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029二元一次不等式(组)与简单线性规划问题(复习设计)(师)


专题 029:二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(复习设计) (师) 考点要求: 1.考查二元一次不等式组表示的区域面积和目标函数最值(或取值范围). 2.考查约束条件、目标函数中的参变量的取值范围. 3.掌握确定平面区域的方法(线定界、点定域). 4.理解目标函数的几何意义,掌握解决线性规划问题的方法(图解法),注意线性规划问题与其他知识的综合. 知识结构: 1.二元一次

不等式表示的平面区域 (1)一般地,直线 l:ax+by+c=0 把直角坐标平面分成了三个部分: ①直线 l 上的点(x,y)的坐标满足 ax+by+c=0; ②直线 l 一侧的平面区域内的点(x,y)的坐标满足 ax+by+c>0; ③直线 l 另一侧的平面区域内的点(x,y)的坐标满足 ax+by+c<0. 所以,只需在直线 l 的某一侧的平面区域内,任取一特殊点(x0,y0),从 ax0+by0+c 值的正负,即可判断不等式表示的 平面区域. (2)由于对直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入 Ax+By+C 所得到实数的符号都相同,所 以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),由 Ax0+By0+C 的符号即可判断 Ax+By+C>0 表示直线 Ax+By+C =0 哪一侧的平面区域. 2.线性规划相关概念 名 称 目标函数 约束条件 线性约束条件 线性目标函数 可行解 可行域 最优解 线性规划问题 意 义

欲求最大值或最小值的函数 目标函数中的变量所要满足的不等式组 由 x,y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数是关于变量的一次函数 满足线性约束条件的解 所有可行解组成的集合 使目标函数取得最大值或最小值的点的坐标 在线性约束条件下,求线性目标函数的最大值或最小值问题

3.判定二元一次不等式所表示平面区域的一种方法 确定二元一次不等式表示的平面区域时,经常采用“直线定界,特殊点定域”的方法. (1)直线定界,即若不等式不含等号,则应把直线画成虚线;若不等式含有等号,把直线画成实线. (2)特殊点定域,即在直线 Ax+By+C=0 的某一侧取一个特殊点(x0,y0)作为测试点代入不等式检验,若满足不等式, 则表示的就是包括该点的这一侧,否则就表示直线的另一侧.特别地,当 C≠0 时,常把原点作为测试点;当 C=0 时, 常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点. 4.平移直线法求最优解: 利用线性规划求最值,一般用图解法求解,其步骤是: (1)在平面直角坐标系内作出可行域;
-1-

(2)考虑目标函数的几何意义,将目标函数进行变形; (3)确定最优解:在可行域内平行移动目标函数变形后的直线,从而确定最优解; (4)求最值:将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值. 注意: (1)画出平面区域.避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化. (2)求二元一次函数 z=ax+by(ab≠0)的最值,将函数 z=ax+by 转化为直线的斜截式:y=- x+ ,通过求直线的截 距 的最值间接求出 z 的最值.要注意:当 b>0 时,截距 取最大值时,z 也取最大值;截距 取最小值时,z 也取最小 值;当 b<0 时,截距 取最大值时,z 取最小值;截距 取最小值时,z 取最大值. 基础自测: 1.如图所示的平面区域(阴影部分),用不等式表示为 ( ).

a b

z b

z b

z b

z b

z b

z b

A.2x-y-3<0

B.2x-y-3>0

C.2x-y-3≤0

D.2x-y-3≥0

解析 将原点(0,0)代入 2x-y-3 得 2×0-0-3=-3<0,所以不等式为 2x-y-3>0.答案 B 2. (zh2002201)下列各点中,不在 x+y-1≤0 表示的平面区域内的点是( A.(0,0) B.(-1,1) C.(-1,3) D.(2,-3) 解析 逐一代入得点(-1,3)不在 x+y-1≤0 表示的平面区域内.答案 C 3.如图所示,阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示的是( ). ).

