当前位置:首页 >> 数学 >>

材料力学 压杆稳定概念 欧拉公式计算临界力


第九章
压杆稳定

目录

第二十六讲的内容、要求、重难点
教学内容: Mechanic of Materials
压杆稳定的基本概念,不同约束、轴心受压压杆临界力的欧 拉公式。欧拉公式的适用范围。

教学要求:
1、了解压杆稳定性的概念,临界力,三种平衡;
2、理解两

端铰支轴心受压压杆临界力的欧拉公式推导、欧 拉公式的适用范围; 3、掌握欧拉公式的应用。

重点: 临界力的概念、及其计算

难点: 欧拉公式的推导。
学时安排:2学时

第二十六讲的目录

第九章 压杆的稳定
§9.1 压杆稳定的概念

Mechanic of Materials
目录

§9.2 两端铰支细长压杆的临界力 §9.3 其他支座条件下细长压杆的临界力
§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式

目录

压杆稳定引言 一、温故
轴向拉压杆的承载力,强度条件:

材料失效表现为屈服或断裂 二、知新

FN ?? ? [? ] A

该公式的适用条件是什么?
是否适用于所有的轴向拉伸和压缩杆?
目录

压杆稳定引言
一根长2m的柳条木,直径d=20mm, [σ]=10MPa, 承压时其Fmax=? 解:若按强度计算

Mechanic of Materials

Fmax ? A[? ]
?

?

4 压杆的稳定性试验 (实测Pmax= 160N,与计算值相差近20倍)

? 0.0202 ? 107 ? 3141N

造成计算结果与实测值不符的原因是较长的压杆存在稳定问题 ,因而强度计算方法对这类杆件的设计不适用。
目录

压杆稳定引言

三、工程实例

Mechanic of Materials

液压缸顶杆

千斤顶

压杆稳定引言 稳定性问题
液压机构中的顶 杆,如果承受的压 力过大,或者过于 细长,就有可能突 然由直变弯,发生 稳定性失效。

Mechanic of Materials

单击图片播放

压杆稳定引言

四、压杆失稳实例
著名工程师 里奥多· 库珀设计

加拿大魁北克大桥。1907 年8月29日下午5点32分,即将 建成的大桥突然倒塌,当场造成 了至少75人死亡,多人受伤。 1913年,这座大桥的建设重 新开始,然而不幸的是悲剧于 1916年9月再次发生。

Mechanic of Materials

1917年,在经历了两次惨痛的悲剧后, 魁北克大桥终于竣工通车。 工程师之戒 (Iron Ring) 1907年的第一次坍塌灾难极为深重,是 一起强调强度设计而未知压杆屈曲失稳造 成的桥梁倒塌

压杆稳定引言 Mechanic of Materials

该桥梁倒塌事故的原因是对结构构件的受压失稳机理没有认识 从此桥梁等结构设计中迅速开展了压杆稳定的试验研究工作

使结构设计从只强调强度设计,变为必须考虑强度、 刚度与稳定性并重的更完善的体系。

压杆稳定引言 五、压杆稳定的奠基人
十八世纪
欧拉(Euler,1707-1783),数学家 及自然科学家。 于1757年对梁的弹性 曲线作了深刻地分析和研究, 这方面的 成果见《曲线的变分法》。
一生共写下了886本书籍和论文。在失明后的17年间,他还 口述了几本书和400篇左右的论文。

