+3},B=(5,+∞),若 A∩B=A,则实数 a 的取值范围



12.已知偶函数 f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足 围是 .

的 x 的取值范

13. 不等式

2]恒成立, 对任意 x∈[﹣1, 则 m 的取值范围是



14.已知函数 f(x)= 是 .

,则满足不等式 f(1﹣x2)>f(2x)的实数 x 的取值范围

二、解答题(共 90 分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.已知集合 A={x|x2﹣10x+16≤0}, (1)求 A∪B (2)(?UA)∩B (3)若 A∩C≠?,求 a 的取值范围. ,C={x|x>a},全集 U=R.求:

16.计算下列式子的值: (1) (2)log916?lg3+lg25.

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17.已知直角梯形 ABCD 如图 1 所示,CD=2,AB=4,AD=2,线段 AB 上有一点 P,过点 P 作 AB 的垂线交 l,当点 P 从点 A 运动到点 B 时,记 AP=x,l 截直角梯形的左边部分面积为 S(x), (1)试写出 S(x)关于 x 的函数,并在图 2 中画出函数图象. (2)当点 P 位于何处时,S(x)为直角梯形 ABCD 面积的 ?

18.已知函数 f(x)=ax2+bx+1(a,b 为实数),x∈R,设函数 g(x)=f(x)﹣2kx. (1)若 f(1)=0,且函数 f(x)的值域为[0,+∞),求 f(x)的表达式; (2)若 g(x)在 x∈[﹣1,1]上是单调函数,求实数 k 的取值范围. (3)求 g(x)在 x∈[﹣2,2]上的最小值 h(k).

19.已知 f(x)=x2﹣16x+q+3 (1)若函数在[﹣1,1]上的最大值为 2,求 q 的值 (2)问:是否存在常数 q(0<q<10),使得当 x∈[q,10]时,f(x)的最小值为﹣51?若存在,求 出 q 的值,若不存在,说明理由.

20.设 f(x)=

(m>0,n>0).

(1)当 m=n=1 时,证明:f(x)不是奇函数; (2)设 f(x)是奇函数,求 m 与 n 的值; (3)在(2)的条件下,求不等式 f(f(x))+f( )<0 的解集.

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2015-2016 学年江苏省无锡市宜兴市高中高一(上)第一次月 考数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题(2010?上海)已知集合 A={1,3,m},B={3,4},A∪B={1,2,3,4},则 m= 2 【考点】并集及其运算. 【专题】计算题.



【分析】因为 A∪B={1,2,3,4},因为 B 中元素为 3,4,所以 A 中必然要有 2,所以得到 m 的 值即可. 【解答】解:根据并集的概念,A∪B={1,2,3,4}, 因为 B 中元素为 3,4, 所以 A 中必然要有 2,所以 m=2 故答案为 2 【点评】考查学生理解并集定义及运算的能力.

2.已知集合 A={x|x2﹣1=0},则下列表达式 ①1∈A ②{﹣1}∈A ③??A ④{1,﹣1}?A, 其中正确表达式的序号为 ①③④ . 【考点】集合的包含关系判断及应用;元素与集合关系的判断. 【专题】计算题;集合. 【分析】化简集合 A={﹣1,1},从而表示元素与集合的关系即可. 【解答】解:集合 A={x|x2﹣1=0}={﹣1,1}, 故 1∈A,{﹣1}?A,??A,{1,﹣1}?A; 故答案为:①③④. 【点评】本题考查了集合的化简与元素与集合的关系的应用.
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3.设集合 M={x|0≤x≤2},N={x|0≤x≤2},则在下面四个图形中,能表示集合 M 到集合 N 的函数关系 的是 ②③ (填序号).

【考点】函数的图象. 【专题】综合题;函数的性质及应用. 【分析】根据函数的定义,在集合 M 中的任一元素在集合 N 中都要有唯一的一个元素和它对应,进 而可以得到答案. 【解答】解:由函数的定义知①中的定义域不是 M,④中集合 M 中有的元素在集合 N 中对应两个 函数值不符合函数定义,故不对, 只有②③成立. 故答案为:②③. 【点评】本题主要考查函数的定义的问题.集合 M 到集合 N 的函数关系一定要满足:对集合 M 中 任一元素根据对应关系都要在集合 N 中找到对应函数值.

