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数学奥林匹克高中训练题


中 等 数 学

数母奥称吸危高宁诚稼题
中图分类号 文献标识码 文章编号 一 一 以 科 一

第一试
一、 选择题 每小题 分 , 共 分 把 四种不 同的颜 色分别 染在 正 四面体 的四个面上 , 可以作成 个彼此不 同的 积木
已知 函数

前无 项和为

、, 公 比 满足

笋 若 凡。

又 。 ·、。 则 , 瓮一
分别 随机取 一个 点 和

在半径分别为 和涯的两个同心圆上
则这 两点 间 的距


, ', 毛 蛋 〔

不大于 丫 下 的概率是
已知 是定 义 在 任 上的函数 若 , 且对任 意 , 满足 , ,


,` 、


一 一 时 ,




鉴 ,,




二 入大 ,



,


已知数 列
,

则 `' `方 程 一人 `。 “ 、一 二 冬 二 一 的 ”甲 实 一 数 解 ” 的 ” `个 ' 数


。满足

设 各 项 均 为实 数 的 等 比数 列 当
易知 ,

。的 ,

。 乏 一 ,

。 一 ,

,一一

任 ,

为腰 时 , 作


— 二争 石 门 二



轴 于点

,

由■ 刀 忍的 ■ 月 丑

三、 设 共写 出 了 …,

一 令 , ,令 ,个 ,号 , 连 续 的正整 数
丁二

,

从 中擦 去 了数 , 则 … 一



二 今

'

。、 产 声 、 , 二似 一 子”·


同理 当


晋 ”合`

`

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姚矛 ”
为底边 时 ,过


二, 二李 二

的中点 ` 作

土 二轴 于点 凡 由■ 刀 君的 ■ 摊 刀
二净 —

, 井乙 , 万 `几 蛋石 `万 劝 几 匕 。, 谷

由式 ①知
故 陈 迁 功

一 一定是

的倍数

所 以 , 擦去 的数是 湖 北省 黄 冈 市 沸水 县 余堰 中 湖 北 省 黄 冈市 谛 水县 学, 马学民

井 峨 一 李 鄂咐 鄂 , 幼 凡, 综上 , 满足 条件 的点 尸共有 三个

特 殊教 育学校 ,

0 1 2 2 年第



则 。习 。


二 、 一 二 与圆 则圆

分 求

过点 , 二产交 于

, 的直 线 、 两点 ,且

, 丫 丫 少

的半径


的最 小值 列

,一

, · ,

、 分别是正四面体 的棱 、 的 中点 则 平 面 和平 面 滩 忍 尸所 成 二 面角的余弦值是 二 、 解答 题 共 分 , 分 已知 是定义在实数集 上的函数 , 二 , 对任意 任 , 有 二 一 一 , ① ② 一 二 一 求 的值 分 在实数范围内解方程

三、 分 已知各 项均 为 整数 的无 穷 数 。 满足 刃 、 任 ,
,二 , , 。, , 产一 , ,

, 一 。,

尸, 一 , 一 右 产

,一

。, 一

,

, , ,… ,存 在 无

。 气一 ,一 趾二 一 从一 。 证 明 对任 何大 于 的正整 数

万 ,一 粤 一 二工 、 劣 一 劣
加分 设 、 、 是抛物 线 耘
、 都与抛物 也与 抛物 线 上相异 的三 点 若 直线 线 二 二 相切 , 证 明 直线

穷多个正整数

, 使得



四、 分 有 位 来 自不 同 国 家 的 代表 参加 一个 会 议 , 每位 代 表都 懂 得 若 干 种 语 言 已知其 中 任意 四位 代 表 之 间都 可 进 行

扩二 溯 切

交谈而不需要此 四位代 表 以外 的其他人 帮 助 , 即此四人 中的任意两人都能讲 同一种语 言而实现直接沟通 , 或者通过第 三个人 的翻 译 实 现 间接 沟 通 , 或 者 通过 他 们 各 自的 翻译 能讲的同一种语言实现低效的间接沟通 证 明 可 以将所 有代 表分 配住进 个房间 , 每 个房间住 人 , 使得 每个房 间的 交谈 人都 可以





