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山东省潍坊市第一中学2011届高三教学质量检测 数学文


潍坊市第一中学 2011 届高三教学质量检测

高三数学(文科)
2010.11 本试卷共 4 页,分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时 间 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2.每题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮 擦干净后,再改涂在其它答案标号. 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.设全集 U = R ,集合 A = {x | x 2 ? 2 x < 0}, B = {x | x > 1} ,则集合 A ∩ A. {x | 0 < x < 1} C. {x | 0 < x < 2}
2.下列函数图象中不正确的是 B=

B. {x | 0 < x ≤ 1} D. {x | x ≤ 1}

3.已知点 P(tan α , cos α ) 在第三象限,则角 α 的终边在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

4.函数 y = ln x ? 6 + 2 x 的零点一定位于的区间是 A. (0,1) 5.给出如下四个命题: ①若“ p 且 q ”为假命题,则 p 、 q 均为假命题; ②命题“若 a > b ,则 2a > 2b ? 1 ”的否命题为“若 a ≤ b ,则 2a ≤ 2b ? 1 ” ; ; ③“ ?x ∈ R , x 2 + 1 ≥ 1 ”的否定是“ ?x ∈ R , x 2 + 1 ≤ 1 ” “ ④在△ ABC 中, A > B ”是“ sin A > sin B ”的充要条件.其中不正确的命题的个数是 ... B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)

A.4

B.3

C.2

D.1

6.三个数 60.7 ,0.76 ,log 0.7 6 的大小顺序是 A. 0.76 < log0.7 6 < 60.7 C. log0.7 6 < 60.7 < 0.76 B. 0.76 < 60.7 < log0.7 6 D. log0.7 6 < 0.76 < 60.7

?x + y ≥ 0 ? 7.已知实数 x 、 y 满足 ? x ? y + 4 ≥ 0 ,则 2x + y 的最小值是 ?x ≤ 1 ?

A.-3 B.-2 C.0 D.1 8.函数 y = sin 2 x 的图象经过适当变换可以得到 y = cos 2 x 的图象,则这种变换可以是 A.沿 x 轴向右平移 C.沿 x 轴向左平移
π 个单位 4 π 个单位 2

B.沿 x 轴向左平移 D.沿 x 轴向右平移

π 个单位 4 π 个单位 2

9.若曲线 f ( x) = x4 ? x 在点 P 处的切线平行于直线 3x ? y = 0 ,则点 P 的坐标为 A. (1,0) B. (1,5) C. (1,-3) D. (-1,2)

10.如图,设 A 、 B 两点在河的两岸,一测量者在 A 的同侧,在所 在 的 河 岸 边 选 定 一 点 C , 测 出 AC 的 距 离 为 50m ,

∠ACB = 45°, ∠CAB = 105° 后,就可以计算出 A 、 B 两点的距离为
A. 50 2m C. 25 2m B. 50 3m D. 25 2 m 2 π 11.已知函数 f ( x) = A sin(ω x + ? )( x ∈ R , A > 0, ω > 0,| ? |< ) 的图 2 象(部分)如图所示,则 f ( x) 的解析式是
π? ? A. f ( x) = 2sin ? πx + ? ( x ∈ R ) 3? ? π? ? B. f ( x) = 2sin ? 2πx + ? ( x ∈ R ) 6? ? π? ? C. f ( x) = 2sin ? πx + ? ( x ∈ R ) 6? ? π? ? D. f ( x) = 2sin ? 2πx + ? ( x ∈ R ) 3? ?

12.已知函数 f ( x + 1) 是偶函数,当 1 < x1 < x2 时, [ f ( x2 ) ? f ( x1 )]( x2 ? x1 ) > 0 恒成立,设
1 a = f (? ), b = f (2), c = f (3) ,则 a, b, c 的大小关系为 2

A. b < a < c

B. c < b < a

C. b < c < a

D. a < b < c

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)

注意事项: 1.第Ⅱ卷包括填空题和解答题共两个大题. 2.第Ⅱ卷所有题目的答案考生需用黑色签字笔答在“数学”答题卡指定的位置. 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.函数 f ( x) = 3x + sin x + 1( x ∈ R ) ,若 f (t ) = 2 ,则 f (?t ) 的值为 14.已知 tan α =
1 ,则 cos 2α + sin 2 α 的值为 4

.

.

,x ≤ 0 ?cos πx 4 15.已知 f ( x) = ? ,则 f ( ) 的值为 3 ? f ( x ? 1) + 1, x > 0 16.下列命题: ①设 a , b 是非零实数,若 a < b ,则 ab 2 < a 2 b ; 1 1 ②若 a < b < 0 ,则 > ; a b ③函数 y =

.

