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唐山市2014-2015高一上期末考试数学试题3(word版+答案)


唐山市 2014-2015 年高一上期末数学试卷 (18) (本小题满分 12 分) 已知 a、b、c 是同一平面内的三个向量,其中 a=(1,-2). (?)若 b ? 2 5 ,且 a 与 b 同向,求 b 的坐标; (??)若 c ? 15 ,且 a 与 c 的夹角为 30o,求(2a+c)?( 4a-3c).

(19)(本小题满分 12 分) 已知函

数 f ? x ? ? 3 sin x cos x ? cos 2 x ? (?)求 f ?x ? 的单调递增区间;
1 . 2

?? ? (??)求 f ?x ? 在区间 ?0, 上的值域. 2? ? ?

(20)(本小题满分 12 分)

已知函数 f ?x? ? log2 x ? 2ax ? 1 .
2

?

?

(?)若 f ?x ? 的定义域为 R,求实数 a 的取值范围; (??) 若 f ?1? ? 1 , 且 函 数 g ?x ? 与 f ?x ? 的 图 像 关 于 x 轴 对 称 , 求 函 数
h? x ? ? f? ?x?? ?2 m ?

? g?? ? ?x

? m R . ? 的最大值

(21)(本小题满分 12 分)
?? ? 已知函数 f ?x? ? m ? 2 cos2 x cos?2x ? ? ? 为奇函数,且 f ? ? ? 0 ,其中 m ? R , ?4?

?

?

? ? ? 0, ? ? .
(?)求 m,?的值;

2 ?? ?? ? ? ? (??)若 f ? ? ? ? , ? ? ? 0, ? ,求 tan ? 的值。 2? ? 4 16 ? 20 ?

(22)(本小题满分 12 分) ax ? b 1 已知函数 f ? x ? ? 2 , f ? x ? ? f ? ?x ? ? 0 对 x ? R 恒成立,且 f ?1? ? 。 x ?1 2 (Ⅰ)求 f ? x ? 的解析式; (Ⅱ)利用函数的单调性的定义证明,f (x)在[-1,1]是增函数; 2m t (Ⅲ)若不等式 f ( m )<f ( )对任意的 t∈[1,+?)恒成立,求实数 m 的取值 2 +1 t+1 范围。

唐山市 2014~2015 学年度高一年级第一学期期末考试

数学参考答案及评分标准
一、选择题: A 卷:CDCBA B 卷:ACCDB 二、填空题: (13)(1,2)∪(2,+∞) 三、解答题: (17)解: (14)1 (15)2 (16)0 DABDC ADBDC AD BA

3 10 10 (Ⅰ)由点 P(-1,3)在角 x 的终边上,得 sin x= ,cos x=- , 10 10 10 ∴sin x+cos x= . …5 分 5 ? ? sin +x cos -x 2 2 cos x?sin x (Ⅱ) = =-tan x=3. …10 分 cos(-x) cos(?-x) cos x(-cos x)

(

) (

)

(18)解: (Ⅰ)由 a 与 b 同向,设 b=?a,则 b=(?,-2?),?>0, ∵|b|= 5 |?|=2 5 ,∴?=2,∴b=(2,-4). (Ⅱ)由 a=(1,-2),得|a|= 5 ,∴a?c=|a||c|cos30?= 15 , 2 15 ∴(2a+c)?(4a-3c)=8a2-2a?c-3c2=8×5-2× -3×15=-20. 2 (19)解: 1 3 1 ? (Ⅰ)f (x)= 3sin xcos x-cos2x+ = sin 2x- cos 2x=sin 2x- …3 分 2 2 2 6 ? ? ? ? ? 由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z,解得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z, 2 6 2 6 3 ? ? ∴f (x)的单调递增区间为 kπ- ,kπ+ ,k∈Z. …6 分 6 3 1 ? ? ? 5? ? (Ⅱ)∵x∈ 0, ,2x- ∈ - , ,∴- ≤sin 2x- ≤1, …11 分 2 6 6 6 2 6 1 ? ∴f (x)在区间 0, 上的值域为 - ,1 . …12 分 2 2 …2 分 …6 分 …8 分 …12 分