Mechanic of Materials

十九世纪后期

近代压杆稳定计算奠基之一:雅辛斯基(1856-1899),俄国工 程师和科学家。 提出中、小柔度压杆临界应力计算的直线公式。

§9.1 压杆稳定的概念
一、压杆的两类力学模型
1、轴心受压杆 (1)杆由均貭材料制成; 2、小偏心压杆与初 弯曲压杆

Mechanic of Materials

F
(2)轴线为直线; (3)外力的作用线与 压杆轴线重合。 (不存在压杆弯曲的初 始因素) 《材料力学》研究对象

F

F

§9.1 压杆稳定的概念
二、压杆的三种平衡状态

Mechanic of Materials

F<Fcr

稳定平衡
干扰力去除后,压杆经数次摆动,恢复原有直线平衡状态

压 杆 与 小 球 的 平 衡 类 比

§9.1 压杆稳定的概念 Mechanic of Materials
F=Fcr

压 杆 与 小 球 的 平 衡 类 比

随遇平衡
干扰力去除,压杆保持微弯的平衡状态

§9.1 压杆稳定的概念
F>Fcr

Mechanic of Materials

压 杆 与 小 球 的 平 衡 类 比

不稳定平衡
干扰力去除,继续变形,直至折断

§9.1 压杆稳定的概念
压杆的三种平衡状态比较
F<Fcr F=Fcr F>Fcr

Mechanic of Materials

1、 稳定平衡
干扰力去除,恢复直线

2、随遇平衡
干扰力去除,保持微弯

3、不稳定平衡
干扰力去除,继续 变形,直至折断

§9.1 压杆稳定的概念
三、压杆的稳定性:
F>Fcr

Mechanic of Materials

压杆保持原有直线形式平 衡状态的能力。

四、压杆失稳
外力超过某值,压杆突然变

弯,不再保持原有的直线状态平
衡,过渡为曲线形状的平衡,甚 至折断。
F F F

五、失稳的实质
压弯组合变形

y

M= F·y

FN = F

§9.1 压杆稳定的概念
六、临界力、临界应力
1、临界力Fcr:
判断压杆是否 失稳的指标

Mechanic of Materials

(1)压杆保持直线稳定平衡状态所能承受的最大载荷
(2)或定义为使压杆失稳的最小载荷 注:试验法测Fcr,上述两个定义将是一致的。 如用理论推导的方法,则前一定义无法建立数学方程 常研究微弯状态的平衡,即失稳所需最小载荷作为Fcr 2、临界应力σcr: σcr=Fcr/A σcr—临界应力(critical stress)

§9.2 两端铰支细长压杆的临界力
一、推导(两端铰支)
x

Fcr ?

? 2 EI
l2

梁的弯矩方程:

Mechanic of Materials

F ? Fcr
B

Fcr
B

M ( x) ? ? Fcr ? y
梁的挠曲线近似微分方程:

EIy '' ? ? Fcr ? y
y '' ? ? Fcr ?y EI

Q
y
A

EI z y '' ? M ( x)
y

x

A≠0 ? B ? 0 ? ?0 ? A sin 0 ? B cos 0 ? sin kl ? 0 ? 0 ? Asin kl ? B cos kl

? x ? 0时,y ? 0 ? x ? l时, y ? 0 ?

l

M ( x)
FN ? Fcr
y

Fcr ? k2 令: EI
2

x

RB ? Fcr

y ?k y ?o
''

y ? A sin kx ? B cos kx
通解 2个积分常数
A≠0 B=0

kl ? n?
n? y ? A sin x l
n2? 2 EI Fcr ? l2

?

二、讨论1:
B

§9.2 两端铰支细长压杆的临界力
n? y ? A sin x l
T? 2?

F ? Fcr
π 2 EI F cr = 2 l

n2? 2 EI Fcr ? l2

Mechanic of Materials

?

n=2, T=l
个半波正弦

l A

n=1, T=2l 一个半波正弦

2? 2l T? ? n? / l n
n?

n---半波 正弦个数

l T /2
3 2 π 2 EI F cr = l2

22 π 2 EI F cr = l2
l/2

F ? Fcr
B

谁最不容 易失稳?
B l/3 l/3

F ? Fcr



l/2 A

n=3, T=2l/3
三个半波正弦
A

l/3

§9.2 两端铰支细长压杆的临界力
讨论2:
π 2 EI F cr = 2 l

Mechanic of Materials

x

y

z

bh3 Iz ? 12
y z
b

Iy

hb3 ? 12

Iz h2 ? 2 ?1 Iy b
cr

h

F

?

? 2 EI
l
2

中的惯性矩 :

I ? min( I y , I z )

注意:压杆总是绕惯性矩较小的轴先失稳。对于矩形
截面来说,绕垂直于短边的轴先失稳。

§9.2 两端铰支细长压杆的临界力

三、思考:
人怎么失稳? 前后弯!