? ?x+y-1≥0 A.? ? ?x-2y+2≥0

? ? ?x+y-1≤0 ?x+y-1≥0 B.? C.? ? ? ?x-2y+2≤0 ?x-2y+2≤0

? ?x+y-1≤0 D.? ? ?x-2y+2≥0

解析 两条直线方程为:x+y-1=0,x-2y+2=0. 将原点(0,0)代入 x+y-1 得-1<0, 代入 x-2y+2 得 2>0, 即点(0,0)在 x-2y+2≥0 的内部, 在 x+y-1≤0 的外部,
?x+y-1≥0, ? 故所求二元一次不等式组为? 答案 A ? ?x-2y+2≥0. -2-

4.(2011· 安徽)设变量 x,y 满足|x|+|y|≤1,则 x+2y 的最大值和最小值分别为( A.1,-1 B.2,-2 C.1,-2 D.2,-1

).

解析 法一 特殊值验证:当 y=1,x=0 时,x+2y=2,排除 A,C;当 y=-1,x=0 时,x+2y=-2,排除 D,故 选 B.

法二 直接求解:如图,先画出不等式|x|+|y|≤1 表示的平面区域,易知当直线 x+2y=u 经过点 B,D 时分别对应 u 的 最大值和最小值,所以 umax=2,umin=-2. 答案 B 5.完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成.请木工需付工资每人 50 元,请瓦工需付工资每人 40 元,现有工人工 资预算 2 000 元,设木工 x 人,瓦工 y 人,请工人的约束条件是________.

答案

?50x+40y≤2 000 ? ?x∈N+ ?y∈N+ ?

例题选讲: 1.二元一次不等式(组)表示的平面区域

?x≥0 ?y≥0, 例 1:(2011· 湖北)直线 2x+y-10=0 与不等式组? x-y≥-2, ?4x+3y≤20 ?
A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.无数个

表示的平面区域的公共点有(

).

分析:准确画出不等式组所表示的平面区域,比较直线 2x+y-10=0 与 4x+3y-20=0 的斜率即可判断. 解析 由不等式组画出平面区域如图(阴影部分). 直线 2x+y-10=0 恰过点 A(5,0), 4 且斜率 k=-2<kAB=- ,即直线 2x+y-10=0 与平面区域仅有一个公共点 A(5,0). 3

答案 B 小结:不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域点集的交集,因而是各个不等式所表示的平面区域的 公共部分.

?0≤x≤2, ? 学生练习:已知关于 x,y 的不等式组?x+y-2≥0, ?kx-y+2≥0 ?

所表示的平面区域的面积为 4,则 k 的值为(

).
-3-

A.1 C.1 或-3

B.-3 D.0

解析 其中平面区域 kx-y+2≥0 是含有坐标原点的半平面.直线 kx-y+2=0 又过定点(0,2),这样就可以根据平 面区域的面积为 4,确定一个封闭的区域,作出平面区域即可求解. 平面区域如图所示,根据区域面积为 4,得 A(2,4),代入直线方程,得 k=1. 答案 A 2.求线性目标函数的最值

?7x-5y-23≤0 ? 例 2 已知 x,y 满足条件?x+7y-11≤0 ?4x+y+10≥0 ?

,求 z=4x-3y 的最大值和最小值.

分析: 1.求目标函数的最值,必须先准确地作出线性可行域再作出目标函数对应的直线,据题意确定取得最优解的点,进 而求出目标函数的最值. 2.线性目标函数 z=ax+by 取最大值时的最优解与 b 的正负有关,当 b>0 时,最优解是将直线 ax+by=0 在可行 域内向上平移到端点(一般是两直线交点)的位置得到的,当 b<0 时,则是向下方平移.

?7x-5y-23≤0 ? 解 不等式组?x+7y-11≤0 ?4x+y+10≥0 ?

表示的区域如图所示.

可观察出 4x-3y 在 A 点取到最大值,在 B 点取到最小值. 解方程组
? ? ?7x-5y-23=0 ?x=-1 ? ,得? ,则 A(-1,-6). ?4x+y+10=0 ?y=-6 ? ? ?x+7y-11=0 ?x=-3 ? ? 解方程组? ,得? . ? ? ?4x+y+10=0 ?y=2

则 B(-3,2),因此 4x-3y 的最大值和最小值分别为 14,-18. 小结:(1)线性目标函数的最大(小)值一般在可行域的顶点处取得,也可能在边界处取得. 经过区域内整数最优解的直 线距实数最优解最近.

