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湖南省邵阳市第一中学2016届高三数学上学期第一次月考试题 文


邵阳市一中高三第 1 次月考试题(文科数学)
时量 120 分钟 满 分 150 分

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出 的四个选项中, 只有一项是符合要求的. 1.集合 M ? {x | lg x ? 0} , N ? {x | x2 ? 4} ,则 M ? N ? A. (1, 2) B. [1, 2

) C. (1, 2] D. [1, 2]

2.下列命题中,真命题是 A. ?x0 ? R, e 0 ? 0
x

B. ?x ? R, 2 ? x
x

2

C. a ? b ? 0 的充要条件是

a ? ?1 b

D. a ? 1, b ? 1 是 ab ? 1 的充分条件

3.已知 a, b ? R , i 为虚数单位,若 a ? 1 ? bi ? A. 2 B. 3

2i ,则实数 a ? b ? 1? i
C. 4 D. 5

4.设 Sn 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 3S3 ? a4 ? 2 , 3S2 ? a3 ? 2 ,则公比 q ? A. 3 B. 4
0

C. 5

D. 6

5.已知向量 a 、 b 的夹角为 60 , a ? 1 , b ? 2 ,则 2a ? b ? A. 2 B. 2 2 C. 4 D. 8

6. 为了得到函数 y ? sin(2 x ?

?
3

) 的图像,只需把函数 y ? sin 2 x 的图像

? 个长度单位 3 ? C. 向左平移 个长度单位 6
A. 向左平移

? 个长度单位 3 ? D. 向右平移 个长度单位 6
B. 向右平移

7. 设 f ( x) ? x ? sin x ,则 f ( x)

A.既是奇函数又是减函数 C.是有零点的减函数

B.既是奇函数又是增函数 D.是没有零点的奇函数

8.“ a ? 1 ”是“函数 f ( x) ?| x ? a | ?b ( a, b ? R )在区间 ?1, ?? ? 上为增函数”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1

9.设函数 f ( x) ? ? A. [0, ??)

?21? x , x ? 1 ?1 ? log 2 x, x ? 1
B.

则满足 f ( x) ? 2 的 x 的取值范围是 C. [1, ??) D. ? ?1, 2?

?0, 2?

10.设函数 f ( x ) 的定义域为 R , f (?1) ? 2 ,对于任意的 x ? R , f ?( x) ? 2 , 则不等式 f ( x) ? 2 x ? 4 的解集为 A. (?1,1) B. ? ?1, ?? ? C. (??, ?1) D. (??, ??)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分. 11. 若幂函数 f ( x) 的图象经过点 A(4, 2) ,则它在 A 点处的 切线方程为 . .

12.如右图所示的算法流程图中,输出 S 的值为

13.若 ?ABC 中, AC ?

3 , A ? 450 , C ? 750 ,则 BC ? _______.

14.设 ???C 的内角 ? , ? , C 的对边分别为 a , b , c . 若 a ? 2 , c ? 2 3 , cos ? ?
2 2

3 , 且 b ? c ,则 b ? ________ 2

15. 过点 P(1,2) 作圆 x ? y ? 1 的两条切线,切点分别为 A, B , 则 PA ? PB = .

三、 解答题:本大题共 6 小题,满分 75 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? cos x ? sin x ? 2sin x cos x.
2 2

(1)求 f ( x ) 的最小正周期和单调递减区间; (2)求 f ( x )在[ ?

? ?

, ] 上的值域。 4 4

17.(本小题满 分 12 分)
2

已知函数 f ? x ? ? sin ?? x ? ? ? ? ? ? 0, ? ? (I) 求函数 f ? x ? 的解析式

? ?

??

? 的部分图象如图所示. 2?

π f ( x) ? sin(2 x ? ). 6

(II) 已知 ?ABC 的内角分别是 A,B,C, 若 f ? A ? ? 1, cos B ?

4 ,求sinC 的值. 5

4?3 3 10

18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax 2 ?

1 ,其中 a 为实数。 x

(1)根据 a 的不同取值,判断函数 f ( x) 的奇偶性,并说明理由; (2)若函数 f ( x) 在 [2,??) 上为增函数,求 a 的取值范围。

19.(本小题满分 13 分) 已知数列 {an } 是等差数列 , Sn是其前n项的和 ,且 a3 ? 5, S3 ? 9. (1)求 a n ; (2)若存在数列 {bn }, 使a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn ? 5 ? (2n ? 3)2n?1 对任意正整数 n 都成 立,求数列 {bn } 的前n项的和Tn .

20. (本小题满分 13 分)

已 知 数 列 ?a n ? 中 , a1 ? t (t为常数,t ? 0且t ? 1) , a 2 ? t

2

,当 n? N ,n ? 2 时,

?

a n ?1 ? (t ? 1)a n ? ta n ?1 . (1)求数列 ?a n ? 的通项公式;
3

(2) 设 t ? 2, 若 ? n ? N ? , A ? 求实数 A 、 B 的取值范围.

