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1.1.3.2 补集及综合应用


第2课时 补集及综合应用

学习目标

特别关注

1.理解在给定集合 中一个子集的补集的 含义,会求给定子集 的补集. 2.熟练掌握集合的 基本运算.

1.求给定集合的补 集.(重点) 2.求交、并、补集 的运算.(难点) 3.数形结合思想在 解题中的应用.

1.已知集合

A={y|y=x2+1,x∈R},B={y|y=5 -x2,x∈R},则A∪B等于________.

并集运算 解 析 : A={y|y≥1} B={y|y≤5} ――――→ 标在数轴上, 如下图A∪B=R

答案:

R

2.设P={x|x<1},Q={x|x2<4},则P∩Q= ________. 解析: Q={x|-2<x<2}, ∴P∩Q={x|-2<x<1}. 答案: {x|-2<x<1}

3.设集合 A={x|-4≤x<2},B={x|-1<x≤3}, 5 C={x|x≤0 或 x≥ },则(A∪B)∩C=________. 2 解析: 如图

A∪B={x|-4≤x≤3},

5 (A∪B)∩C={x|-4≤x≤0 或 ≤x≤3}. 2

1.全集 如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的_____ 所有 元素 ,那么就称这个集合为全集,通常记作___. _____ U

对于一个集合A,由全集U中_____________ 不属于集合A 自然 的所有元素组成的集合称为集合A相对于全 语言 ? UA 集U的补集,记作_____

符号 语言 图形 语言

{x|x∈U,且x?A} ?UA=________________

1.已知全集U=R,集合M={x|-2≤x≤2},则?UM =( ) A.{x|-2<x<2} B.{x|-2≤x≤2} C.{x|x<-2或x>2} D.{x|x≤-2或x≥2} 解析: M={x|-2≤x≤2} 则?UR={x|x<-2或x>2},故选C. 答案: C

2.已知集合U={1,3,5,7,9},A={1,5,7},则?UA =( ) A.{1,3} B.{3,7,9} C.{3,5,9} D.{3,9} 答案: D

3.设U={0,1,2,3},A={x∈U|x2+mx=0},若?UA ={1,2},则实数m=________. 解析: ∵?UA={1,2},∴A={0,3} 而A={x∈U|x(x+m)=0},故m=-3. 答案: -3

4.设全集为R,A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10}, 求?R(A∪B)及(?RA)∩B.

解析: 把全集R和集合A、B在数轴上表示如下: 由图知,A∪B={x|2<x<10}, ∴?R(A∪B)={x|x≤2或x≥10}. ∵?RA={x|x<3或x≥7}, ∴(?RA)∩B={x|2<x<3或7≤x<10}.

补集的简单运算
已知全集U、集合A={1,3,5,7,9},?UA={2,4,6,8}, ?UB={1,4,6,8,9},求集合B.

由题目可获取以下主要信息: ②B 的补集已知 图求出集合 B.

①A 与?UA 已知;

解答本题可由 A 及?UA 求出

全集 U,再由补集定义求出集合 B,或利用 Venn

[解题过程] 借助Venn图, 如右图所示, 得U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}, ∵?UB={1,4,6,8,9}, ∴B={2,3,5,7}.

[题后感悟] 在进行补集的简单运算时,应首先明 确全集,而利用A∪?UA=U求全集U是利用定义解 题的常规性思维模式,故进行补集运算时,要紧扣 补集定义及补集的性质来解题.

1.(1)已知全集U={x|x≥-2},集合A={x|x>1},求 ?UA.

解析: (1)如图所示: 由图可知?UA={x|-2≤x≤1}.

(2)设U=R,A={x|a≤x≤b},?UA={x|x<3或x>4}, 求a,b的值. 解析: ∵A={x|a≤x≤b}, ∴?UA={x|x<a或x>b}, 又?UA={x|x<3或x>4}, ∴a=3,b=4.

交、并、补集的综合运算

设U=R,已知集合A={x|-5<x<5},B= {x|0≤x<7},求(1)A∩B;(2)A∪B;(3)A∪(?UB); (4)B∩(?UA);(5)(?UA)∩(?UB).

本题是不等式问题,凡不等式中的交、并、补 问题,可以画数轴解决.

(4)如下图. ?UA={x|x≤-5或x≥5}, ?UB={x|x<0或x≥7} ∴(?UA)∩(?UB)={x|x≤-5或x≥7}.