-4-

(2)求线性目标函数 z=ax+by (ab≠0)的最优解,要注意分析线性目标函数所表示的几何意义——在 y 轴上的截距或其 a z z 相反数. 将函数 z=ax+by 转化为直线的斜截式:y=- x+ ,通过求直线的截距 的最值间接求出 z 的最值. 要注意: b b b z z z 当 b>0 时,截距 取最大值时,z 也取最大值;截距 取最小值时,z 也取最小值;当 b<0 时,截距 取最大值时,z 取最 b b b z 小值;截距 取最小值时,z 取最大值. b

?x ? y ? 2 ? 学生练习: (2013 年高考福建卷(文) 若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 1 ) ,则 z ? 2 x ? y 的最大值和最小值分别为 ?y ? 0 ?
( A.4 和 3 B.4 和 2 C.3 和 2 D.2 和 0 【答案】B 本题考查的简单线性规划.如图,可知目标函数最大值和最小值分别为 4 和 2. )

y

2

O

1

2

x

考向三 求非线性目标函数的最值

?x-4y+3≤0, ? 例 3:(zh2002405)变量 x、y 满足?3x+5y-25≤0, ?x≥1. ?
y (1)设 z= ,求 z 的最小值; x (2)设 z=x2+y2,求 z 的取值范围. [审题视点] 利用目标函数所表示的几何意义求解.

?x-4y+3≤0, ? 解 由约束条件?3x+5y-25≤0, ?x≥1. ?
作出(x,y)的可行域如图所示.
? ?x=1, 22 由? 解得 A?1, 5 ?. ? ? ? ?3x+5y-25=0, -5-

?x=1, ? 由? 解得 C(1,1). ? ?x-4y+3=0, ? ?x-4y+3=0, 由? 解得 B(5,2). ? ?3x+5y-25=0,

y y-0 2 (1)∵z= = .∴z 的值即是可行域中的点与原点 O 连线的斜率.观察图形可知 zmin=kOB= . x x-0 5 (2)z=x2+y2 的几何意义是可行域上的点到原点 O 的距离的平方.结合图形可知,可行域上的点到原点的距离中, dmin=|OC|= 2,dmax=|OB|= 29.∴2≤z≤29. 小结:求目标函数的最值,必须先准确地作出线性约束条件表示的可行域,再根据目标函数的几何意义确定取得 最优解的点,进而求出目标函数的最值.

?2x-y+2≥0, ? 学生练习:(zh2002506) 如果点 P 在平面区域?x+y-2≤0, ?2y-1≥0 ?
值为( 3 A. 2 解析 ). B. 4 -1 5 C.2 2-1

上, Q 在曲线 x2+(y+2)2=1 上, 点 那么|PQ|的最小

D. 2-1

1 3 如图,当 P 取点?0,2?,Q 取点(0,-1)时,|PQ|有最小值为 . ? ? 2 答案 A 4.线性规划的实际应用 例 4:某企业生产 A,B 两种产品,生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如下表: 产品品种 A 产品 B 产品 劳动力(个) 3 10 煤(吨) 9 4 电(千瓦) 4 5

已知生产每吨 A 产品的利润是 7 万元,生产每吨 B 产品的利润是 12 万元,现因条件限制,该企业仅有劳动力 300 个, 煤 360 吨,并且供电局只能供电 200 千瓦,试问该企业如何安排生产,才能获得最大利润? 分析:题目的设问是“该企业如何安排生产,才能获得最大利润”,这个利润是由两种产品的利润所决定的,因 此 A,B 两种产品的生产数量决定着该企业的总利润,这里两种产品的生产数量是问题的主要变量,故可以设出 A,B 两种产品的生产数量,列不等式组和建立目标函数. 解 设生产 A,B 两种产品分别为 x 吨,y 吨,利润为 z 万元,依题意,得

-6-

?3x+10y≤300, ?9x+4y≤360, ?4x+5y≤200, ?x≥0,y≥0. ?

