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选修4-5证明不等式的基本方法(2)综合法与分析法


第二讲

证明不等式的基本方法

方法二: 综合法与分析法

一、综合法的概念
利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经 过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论 成立,这种证明方法叫做综合法
综合法又叫 顺推证法、 由因导果法。

特点: 由因导果
用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理 等,Q表示所要证明的结论. 则综合法用框图表示为:
P ? Q1
Q1 ? Q 2
Q2 ? Q3

?

Qn ? Q

二、分析法的概念
一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成 立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结 为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、 定义、公理等)为止,这种证明方法叫做分析法
分析法又叫 逆推证法、 执果索因法。

特点: 执果索因
用Q表示所要证明的结论,则分析法可用框图表 示为: … P ?P Q?P P ?P
1 1 2 2 3

得到一个明显 成立的条件

注意:

1、如果证明时省略“要证明”和“只需证明”的 字样,就会颠倒因果关系而犯逻辑上的根本错误。 2、分析法和综合法是对立统一的两种方法, 分析法的优点是利于思考,因为其方向明确,思 路自然,易于掌握。 综合法的优点是易于表达,条理清楚,形式简洁。 3.当已知条件信息很多,已知与待证间的直接联 系很明显时,用综合法。 当已知条件信息较少或已知与待证间的直接联系 不明显时,用分析法。 证明时常用分析法探索证明途径,后用综合法的 形式写出证明过程。

典例解析

例 1: 已 知 a, b, c ? 0, 且 不 全 相 等 , 求 证 :
a(b ? c ) ? b(c ? a ) ? c(a ? b ) ? 6abc
2 2 2 2 2 2

例2:已知 a1 , a2 ,..., an ? R?,且 a1a2 ...an ? 1, 求证:

(1 ? a1 )(1 ? a2 )...( 1 ? an ) ? 2

n

例 3:已知 a, b, c ? 0,求证:
a b ?b c ?c a ? abc a?b?c
2 2 2 2 2 2

例4:已知 a, b, c ? R?,且互不相等 , abc ? 1

1 1 1 求证: a ? b ? c ? ? ? a b c

练习:
1.若a, b, c是不全相等的正数,求 证:
a?b b?c c?a lg ? lg ? lg ? lg a ? lg b ? lg c 2 2 2

2.用边长为l的正方形铁板围成 一粮囤,证明:底面是圆的粮囤 比底面是正方形的粮囤容积大


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