2( x 2 + 3) x2 + 2

的最小值是 4; 1 4 + = 1 ,则 xy 有最小值 16. x y

④若 x, y 是正数,且

其中正确命题的序号是 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) = 2cos 2 x + 3 sin 2 x. (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期和单调递增区间;
? π? (Ⅱ)当 x ∈ ? 0, ? 时,求 f ( x) 的最大值. ? 3?

18. (本小题满分 12 分) 若关于 x 的不等式[ x ? (3 ? a)]( x ? 2a) < 0 的解集是 A ,y = ln(? x2 + 3x ? 2) 的定义域是 B , 若 A ∪ B = A ,求实数 a 的取值范围.

19. (本小题满分 12 分) 在△ ABC 中,a 、b 、c 分别为 ∠A 、∠B 、∠C 的对边, 已知 三角形面积为 3 3 . 2
tan A + tan B = ? 3, c = 7 , 1 ? tan A ? tan B

(Ⅰ)求 ∠C 的大小; (Ⅱ)当 a + b 的值.

20. (本小题满分 12 分)

设命题 p : 函数 f ( x ) = log a x 在 (0, +∞) 上单调递增;q : 关于 x 的方程 x 2 + 2 x + log a 无实数解.若“ p ∨ q ”为真, p ∧ q ”为假,求实数 a 的取值范围. “

3 =0 2

21. (本小题满分 12 分) 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗, 房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建 筑物要建造可使用 20 年的隔热层, 每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元.该建筑物每年的能 源 消 耗 费 用 C ( 单 位 : 万 元 ) 与 隔 热 层 厚 度 x ( 单 位 : cm ) 满 足 关 系 : C ( x )
= k (0 ≤ x ≤ 10) ,若不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万元.设 f ( x) 为隔热层建造费用 3x + 5

与 20 年的能源消耗费用之和. (Ⅰ)求 k 的值及 f ( x) 的表达式; (Ⅱ)隔热层修建多厚时,总费用 f ( x) 达到最小,并求最小值. 22. (本小题满分 14 分) a 设函数 f ( x) = ax ? ? 2 ln x. x (Ⅰ)若 f ( x) 在 x = 2 时有极值,求实数 a 的值和 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若 f ( x) 在定义域上是增函数,求实数 a 的取值范围.

2010—2011 学年度上学期教学检测

高三数学(文科)参考答案
2010.11 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. BDBCC DBBAA CA 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分. 16 3 13.0 14. 15. 16.②④ 17 2 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 17. (本小题满分 12 分)
π? ? 解: (Ⅰ)∵ f ( x) = 2 cos 2 x + 3 sin 2 x = 2sin ? 2 x + ? + 1 ,………………………………… 6? ?

2分
∴ 函数 f ( x) 的最小正周期 T =

2π = π. ……………………………………………………… 2

4分

由 2kπ ?
kπ ?

π π π ≤ 2 x + ≤ 2kπ + , 2 6 2

π π ≤ x ≤ kπ + , k ∈ Z, 3 6

π π 所以函数的单调递增区间是 [kπ ? , kπ + ](k ∈ Z). ………………………………………6 3 6


? π? (Ⅱ)当 x ∈ ? 0, ? 时, ? 3? 2x + π π 5π ∈[ , ] , 6 6 6 π π π = ,即 x = , f ( x) 的最大值是 3.…………………………………………… 6 2 6

∴当 2x +

12 分

18. (本小题满分 12 分)

解: ? x 2 + 3 x ? 2 > 0 得 1 < x < 2 , B = (1, 2) , 由 即 ……………………………………………

3分

∵ A ∪ B = A,∴ A ? B,
(1)若 3 ? a < 2a ,即 a > 1 时, A = (3 ? a, 2a)
∵ (3 ? a, 2a) ? (1, 2)
?a > 1 ? ∴ ?3 ? a ≤ 1 ? 2a ≥ 2 ?

∴ a ≥ 2 ………………………………………………………………………

…6 分 (2)若 3 ? a = 2a ,即 a = 1 时, A = φ ,不合题意:……………………………………… 8分

(3)若 3 ? a > 2a ,即 a < 1 时, A = (2a,3 ? a),
∵ (2a,3 ? a) ? (1, 2),
?a < 1 ? ∴ ? 2a ≤ 1 ?3 ? a ≥ 2 ?