Mechanic of Materials

z

§9.3 其他支座条件下细长压杆的临界力
一、其它杆端约束的欧拉公式
静力法或与两端铰支压杆类比,得细长杆的通用形式:
Fcr = π 2 EI

Mechanic of Materials

? μl ?

2

——不同约束压杆的欧拉公式

?l——相当长度(effective length),即不同压杆屈曲后,挠曲线
上正弦半波的长度。

?——长度系数(coefficient of 1ength),相当长度与杆长的比值。
反映不同支承影响的系数 I——压杆在失稳方向横截面的惯性矩

§9.3 其他支座条件下细长压杆的临界力
二、不同刚性支承对压杆临界载荷的影响

Mechanic of Materials

两端铰支 ?=1.0

一端自由, 一端铰支, 一端固定 一端固定 ?=2.0 ?=0.7

两端固定 ?=0.5

§9.3 其他支座条件下细长压杆的临界力
三、临界应力σcr与柔度λ:

? 2 EI F cr ? ( ?l )2

Mechanic of Materials

Fcr ? 2 EI ? 2 E (i 2 ? A) ? 2 Ei 2 ? 2 E ? cr ? ? ? ? ? 2 2 2 A ( ?l ) ? A ?l 2 ( ?l ) A ( ?l ) ( ) i

? E ? cr ? 2 ?
2

令? ?

?l
i

探讨1:§9.3 其他支座条件下细长压杆的临界力 Mechanic of Materials

令? ?

?l
i

? E ? cr ? 2 ?
2

探讨2:§9.3 其他支座条件下细长压杆的临界力
惯性 半径
y

y
y

y y

i?
z
zz
hh

y y b b

Iy A

y b

iy ?
z

Iy A hb3 / 12 bh b

i圆环> i方> i圆> i矩,即面积、材料、约束、杆长相同,矩形杆最先失稳

Mechanic of Materials

zz

?
?
2

z ? D 4 ?z1 ? ? 4 ? / 64 z

? D ?1 ? ?
2

2

?/4

?

h

DD

d d D D

D

D 1? ? 2 4
d

?

12

i?

I D ? A 4

D D i ? 1?? ? 4

iy ?

? y轴的边长 12
h ? kb

假如三个截面面积相同,比较惯性半径大小
A?

?
4

D2 ?

?
4

2 D环( ? 2) D环 = 1?

D 1-?
2

A?

?
4

D 2 ? bh ? kb2 ? b ?
b ? D ? ? 3k 4 12

?
4k

D

1+? 2 1+? 2 D D i环 ? D环 ? ? ? ? i圆 4 4 1-? 2 4

i矩 ?

圆环大于圆的惯性半径

K=1时, i方> i圆;k>π/3=1.05 时,矩形的惯性半径比圆小

§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式
一、欧拉公式的两种表达:

Mechanic of Materials

Fcr ?

π 2 EI

? ?l ?

2

? 2E ? cr ? 2 ?

? E Fcr ? 2 ? A ?
2

§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式
二、压杆分类:
1、判别柔度:经过大量实验后提出的、 只与 材料有关、判断压杆的种类指标λP、 λS 。 2、压杆分类: ? 2E 细长压杆(大柔度杆):? ? ?P ,其中 : ?P ? ?
P

Q 235 : ?P ?

? 2 ? 206 ? 109
200 ? 106

? 100

Mechanic of Materials

?s ?