4.函数 f(x)=x2+2(a﹣1)x+2 在(﹣∞,4]是单调减函数时,a 的取值范围 (﹣∞,﹣3] . 【考点】函数单调性的性质. 【专题】计算题. 【分析】先将函数 f(x)=x2+2(a﹣1)x+2 转化为:f(x)=(x+a﹣1)2+2﹣(a﹣1)2,明确其对 称轴,再由函数在(﹣∞,4]是单调减函数,则对称轴在区间的右侧求解. 【解答】解:函数 f(x)=x2+2(a﹣1)x+2=(x+a﹣1)2+2﹣(a﹣1)2 ∴其对称轴为:x=1﹣a 又∵(﹣∞,4]是单调减函数 ∴1﹣a≥4,∴a≤﹣3 故答案为:(﹣∞,﹣3].

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【点评】本题主要考查二次函数的性质,涉及了二次函数的对称性和单调性,在研究二次函数单调 性时,一定要明确开口方向和对称轴.是基础题.

5.函数

的定义域为 (﹣∞,﹣2)∪(﹣2,1] .

【考点】函数的定义域及其求法. 【专题】计算题. 【分析】函数 的定义域 ,由此能求出其结果.

【解答】解:函数 解得 x<1,且 x≠﹣2. ∴函数

的定义域



的定义域为 (﹣∞,﹣2)∪(﹣2,1].

故答案为:(﹣∞,﹣2)∪(﹣2,1]. 【点评】本题考查函数的定义域的求法,解题时要认真审题,注意分母不为 0,负数不能开偶数次 方.

6.已知

,则 f(﹣1)= 2 .

【考点】函数的值;函数解析式的求解及常用方法. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据函数解析式,进行代入求解即可. 【解答】解:由 +1=﹣1,即由 =﹣2,即 x=﹣1, 即 f(﹣1)=f( 故答案为:2. 【点评】本题主要考查函数值的计算,根据条件进行转化即可. )=﹣1+3=2,

7.函数

在区间(8,9]上的值域为



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【考点】函数的值域. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据反比例函数的单调性便知该函数在区间(8,9]上为减函数,设 y=f(x),从而有 f(9) ≤f(x)<f(8),这样便可得出该函数的值域. 【解答】解:函数 f(9)≤f(x)<f(8); 即 ; . 在(8,9]上单调递减,设 y=f(x),则:

∴该函数在区间(8,9]上的值域为 故答案为:[ ,1).

【点评】考查函数值域的概念,反比例函数的单调性,根据单调性定义求函数的值域.

8.已知函数 f(x)= 【考点】函数的零点与方程根的关系. 【专题】函数的性质及应用.

,则满足方程 f(x)= 的 x 的值为

1或3 .

【分析】利用分段函数,结合已知条件,求解方程的解即可. 【解答】解:函数 f(x)= 可得 x≤1 时,3﹣x= ,解得 x=1; 当 x>1 时,log27x= ,解得 x=3. 故答案为:1 或 3. 【点评】本题考查函数的应用,方程的解的求法,考查计算能力. ,则满足方程 f(x)= .

9.已知 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=x2+x+1,则当 x<0 时,f(x)= ﹣ x2+x﹣1 . 【考点】函数解析式的求解及常用方法. 【专题】函数的性质及应用.

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【分析】当 x<0 时,﹣x>0,根据当 x>0 时,f(x)=x2+x+1,可得 f(﹣x)的表达式,进而根据 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,f(﹣x)=﹣f(x),得到结果. 【解答】解:当 x<0 时,﹣x>0, ∵当 x>0 时,f(x)=x2+x+1, ∴f(﹣x)=(﹣x)2﹣x+1=x2﹣x+1, 又∵y=f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴f(x)=﹣f(﹣x)=﹣x2+x﹣1 故答案为:﹣x2+x﹣1 【点评】本题考查的知识点是函数解析的求解及常用方法,其中真正理解 y=f(x)是定义在 R 上的 奇函数,f(﹣x)=﹣f(x)是解答的关键.