1 1 1 ? ??? ? B ,试 a 2 ? a1 a3 ? a 2 a n ?1 ? a n

21. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ?

( x ? 1) 2 . 2

(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的单调递增区间; (Ⅱ)证明:当 x ? 1 时, f ? x ? ? x ? 1 ; (Ⅲ) 确定实数 k 的所有可能取值, 使得存在 x0 ? 1 , 当 x ? (1, x0 ) 时, 恒有 f ? x ? ? k ? x ? 1? .

4

文科数学第一次月考参考答案 一、CDBBA DBAAB 二、11. x ? 4 y ? 4 ? 0 三、16.略 17.(I) 12.52 13. 2 14.2 15.

12 5

π f ( x) ? sin(2 x ? ). 6

(II)

4?3 3 10

18. (1)当 a ? 0 时, f ( x) ?

1 ,显然是奇函数; x

当 a ? 0 时, f (1) ? a ? 1 , f (?1) ? a ? 1 , f (1) ? f (?1) 且 f (1) ? f (?1) ? 0 , 所以此时 f ( x) 是非奇非偶函数. (2) a ?

1 16

19. (1) a n ? 2n ? 1

?1 n ? 1 ? (2)两式相减,得 n ? 2 时, bn ? 2n ,从而 bn ? ? ,求得 Tn ? 2 n?1 ? 3 ?2 n n ? 2 ?
20. (1) a n ? t
n

(2)若 t ? 2, 则

1 1 1 ? n ?1 ? n , n a n ?1 ? a n 2 ? 2 2
----9

1 1 (1 ? n ) 1 1 1 1 1 1 2 ? 1? 1 ? ??? ? ? 2 ??? n = 2 故 1 a 2 ? a1 a3 ? a 2 a n ?1 ? a n 2 2 2n 2 1? 2


1 1 1 随 n 的增大而增大, ? 1 ? n ? 1 , n 2 2 2 1 1 ( ? ?, ) , B ? [1, ? ?) 由已知应有 A ? , B ? 1 ,即 A ? 2 2
而1 ? 21. (Ⅰ)求函 数 f ? x ? 的单调递增区间; (Ⅱ)证明:当 x ? 1 时, f ? x ? ? x ? 1 ; (Ⅲ) 确定实数 k 的所有可能取值, 使得存在 x0 ? 1 , 当 x ? (1, x0 ) 时, 恒有 f ? x ? ? k ? x ? 1? . (Ⅰ) ? 0, ?

? 1? 5 ? ??,1? . ? ? ;(Ⅱ)详见解析;(Ⅲ) ? 2 ? ?
5

(I) f ? ? x ? ?

1 ? x2 ? x ? 1 , x ? ? 0, ?? ? . ? x ?1 ? x x

由 f ?? x? ? 0 得 ?

?x ? 0 ?? x ? x ? 1 ? 0
2

解得 0 ? x ?

1? 5 . 2

故 f ? x ? 的单调递增区间是 ? 0,

? 1? 5 ? . ? ? ? 2 ? ?

(II)令 F ? x ? ? f ? x ? ? ? x ? 1? , x ? ? 0, ?? ? . 则有 F? ? x ? ?

1 ? x2 . x

当 x ? ?1, ?? ? 时, F? ? x ? ? 0 , 所以 F ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递减, 故当 x ? 1 时, F ? x ? ? F ?1? ? 0 ,即当 x ? 1 时, f ? x ? ? x ? 1 . (III)由(II)知,当 k ? 1 时,不存在 x0 ? 1 满足题意. 当 k ? 1 时, 对于 x ? 1 , 有 f ? x ? ? x ? 1 ? k ? x ? 1? , 则 f ? x ? ? k ? x ? 1? , 从而不存在 x0 ? 1 满足题意. 当 k ? 1 时,令 G ? x ? ? f ? x ? ? k ? x ? 1? , x ? ? 0, ?? ? ,

? x 2 ? ?1 ? k ? x ? 1 1 则有 G ? ? x ? ? ? x ? 1 ? k ? . x x
由 G ? ? x ? ? 0 得, ? x ? ?1 ? k ? x ? 1 ? 0 .
2

解得 x1 ?

1? k ?

?1 ? k ?
2

2

?4

? 0 , x2 ?

1? k ?

?1 ? k ?
2

2

?4

? 1.

当 x ? ?1, x2 ? 时, G ? ? x ? ? 0 ,故 G ? x ? 在 ?1, x2 ? 内单调递增. 从而当 x ? ?1, x2 ? 时, G ? x ? ? G ?1? ? 0 ,即 f ? x ? ? k ? x ? 1? , 综上, k 的取值范围是 ? ??,1? .

6


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