304 ? 235 ? 61.6 1.12

中长杆(中柔度杆): ?P ? ? ? ?S ,其中 : ?S ? b 粗短杆(小柔度杆): ? ? ?S b (MPa) a (MPa) 材料
碳钢(Q235) σb>372 σs=235 优质钢 σb=470 σs=306 硅钢 σb=510 σs=353 铸铁 松木

a ?? S

λP 100 100

λS 61.6 60 60

304 460 577

1.12 2.57

3.74
1.45

100
80

332
39

0.2

59

§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式
三、欧拉公式的适用条件

Mechanic of Materials

1、理想压杆 轴线为直线,压力与轴线重合,材料均匀 2、线弹性小变形

? 工作 ? ? cr ? ? p(其中; σp为材料的比例极限)
? E ? cr ? 2 ?
2 2 2

? 2E ?P ? 2 ?P

? E ? E ? 2 2 ? ?P

? ? ?P (大柔度杆)

总结:
压杆稳定性利用工程实例

Mechanic of Materials

压 杆 稳 定 — 临 界 应 力

基 本 概 念

失稳实例

压杆稳定的奠基人
三种平衡:稳定、不稳定、临界 临界力、临界应力 两端铰支:F
cr

?

? 2 EI
l2

I ? min( I y , I z )

欧 拉 公 式

π 2 EI 其它约束 : F cr = 2 (长度系数:1、0.5、0.7、2) ( ?l) 柔度: ? ? ? ? l i 2 惯性半径: ? cr ? ? 2E 圆、圆环、矩形: ?

欧拉公式的适范围: 经验公式:

P. 312

9- 4 、 10


相关文章:
《材料力学》第9章 压杆稳定 习题解
材料力学》第9章 压杆稳定 习题解_工学_高等教育_教育专区。第九章 第九章...试求可用欧拉公式计算临界力的压杆的最小柔度。 解:(1) : (2) (3) 11...
材料力学习题压杆稳定
材料力学习题压杆稳定_理学_高等教育_教育专区。压杆稳定基本概念题一、选择题 ...的长度以及横截面的形状和大小有关。 )( 7.计算压杆临界力欧拉公式 Pcr ?...
材料力学习题册答案-第9章 压杆稳定
9、欧拉公式适用的条件是,压杆的柔度( C A、λ≤ ? C、λ≥ ? E ) ?...两端铰接,压杆材料为 Q235 钢,E=200 GPa,试计算压杆临界应力临界力。 ...
材料力学练习5
材料力学练习5_工学_高等教育_教育专区。材料力学练习5第九章 压杆稳定 重点 1、压杆的稳定性、临界压力、失稳的概念; 2、工 作柔度的计算; 3、 欧拉公式及...
材料力学 压杆稳定答案
材料力学 压杆稳定答案_工学_高等教育_教育专区。9-1(9-2) 图示各杆材料和...的钢; (1)比例极限 (2) (3) 试求可用欧拉公式计算临界力的压杆的最小柔...
材料力学(2)阶段性作业31
图示四根压杆材料与横截面均相同,试判断哪一根最容易失稳: 3.以下概念有...试求可用欧拉公式计算临界力压杆的最小柔度。 (见教材习题 9-10) 5、试...
材料力学教案 第10章 压杆稳定
第10 章 压杆稳定教学目的:深入理解弹性平衡稳定性的概念;熟练应用压杆的临界...教学难点:欧拉临界力公式、压杆的分类、压杆稳定计算。 教具:多媒体。 教学...
材料力学9-第九章 压杆稳定
第九章 压杆稳定 §9.1 压杆稳定概念构件受外力作用而处于平衡状态时,它的平衡...欧拉公式的适用范围是临界应力 ? cr 不超过材料的比例极限 ? p ,即: 二、...
上海理工 材料力学习题解答(压杆稳定)
挺杆是细长压杆,使用欧拉公式计算临界压力 (2) 校核挺杆的稳定性 I= πd4 64 = π× 0.0084 π 2 EI = Pcr = 2 (?l ) 工作安全系数 = 2.01 × ...
第十三章 压杆稳定
第十三章 压杆稳定 1 基本概念及知识要点 1.1 ...用欧拉公式计算临界压力(或应力) ;中柔度杆用经验...2.2 稳定计算压杆的稳定计算是材料力学中的重要...
更多相关标签:
流体动力学稳定性概念 | 欧拉临界力 | 欧拉临界力公式 | 欧拉临界应力 | 欧拉临界应力公式推导 | 压杆临界力欧拉公式 | 欧拉临界荷载 | 欧拉扭转失稳临界力 |