目标函数为 z=7x+12y. 作出可行域,如图阴影所示. 当直线 7x+12y=0 向右上方平行移动时,经过 M(20,24)时 z 取最大值. ∴该企业生产 A,B 两种产品分别为 20 吨和 24 吨时,才能获得最大利润. 小结:线性规划的实际应用问题,需要通过审题理解题意,找出各量之间的关系,最好是列成表格,找出线性约束条 件,写出所研究的目标函数,转化为简单的线性规划问题. 学生练习 (2011· 四川)某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人, 8 辆载重量为 10 吨的甲型卡车和 7 辆载重量为 6 有 吨的乙型卡车.某天需运往 A 地至少 72 吨的货物,派用的每辆车需满载且只运送一次,派用的每辆甲型卡车需配 2 名 工人,运送一次可得利润 450 元;派用的每辆乙型卡车需配 1 名工人,运送一次可得利润 350 元.该公司合理计划当 天派用两类卡车的车辆数,可得最大利润 z=( A.4 650 元 B.4 700 元 C.4 900 元 ). D.5 000 元

解析

设派用甲型卡车 x 辆,乙型卡车 y 辆,获得的利润为 z 元,z=450x+350y,由题意,x、y 满足关系式

?2x+y≤19, ? ?10x+6y≥72, ?0≤x≤8, ?0≤y≤7,
x+y≤12, 巩固作业:

?x+y=12, ? 作出相应的平面区域,z=450x+350y=50(9x+7y),在由? 确定的交点(7,5)处取得最 ? ?2x+y=19

大值 4 900 元.答案 C

? x ? y ? 8, ?2 y ? x ? 4, ? 1 . (2013 年高考四川卷 (文 8) 若变量 x, y 满足约束条件 ? ) 且 z ? 5 y ? x 的最大值为 a ,最小值为 b ,则 a ? b ? x ? 0, ? y ? 0, ?
-7-

的值是 A. 48
【答案】C

( B. 30 C. 24

) D. 16

? x ? y ? 8, ?2 y ? x ? 4, ? 条件 ? 表示以(0,0)、(0,2)、(4,4)、(8,0)为顶点的四边形区域,检验四顶点可知,当 x ? 4 , y ? 4 时, ? x ? 0, ? y ? 0, ?
a ? zmax ? 5 ? 4 ? 4 ? 16 ,当 x ? 8 , y ? 0 时, b ?min ? 5 ? 0 ? 8 ? ?8 ,所以 a ? b ? 24 ,选 C.
? x ? y ? 1 ? 0, ? 2 . (2013 年高考课标Ⅱ卷(文 3) 设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0, ,则 z ? 2 x ? 3 y 的最小值是( ) ? x ? 3, ?
(A) ?7 【答案】B (B) ?6 (C) ?5 (D) ?3



由 z=2x-3y 得 3y=2x-z,即 y ? 当直线 y ?

2 z x ? 。作出可行域如图 3 3

,平移直线 y ?

2 z x ? ,由图象可知 3 3

?x ? y ?1 ? 0 ? x ? 3 2 z 2 z x ? 经过点 B 时,直线 y ? x ? 的截距最大,此时 z 取得最小值,由 ? 得? ,即 3 3 3 3 ?x ? 3 ?y ? 4

B(3, 4) ,代入直线 z=2x-3y 得 z ? 3 ? 2 ? 3 ? 4 ? ?6 ,选 B.
?3x ? y ? 6 ? 0, ? 3 . (2013 年高考天津卷(文 2) 设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0, 则目标函数 z ? y ? 2 x 的最小值为 ) ? y ? 3 ? 0, ?