(

)

[

[ [

] ]

[ [

] ]

(

)

]

(20)解: (Ⅰ)∵f (x)的定义域为 R,∴x2-2ax+1>0 对 x?R 恒成立, ∴?=4a2-4<0,解得-1<a<1. (Ⅱ)由 f (1)=1,得 a=0,f (x)=log2(x2+1), f(x)的值域为[0,+?),g(x)=-f(x),h(x)=f(x)(2m-f(x))=2mf(x)-[f(x)]2, …8 分 令 f (x)=t,h (x)转化为函数 y=2mt-t2=-(t-m)2+m2,t∈[0,+?), 当 m≤0 时,此函数在[0,+?)上单调递减,t=0 时,函数取最大值 0, 当 m>0 时,此函数在[0,m]上单调递增,在(m,+∞)上单调递减, t=m 时,函数取最大值 m2, ∴当 m≤0 时,h (x)的最大值为 0;当 m>0 时,h (x)的最大值为 m2. …12 分 …2 分 …5 分

(21)解: (Ⅰ)因为 f (x)=(m+2cos2x)cos(2x+θ)为奇函数, 而 y1=m+2cos2x 为偶函数,所以 y2=cos(2x+θ)为奇函数, ? 又 θ∈(0,?)得 θ= , 2 所以 f (x)=-sin 2x?(m+2cos2x). ? 由f =0,得-(m+1)=0,即 m=-1. 4 …2 分 …4 分

( )

…6 分 ? 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,f (x)=(2cos2x-1)cos 2x+ =cos 2x(-sin 2x) 1 =- sin 4x. 2

(

)
…8 分

∴f 4 -16 =- 2 sin α- 4 = 20 ,即 sin α- 4 =- 10 ,
π π π π 7 2 ? ,α- ∈ - , ,cos α- = , 2 4 4 4 4 10 tan α-1 1 1 3 π ∴tan α- =- ,即 =- , 解得 tan α= . 4 7 1+tan α 7 4 又 α∈ 0,

(α (

?

)

1

(

π

)

2

(

π

)

2

(

)

(

)

(

)

…10 分 …12 分

)

(22)解: ax+b -ax+b 2b (Ⅰ)由 f (x)+f (-x)=0,得 f (x)+f (-x)= 2 + = =0, x +1 (-x)2+1 x2+1 ∴b=0, …2 分 a 1 x 又 f (1)= = ,∴a=1,所以 f (x)= 2 . …4 分 2 2 x +1 (Ⅱ)任取 x1,x2∈[-1,1],且 x1<x2, 2 x1(x2 x1 x2 2+1)-x2(x1+1) (x2-x1)(x1x2-1) f (x1)-f (x2)= 2 - 2 = = 2 . 2 2 x1+1 x2+1 (x2+1)(x1+1) (x2+1)(x2 1+1) ∵x1,x2∈[-1,1],且 x1<x2,
2 ∴x2-x1>0,x1x2-1<0,(x2 2+1)(x1+1)>0,

…6 分

∴f (x1)-f (x2)<0,f (x1)<f (x2), ∴f (x)在[-1,1]是增函数. …8 分 1 x

t+1 x 1 x t (Ⅲ)f (x)= 2 ,f = = 2 =f (x),∴f =f , 2 x 1 t x +1 x +1 t+1 +1 x 2m t 已知转化为 f m <f 对任意的 t∈[1,+?)恒成立, 2 +1 t+1 2m t 又 0< m <1,0< <1,f (x)在[-1,1]上是增函数, 2 +1 t+1 m 2 t ∴ m < 对任意的 t∈[1,+?)恒成立, …10 分 2 +1 t+1 x 令 g (x)= ,易知 g (x)在(0,+?)上单调递增, x+1

(

( ) ) ( )

( )

(

) (

)

所以 2m<t 对任意的 t∈[1,+?)恒成立, 所以 2m<1,m<0,实数 m 的取值范围是(-?,0). …12 分


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