10.函数 y=x|x+2|的单调减区间为 (﹣2,﹣1) . 【考点】函数单调性的判断与证明. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据所给的带有绝对值的函数式,讨论去掉绝对值,得到一个分段函数,利用二次函数的 单调性即可得到减区间. 【解答】解:当 x>﹣2 时,f(x)=x2+2x, 当 x≤﹣2 时,f(x)=﹣x2﹣2x, 这样就得到一个分段函数 f(x)= .

f(x)=x2+2x 的对称轴为:x=﹣1,开口向上,x>﹣2 时是增函数; f(x)=﹣x2﹣2x,开口向下,对称轴为 x=﹣1, 则 x<﹣1 时函数是增函数,﹣2<x<﹣1 时函数是减函数. 即有函数的单调减区间是[﹣2,﹣1]. 故答案为:[﹣2,﹣1]. 【点评】本题考查二次函数的性质,本题解题的关键是去掉绝对值,把函数化成基本初等函数,可 以通过函数的性质或者图象得到结果.

11.已知集合 A={x|2a≤x≤a+3},B=(5,+∞),若 A∩B=A,则实数 a 的取值范围 ( ,+∞) .
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【考点】交集及其运算. 【专题】集合. 【分析】根据 A 与 B 的交集为 A,得到 A 为 B 的子集,即可确定出 a 的范围 【解答】解:∵A∩B=A, ∴A?B. 又集合 A={x|2a≤x≤a+3},B=(5,+∞), 当 A=?时,即 2a>a+3 时,即 a>3 时,满足 A∩B=A, 当 A≠?时,则 解得 <a≤3, 综上所述实数 a 的取值范围是( ,+∞). 故答案为:( ,+∞). 【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. ,

12.已知偶函数 f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足 围是 ( , ) . 【考点】函数单调性的性质. 【专题】函数的性质及应用.

的 x 的取值范

【分析】利用函数的奇偶性的性质将 f(3x﹣1)<f( )转化为 f(|3x﹣1|)<f( )然后利用函数 的单调性解不等式即可.. 【解答】解:∵函数 f(x)是偶函数, ∴f(3x﹣1)<f( )等价为 f(|3x﹣1|)<f( ), ∵f(x)在区间[0,+∞)上单调递增, ∴|3x﹣1|< ,即﹣ <3x﹣1< ,解得 <x< , ∴x 的取值范围是( , ). 故答案为:( , ).

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【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用,利用函数是偶函数将不等式转化为 f(|3x﹣1|)<f( ) 是解决本题的关键.

13.不等式 【考点】函数恒成立问题. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】把不等式

对任意 x∈[﹣1,2]恒成立,则 m 的取值范围是 m>2 .

对任意 x∈[﹣1,2]恒成立,转化为 m> 对任意 x∈[﹣1,2]恒成立,换元后求出二次函数的最值得答案.

【解答】解:∵不等式 ∴m> 令 ,t∈[

对任意 x∈[﹣1,2]恒成立, 对任意 x∈[﹣1,2]恒成立, ].

即 m>t2﹣t 恒成立, 当 t=2 时,(t2﹣t)max=2, ∴m>2. 故答案为:m>2. 【点评】本题考查函数恒成立问题,考查了分离变量法,训练了二次函数最值的求法,是中档题.

14.已知函数 f(x)= (1,+∞)∪(﹣∞,﹣1﹣ 【考点】其他不等式的解法. 【专题】函数的性质及应用.

,则满足不等式 f(1﹣x2)>f(2x)的实数 x 的取值范围是 ), .

【分析】由题意可得 ①1﹣x2 <0,2x>0,或②1﹣x2 <0,2x≤0,1﹣x2 <2x.分别求出①和② 的解集,再取并集即得所求. 【解答】解:由题意可得 ①1﹣x2 <0,2x>0,或②1﹣x2 <0,2x≤0,1﹣x2 <2x. 由①可得 x>1; 由②可得 x<﹣1﹣ . ),

综上可得,实数 x 的取值范围为(1,+∞)∪(﹣∞,﹣1﹣
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故答案为 (1,+∞)∪(﹣∞,﹣1﹣

).

【点评】本题主要考查一元二次不等式的解法,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.