一、 分 如 图 , 设 凸 四边 形 的 两组 对边 的延 长线 分别 交 于点 、 , 匕 的角 平 分 线 与 、 分 别 交 于点 、 , 匕 的角平分线 与 、 分 别交 于点 、 , 顺次 联结 、 、` 、 四点 , 在 的延长 线上 任取点 , 过 作 的平 行线 交 的 延 长线 于点 四边形 , 则 证 明 若 四边形 、孔 、 四点 共 圆 ` 是平 行

参 考 答 案
第 一 试
一 、

首先 把第 一种 颜色 染在 正 四面体 的一 个
面上 , 只有 种 方法 再 把剩下 的三种颜 色 染

在正 四面体剩 下 的 三个 面 上 ,有
种方 法 因此 , 总共 有 种方法 ,



易知 , 函数 的定义域和值域都是 区 间 【, 由 的图像 ,知 的定义域可 以划 分 为 个单调 区间 , 即当 在 〔 , 」 内跑 遍一 次 时 , 在 【 , 内跑 遍 次 进一 步归 纳得 出

中 等 数 学

人。 区间
一一 “ '

的定 义 域 可 以分 成

“ 个单调

由对称性 , 知所求概率为
,碑 描 稚。 ` 一 口通 , 二


因 此,人 `““ 。、一产 二 的 图 一 像 “ '与 `一 直 线, 冬 二 一 恰 '“

, 。, 。 以 ■口 月 。

有, 个 ' 交 点 `… ',一 即 '方 , `程 一人 `““ 。、一 二 产 令 '一的 ”碑 实 一 数
解 的个数 是 ”

注意 到 ,

一 拭 一 一 一
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一 一

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。, 得
一 丑 一 尹

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, 所以 , 介

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二 卫 二卫 竺二 工 二 生 三塑 一 石 几 一

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不 妨设 同心 圆的 圆心在 坐标原 点 ,设


一 ”一

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由递 推关 系得 。 。, '

其中 , 二 、 任

则 尸 鉴衬万 。 尸 护蛋
。 玩 卜涯哪 刃 孤 血刃 鉴

。 一

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中的正 方形 集合

。 二 一 ,二 一 睿

。 '“二 从 而 , 。 一。

则 凡二

一 习枕

一 习。 嵘

一一 ` 、


设 圆与 轴 的交 点为
一 , , , 则则 伪 月刀二匆 尸 脚口 因为 注 材 · 一 产一 , ,所 以 ,

扒。 一 ,二 粤 或 粤 感 二 一 , 。冬
` ` 呼

就是 图

中 的阴影部 分

易计算圆心
」 口 二两 二二 口 。 不万 涯 乙

' 二 ,厚 , 与 直线

了一

又 一 `· 譬 ',则

2 0 12

年第 期
,
一 二厂 十 下丁

产一

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矛 口 ,则


一 “一 口 '一 , 一 口

万 。一气 万二一

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设正四面体 的棱长为 , 平面 所成 二面 角 的大 小为 易知 , 过点 作 的平 行线

与平

币下 飞 石 而 了 丁 乒,
且方程 可化 为
, 少一 了,


和平面

几。 一

,且
所成二 面角 的棱 乙
“, 艺
, 一' 一

就是平 面
护` 一 一 ” 二 一 ` 或, 冬

易知 , 乙


二 艺


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二 , 夸, 二 冬。 二 冬
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一 三 生 一 二今 时

,

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故 。, 匕,


经 检验 , 原方 程 的根是

由三面角余弦定理得
乙 乙 · · 匕 艺 十 ·

,

一 ,
设 抛 物线 尸, ,一 ,


, 二 十 上相 异三 点为 。, 一 ,

, 产一 尹、。、 彼此不等 则 直线 的方 程 为

二 争合 · 病· 譬 · 亲 。
二 。幼 一
一 长育`



一叮 ,

少 一

一 。



少二 叮 一 却叮一 · 直线 与抛 物线 相切 。 关于 少二 扩 、 的方 程组 叮 一 却, 一 ,

,

厂 。 、

二、 ,在 、中 取 尤 二 争一百
十 二 一

匕践 ,得

二 一 , 于是 , 刃 二 刃 ,即 期 为 的 函数 故 仪 拓

` ,任 “, ,得 在 式 ② 中 取 争哥
是一个周
·

有 唯一实 数解

骨 关于 二 的方程 有 唯一 实数根
。 ■二



叮 一 却口
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“,' 。 ' ,。 一 专 ·
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与抛 物线 扩