∴a ≤

1 …………………………………………………………………… 2

11 分 综上, 实数 a 的取值范围是 a ≤ 分 19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) tan( A + B ) = ∵ 2分 又 tan C = tan[π ? ( A + B)] = ? tan( A + B)
∴ tan C = 3 ,…………………………………………………………………………………

1 或 a ≥ 2. …………………………………………………12 2

tan A + tan B ……………………………………………… =? 3, 1 ? tan A tan B

…4 分
π 又∵ 0 < C < π,∴∠C = . ……………………………………………………………………… 3

6分
1 1 π 3 3 3 (Ⅱ)由题意可知: S?ABC = ab sin C = ab sin = ab = . 2 2 3 4 2
∴ ab = 6. ………………………………………………………………………………………

…9 分 由余弦定理可得: c 2 = a 2 + b2 ? 2ab cos C = (a + b)2 ? 3ab ………………………………… 10 分
∴ ( a + b)2 = 3ab + c 2 = 3 × 6 + ( 7) 2 = 25 ,

又∵ a > 0, b > 0.

∴ a + b = 5. ……………………………………………………………………………………

12 分 20. (本小题满分 12 分) 解: 当命题 p 是真命题时, 应有 a > 1 ; ………………………………………………………

2分 当命题 q 是真命题时,关于 x 的方程 x 2 + 2 x + log a 所 以
? = 4 ? 4 log a 3 = 0 无解, 2

3 < 0, 2





1< a <

3 .………………………………………………………5 分 2

由于“ p ∨ q ”为真,所以 p 和 q 中至少有一个为真,……………………………………7

分 又“ p ∧ q ”为假,则 p 和 q 中至少有一个为假,



p



q









假.……………………………………………………………………………9 分
p 假 q 真时, a 无解; p 真 q 假时, a ≥
3 2

综上所述,实数 a 的取值范围是 a ≥

3 .……………………………………………………… 2

12 分 21. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设隔热层厚度为 xcm ,由题设,每年能源消耗费用为 C ( x) = 再由 C (0) = 8 ,得 k = 40 ,因此 C ( x) =
3分
k . 3x + 5

40 . ……………………………………………… 3x + 5













C1 ( x ) = 6 x ………………………………………………………………………4 分

最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为
f ( x) = 20C ( x) + C1 ( x) = 20 × 40 800 + 6x = + 6 x(0 ≤ x ≤ 10) ………………………… 3x + 5 3x + 5

…6 分 (Ⅱ)f ′( x) = 6 ?
2400 , …………………………………………………………………… (3x + 5) 2

8分 令 f ′( x) = 0 ,即 解得 x = 5, x = ?
2400 = 6. (3 x + 5)2

25 (舍去).………………………………………………………………… 3

10 分 当 0 < x < 5 时, f ′( x) < 0 ,当 5 < x < 10 时, f ′( x) > 0 , 故 x = 5 是 f ( x) 的最小值点,对应的最小值为 f (5) = 6 × 5 +
800 = 70. 15 + 5

当隔热层修建 5cm 厚时, 总费用达到最小值为 70 万元.……………………………………

12 分

22. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ) f ( x) 的定义域是 (0, +∞) ,

f ′( x) =
a=

ax 2 ? 2 x + a x2







f ′(2) = 0







4 ……………………………………………3 分 5

4 2 4 2 x ? 2x + (2 x ? 1)( x ? 2) 5 5=5 f ′( x) = x2 x2

1 1 当 x ∈ (0, ), f ′( x) > 0, x ∈ ( , 2), f ′( x) < 0, x ∈ (2, +∞), f ′( x) > 0 2 2 1 1 所以 f ( x) 分别在 (0, ) 和 (2, +∞) 上是增函数,在 ( , 2) 上是减函数……………………… 2 2

6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ′( x) =

ax 2 ? 2 x + a ,令 h( x) = ax 2 ? 2 x + a , 2 x

(1) a = 0 时, h( x) = ?2 x, h( x) 是减函数, h( x) < h(0) = 0, f ′( x) < 0 ,
(0, +∞)

f ( x)









数.………………………………………………………………………8 分 (2) > 0 时, ( x) 开口向上, h 对称轴 x = a
1 1 1 , h( x)min = h( ) ≥ 0, a ? ≥ 0, a ≥ 1 f ′( x) > 0, 由 a a a

∴ a ≥ 1 时, f ( x) 在 (0, +∞) 是增函数.………………………………………………………………

11 分

(3) a < 0 时, h( x) 开口向下,对称轴 x =

1 ∈ (?∞,0), h( x) 在 (0, +∞) 上是减函数. a

h(0) = a < 0 ,所以 h( x) < 0, f ′( x) <), f ( x) 在 (0, +∞) 上是减函数…………………………… 13 分

综上,a ∈ [1, +∞) 时, f ( x) 在定义域上是增函数.……………………………………………
14 分

另解:设 h( x) = ax 2 ? 2 x + a .


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