二、解答题(共 90 分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.已知集合 A={x|x2﹣10x+16≤0}, (1)求 A∪B (2)(?UA)∩B (3)若 A∩C≠?,求 a 的取值范围. 【考点】交、并、补集的混合运算;并集及其运算;交集及其运算. 【专题】集合. 【分析】(1)求出集合 A 中不等式的解集,确定出集合 A,找出既属于 A 又属于 B 的部分,即可 求出两集合的并集; (2)由全集 U=R,找出不属于 A 的部分,求出 B 的补集,找出 B 与 A 补集的公共部分,即可确定 出所求的集合; (III)由集合 A 与 C,且两集合的交集不为空集,即可求出 a 的范围. 【解答】解:(1)由集合 A 中的不等式 x2﹣10x+16≤0,变形得:(x﹣2)(x﹣8)≤0, 解得:2≤x≤8, ∴A=[2,8], 由 <0,变形得(x﹣1)(x﹣6)<0, ,C={x|x>a},全集 U=R.求:

解得 1<x<6, ∴B=(1,6), ∴A∪B=(1,8]; (2)∵A=[2,8],全集 U=R, ∴CUA=(﹣∞,2)∪[(8,+∞), 又 B=(1,6), ∴(CUA)∩B=(1,2) (3)∵A=[2,8],C={x|x>a}=(a,+∞),且 A∩C≠?, ∴a<8. 【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键.
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16.计算下列式子的值: (1) (2)log916?lg3+lg25. 【考点】对数的运算性质. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】(1)直接利用有理指数幂化简求解即可. (2)利用对数的运算法则化简求解即可. 【解答】解:(1)

=3﹣3+2× +1 = ;

(2)log916?lg3+lg25 =2log32?lg3+2lg5 =2lg2+2lg5 =2 (各 7 分)

【点评】本题考查有理指数幂的运算,对数的运算法则的应用,考查计算能力.

17.已知直角梯形 ABCD 如图 1 所示,CD=2,AB=4,AD=2,线段 AB 上有一点 P,过点 P 作 AB 的垂线交 l,当点 P 从点 A 运动到点 B 时,记 AP=x,l 截直角梯形的左边部分面积为 S(x), (1)试写出 S(x)关于 x 的函数,并在图 2 中画出函数图象. (2)当点 P 位于何处时,S(x)为直角梯形 ABCD 面积的 ?

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【考点】函数解析式的求解及常用方法. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】(1)可看出当 l 在过 C 前和过 C 后面积 S(x)的求法不同,从而分 0≤x≤2 和 2<x≤4 两种 情况求面积 S(x)= ,然后根据 S(x)的解析式画出图象即可;

(2)容易求出直角梯形 ABCD 的面积,从而得出 S(x)= ,从而可以判断出 2<x<4,从而解方 程 便可求出 x,从而得出点 P 的位置.

【解答】解:(1)0≤x≤4; ①当 0≤x≤2 时,S(x)=2x; ②当 2<x≤4 时, ;

∴ S(x)的图象如下:



(2)直角梯形 ABCD 的面积为:


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∴S(x)>S(2)=4; ∴2<x<4,令 即 P 距离 A4﹣ 处. 得: ,或 x=4+ (舍去);

【点评】考查矩形、梯形的面积公式,一次函数图象和二次函数图象的画法,分段函数图象的画法, 对于分段函数已知函数值求自变量值时,需判断自变量在哪一段上.

18.已知函数 f(x)=ax2+bx+1(a,b 为实数),x∈R,设函数 g(x)=f(x)﹣2kx. (1)若 f(1)=0,且函数 f(x)的值域为[0,+∞),求 f(x)的表达式; (2)若 g(x)在 x∈[﹣1,1]上是单调函数,求实数 k 的取值范围. (3)求 g(x)在 x∈[﹣2,2]上的最小值 h(k). 【考点】二次函数的性质;二次函数在闭区间上的最值. 【专题】计算题;分类讨论. 【分析】(1)由已知 f(1)=0 可得 a+b+1=0,由 f(x)的值域为[0,+∞)可得△ =b2﹣4a=0,联立 方程可求 a,b,进而可求 f(x) (2)由 g(x)=f(x)﹣2kx=ax2+(b﹣2k)x+1,分类讨论:1°当 a=0 时,g(x)=(b﹣2k)x+1, 结合一次函数的性质可求;2°当 a≠0 时,g(x)的对称轴: 调可得 或 可求 ,由 g(x)在 x∈[﹣1,1]上单

(3):1°当 a=0 时,g(x)=(b﹣2k)x+1,结合一次函数的单调性可求;2°当 a>0 时,g(x)的 对称轴: 调性可求 【解答】解:(1)显然 a≠0 ∵f(1)=0 ∴a+b+1=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ∵x∈R,且 f(x)的值域为[0,+∞) ∴△=b2﹣4a=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 由 可得
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且开口向上,通过讨论对称轴与区间的位置关系,结合二次函数在该区间上的单