[题后感悟] (1)如何求不等式解集的补集? ①将不等式的解集在数轴上标出; ②取数轴上剩余部分即为补集. (2)求不等式解集的补集时需注意什么问题? ①实点变虚点、虚点变实点. 如A={x|-1≤x<5},则?RA={x|x<-1或x≥5};

②通过改变原不等式的不等号方向取补集时,要 ? ? ? ? ? ? ?1 ?1 防止漏解.如 A=?x?x<0 ?,?RA≠?x?x≥0 ?= ? ? ? ? ? ? {x|x>0}. 应先求出 A={x|x>0},再求?RA={x|x≤0}.

2.(1)本例中,若将条件“A={x|-2<x<2}”改为“A= {x|-4≤x≤2}”,求?UA,A∩B,?U(A∩B),(?UA)∩B. 解析: 把全集U和A、B集合在数轴上表示如下: 由图可知?UA={x|x<-4或2<x≤5} A∩B={x|-3<x≤2} ?U(A∩B)={x|x≤-3或2<x≤5} (?UA)∩B={x|2<x≤3}.

(2)设全集U={x∈N*|x<6},集合A={1,3},B= {3,5},则?U(A∪B)=( ) A.{1,4} B.{1,5} C.{2,4} D.{2,5} 解析: U={x∈N*|x<6}={1,2,3,4,5} A∪B={1,3,5},?U(A∪B)={2,4}.故选C. 答案: C

补集的综合应用

已知集合 A={x|2a-2<x<a},B={x|1<x <2},且 A ?RB,求 a 的取值范围.

[规范作答] ?RB={x|x≤1 或 x≥2}≠?, 2分 ∵A ?RB, ∴分 A=?和 A≠?两种情况讨论.4 分 (1)若 A=?, 此时有 2a-2≥a, ∴a≥2.7 分 (2)若 A≠?, ? a≤1 或 则有? ?2a-2<a ?2a-2<a ? ?2a-2≥2 ∴a≤1.11 分 综上所述,a≤1 或 a≥2.12 分

[题后感悟] 解答本题的关键是利用A ?RB,对A =?与A≠?进行分类讨论,转化为等价不等式(组)求 解,同时要注意区域端点的问题.

3.(1)本例中,若将条件“A ?RB”改为“B ? 其他条件不变, 则 a 的取值范围是什么? RA”,

解析: ∵A={x|2a-2<x<a}, ∴?RA={x|x≤2a-2 或 x≥a}, 又∵B ?RA, ?2a-2≥2 ?a≤1 ∴? 或? , ?2a-2<a ?2a-2<a 解得 a≤1. (2)设全集 U=R,B={x|x+a<0},A={x|x>1}, B ?UA,求实数 a 的取值范围.

解析: B={x|x+a<0}={x|x<-a}, ?UA={x|x≤1}. ∵B ?UA,∴-a≤1,∴a≥-1.

1.全集与补集概念的理解 (1)补集既是集合之间的一种关系,同时也是集合之间的 一种运算.求集合A的补集的前提是A是全集U的子集, 随着所选全集的不同,得到的补集也是不同的,因此, 它们是互相依存、不可分割的两个概念. (2)若x∈U,则x∈A和x∈?UA二者必居其一,不仅如此 ,结合Venn图及全集与补集的概念,不难得到如下性质 :A∪(?UA)=U,A∩(?UA)=?,?U(?UA)=A.

2.交集、并集、补集的关系 (1)?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB)(如下图所示)

(2)?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB)(如下图所示)

◎设全集U={2,3,a2+2a-3},A={|2a-1|,2}, ?UA={5},求实数a的值. 【错解】 因为?UA={5},所以5∈U且5?A,所以 a2+2a-3=5,且|2a-1|≠5,解得a=2或a=-4, 即实数a的值是2或-4.

【错因】 本题解答错误在于忽略了集合A的元素 |2a-1|是由a确立的,事实上,当a=2时,|2a-1|= 3,A={2,3},符合题意,而当a=-4时,A={9,2} ,不是U的子集. 【正解】 因为?UA={5},则5∈U且5?A,且|2a- 1|=3. 解得:a=2,即a的取值是2.也可以采用错解中的步 骤,最后加上错因中的验证一步.

练规范、练技能、练速度


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