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, , 二 。一 牛

·



,

的两个 根 由韦达 定理得

中 等 数 学

。 之 一 , ,。 , , 一 今




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一 不 一 不二

与抛 物线 扩 二 相 切




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,二 ,了 一。 , 少 一 一 · ,少



一、 联结 设 与郡 、 分别 交 于点 、 、

由直线 旦 鲤 望
户,



截 ■云 材` 分别得



,力


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它 刀

平 一

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·

两式相 除并 整理得
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, 作边 长
、 ,在

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再 由直 线 口 材、 ` 截 ■
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两式相 除并 整理得
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所 但 进以 由 而

丽 '丽

丽 '丽 ·

, , , 。。 , 。 刀百

,得 益 “益 '

刀 刀

牛, 普 时,孺。 二 “ 涯 万·
三、 考虑娜咧
, , ,

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, ,



,

一万

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。 的项 作成 的 四元数 组列
, , , …, 一

故 。 乙尸 刀 乙 由四边形 君 万`厅是平行 四边 形知
口 百

。。 , , 。, , , , , 。, 由分步计 数 原理 , 知用 , , …,

而乙





璐 匕口 忍 万二艺 口`刀

数组 因此 , 上 述

中的数至多 可以作成 耐 个彼此不同的四元 个 四元 数 组 构 成 的 , 十,氏 , 蕊
。一

由 故乙
所以 ,

, 得匕
二艺

二 艺

`

四元数 组列 中必有 相等 的 , 记为




, , , `, , ` ,, ,①
。 一 , 。 一 ,得

、 、 、 四点共 圆 、

其中 , 蛋

二 、 注意 到 ,

由 。

2012 年第



占 。 二占 。 一 。
锌 。 三 。一 。 ,
,二 `

。 一 。

。 一 以 」 ②



生成树 , 将该 树去 掉一 个悬 挂点 , 得 到三点 连
通 子图

。 一 。
。 ,一

·

再结合式 ① 得
于是 , 得 到 , , , , ,十 ,, ,, 十 ,,



引理
阶 子图 , `, , , , , , 十, 十 ,
, 一 ,



阶 图 ` 的任意 四阶子 图都

连通 ,则 ` 可 以按 顶点 划 分 为 两个 连 通 的 三 引理 的证 明 显 然 , ` 为连通 图

继续 这种 推理 最后 得 , , , 其 中 , 二卜 ,



考 虑 ` 的生成 树 若 , 由引理 若
挂点不 多 于

至少 有

个悬挂点







二 十一


知其 中存 在 三点组成 连 通 子 图 , 的悬
个 ,只

生成 树 去掉这 三点后 仍 连通 , 故结论 成立









锌 久二 补充 定义 。, , , 周 期数列 ,

。二 。二 则 , , , ·

有图

的 两种情 形 ,
回到原 题

均使 结论 成立 由引理

。 一

一叫 》

代卜 心



再结合式 ② , 知

。 是一个周期为
, 使得 。 。


,

, 选 出 四个人 , 其 中必 有 三人 可

所 以 ,存在无 穷多个正整数 即存在 无穷 多个 正整 数
引理 通子 图 引理 的证 明

交流 , 安排 同一 房 间 , 另 一 人 回到人 群 经 过


, 使得

四、 首先 证 明两个 引理
阶连 通 图 ` 中有 三 点 组 成 连 由 ` 的连 通性 知其存 在 致
我编辑部正在热销 以下出版物 。

次选 四人组 , 可在

个房间 可

中各 安排 三人 可 交 流 剩 下六 人 由引 理

分住两 个房 间 , 每个房 间各 三人 可交流
胡圣 团 湖 南省 遭县一 中 ,




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