∴f(x)=x2﹣2x+1 (2)g(x)=f(x)﹣2kx=ax2+(b﹣2k)x+1 1°当 a=0 时,g(x)=(b﹣2k)x+1, ∵g(x)在 x∈[﹣1,1]上单调, ∴b≠2k 2°当 a≠0 时,g(x)图象满足:对称轴: ∵g(x)在 x∈[﹣1,1]上单调 ∴ ①当 a>0 时, ②当 a<0 时, 或 或 或

(3):1°当 a=0 时,g(x)=(b﹣2k)x+1 ①当 b﹣2k=0,即 ②当 b﹣2k>0,即 ③当 b﹣2k<0,即 时,h(k)=1 时,h(k)=g(﹣2)=4k﹣2b+1 时,h(k)=g(2)=﹣4k+2b+1 且开口向上

2°当 a>0 时,g(x)图象满足:对称轴: ①当 ,即

时,h(k)=g(﹣2)=4a﹣2b+4k+1

②当

,即

时,

③当

,即

时,h(k)=g(2)=4a+2b﹣4k+1 且开口向下

3°当 a<0 时,g(x)图象满足:对称轴: ①当 ②当 ,即 ,即

时,h(k)=g(2)=4a+2b﹣4k+1 时,h(k)=g(﹣2)=4a﹣2b+4k+1

【点评】本题主要考查了二次函数的性质的应用,解题的关键是熟练掌握二次函数的相关性质并注 意分类讨论思想的应用

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19.已知 f(x)=x2﹣16x+q+3 (1)若函数在[﹣1,1]上的最大值为 2,求 q 的值 (2)问:是否存在常数 q(0<q<10),使得当 x∈[q,10]时,f(x)的最小值为﹣51?若存在,求 出 q 的值,若不存在,说明理由. 【考点】二次函数的性质;函数的最值及其几何意义. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】(1)f(x)配方后,根据函数在[﹣1,1]上的最大值为 2,求出 q 的值即可; (2)分 0<q≤8 与 8<q<10 两个范围,由 x∈[q,10]时,f(x)的最小值为﹣51,求出 q 的值即可. 【解答】解:(1)f(x)=x2﹣16x+q+3=x2﹣16x+64+q﹣61=(x﹣8)2+q﹣61, 由函数在[﹣1,1]上的最大值为 2,得到 f(﹣1)=2, 即 81+q﹣61=2, 解得:q=﹣18; (2)当 0<q≤8 时,f(x)最小值为 f(8)=﹣51, 解得:q=10,不合题意,舍去; 当 8<q<10 时,f(x)最小值为 f(q)=﹣51, 解得:q=9 或者 q=6(舍去), ∴q=9, 综上所述:存在常数 q=9,符合题意. 【点评】此题考查了二次函数的性质,以及函数最值及其几何意义,熟练掌握二次函数的性质是解 本题的关键.

20.设 f(x)=

(m>0,n>0).

(1)当 m=n=1 时,证明:f(x)不是奇函数; (2)设 f(x)是奇函数,求 m 与 n 的值; (3)在(2)的条件下,求不等式 f(f(x))+f( )<0 的解集. 【考点】奇偶性与单调性的综合;函数奇偶性的判断;函数奇偶性的性质. 【专题】计算题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 【分析】(1)举出反例即可得证,比如计算 f(﹣1),f(1)即可;
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(2)运用奇函数的定义:f(﹣x)=﹣f(x),化简得到恒等式,解方程,即可求得 m,n; (3)判断 f(x)是 R 上单调减函数,再由奇函数可得 f(f(x))+f( )<0,即为 f(x)>﹣ , 运用指数函数的单调性,即可解得. 【解答】解:(1)当 m=n=1 时, ,

由于 所以 f(﹣1)≠﹣f(1), 则 f(x)不是奇函数;





(2)f(x)是奇函数时,f(﹣x)=﹣f(x), 即 对定义域内任意实数 x 成立.

化简整理得(2m﹣n)?22x+(2mn﹣4)?2x+(2m﹣n)=0, 这是关于 x 的恒等式,即有 ,

解得





经检验

符合题意.

(3)由(2)可知 易判断 f(x)是 R 上单调减函数; 由 解得,x<log23, 即 f(x)>0 的解集为(﹣∞,log23). 得:



【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用,考查指数函数和对数函数的单调性,考查 不等式的解法,考查运算能力,属于基础题和易错题.

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