( A.-7 C.1
【答案】A



B.-4 D.2

由 z ? y ? 2 x 得 y ? 2 x ? z 。作出可行域如图

,平移直线 y ? 2 x ? z ,由图象可知当直线
?x ? y ? 2 ? 0 ?x ? 5 ,得 ? ,即 D (5, 3) 代入 ?y ? 3 ? 0 ?y ? 3
-8-

y ? 2 x ? z 经过点 D 时,直线 y ? 2 x ? z 的截距最小,此时 z 最小,由 ?

z ? y ? 2 x 得 z ? 3 ? 2 ? 5 ? ?7 ,选 A.
4 . (2013 年高考湖北卷(文) 某旅行社租用 A 、 B 两种型号的客车安排 900 名客人旅行, A 、 B 两种车辆的载客量分 )

别为 36 人和 60 人,租金分别为 1600 元/辆和 2400 元/辆,旅行社要求租车总数不超过 21 辆,且 B 型车不多于 A 型 车 7 辆.则租金最少为 ( ) A.31200 元 B.36000 元 C.36800 元 D.38400 元 【答案】C

?36 x ? 60 y ? 900 ? 本题考查线性规划的实际应用。设 A 、 B 两种车辆的数量为 x, y ,则由题意知 ? x ? y ? 21 ,则所求的租 ?y ? x ? 7 ?

金 z ? 1600 x ? 2400 y 。 作 出 可 行 域 如 图

0 , 由 z ? 1 6 0 x?

2 4 y得0, 0

2 z 2 z 2 z y ?? x? ,平移直线 y ?? x? ,由图象可知当直线 y ?? x? 经过点 C 时, 3 2400 3 2400 3 2400

?36 x ? 60 y ? 900 ?x ? 5 2 z y ?? x? 的截距最小,此时 z 最小。由 ? ,解得 ? , 即 C ( 5 , 1 2,)代 入 3 2400 ?y ? x ? 7 ? y ? 12
z ? 1 6 0 0 ? 2 4 0y0 z ? 1600 ? 5 ? 2400 ?12 ? 36800 ,选 C. x 得
5. (2013 年高考陕西卷(文 7) 若点(x,y)位于曲线 y = |x|与 y = 2 所围成的封闭区域, 则 2x-y 的最小值为 )

( A.-6
【答案】A



B.-2

C.0

D.2

3 2x y ?| x | 与y ? 2 的图像围成一个三角形区域, 个顶点的坐标分别是 (0,0),(-2,2),(2,2). 且当取点(-2,2)时, – y = - 6 取最小值。所以选 A

? x ? 0, ? 6. (2013 年高考大纲卷(文 15) 若 x、 y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 4, 则 z ? ? x ? y的最小值为 ____________.【答案】0 ) ?3 x ? y ? 4, ?

-9-

作出可行域,如图

, A(0,4) , B(1,1) , 过 B(1,1) 时 截 距 最 少 , 此 时

z ? ?1 ? 1 ? 0 ,填 0.

? x ? 2 y ? 8, ? 7. (2013 年高考湖南(文 13) 若变量 x,y 满足约束条件 ?0 ? x ? 4, 则 x+y 的最大值为________【答案】6 ) ?0 ? y ? 3, ?

? 【命题立意】 本题考查线性规划的应用。 z ? x ? y , y ?? x z 设 则

。 作出可行域如图



平移直线 y ? ? x ? z ,由图象可知当直线 y ? ? x ? z 经过点 A 时,直线 y ? ? x ? z 的截距最大,此时 z 最大。由

?x ? 2 y ? 8 ?x ? 4 ,得 ? ,即 A(4, 2) ,代入 z ? x ? y ,得 z ? 4 ? 2 ? 6 . ? ?x ? 4 ?y ? 2
8. (2013 年高考课标Ⅰ卷(文 14) 设 x, y 满足约束条件 ) 【答案】3

?1 ? x ? 3, ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为______. ? ??1 ? x ? y ? 0

由 z ? 2 x ? y 得 y ? 2 x ? z 。作出可行域如图

,平移直线 y ? 2 x ? z ,由图象可知当直

线 y ? 2 x ? z 经过点 E 时,直线 y ? 2 x ? z 的截距最小,此时 z 最大,由 ?

?x ? 3 ?x ? 3 得? ,即 E (3, 3),代入 ?x ? y ? 0 ? y ? 3

z ? 2 x ? y 得最大值 z ? 2 ? 3 ? 3 ? 3 。
- 10 -


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