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完全平方公式(1)-教学设计


1.8 完全平方公式(1) 教学设计
【教材分析】 本节内容是初中数学 (北师大版) 七年级下册第一章 《整式的运算》 中的——1.8 完全平方公式。 一、教材的地位和前后联系:完全平方公式是初中数学中的重要公式,在整个中 学数学中有着广泛的应用. 一方面完全平方公式这一教学内容是学生在已经学习单项式乘法、 多项式乘法及 平方差公式基础上的拓展, 是对多项式乘法中出现的

较为特殊的算式的一种归纳、 总 结;另一方面,又为学习《因式分解》《配方法》等知识奠定了基础,是进一步研究 《一元二次方程》《二次函数》 的工具性内容。 二、教材设计的思想方法: 教材按照学生的认知规律,从具体到抽象,由直观图形引导学生观察、实验、猜 测、 进而论证, 最后建立数学模型, 使学生对公式从感性认识、 直观认识到本质认识。 逐步培养学生的逻辑推理能力和建模思想。由此,本节课不仅有着广泛的实际应用, 而且起着承前启后的作用,它在本章中起着举足轻重的作用。 【学情分析】 1.认知基础:学生已学习了整式的概念、整式的加减、幂的运算、整式的乘法、 平方差公式, 这些基础知识的学习为本节课的学习奠定了基础。 但是对于几何图形如 何用代数来表示,从而表示图形的面积,学生会有一定困难,另外,在具体运用公式 时,学生的感性认识往往表现比较突出,一部分学生总是会出现 (a+b)2=a2+b2,(a-b)2=a2-b2 的问题,对公式中 a、b 的理解,对“和”“差”符号的区 别也会有些障碍。 2.活动经验基础:在平方差公式一节中,学生已经经历了探索与应用的过程,获得 了 一 些 数 学 活 动 的 经 验 , 培 养 了 一 定 的 符 号 感 和 推 理 能 力 。 3. 心理特征:初中阶段的学生逻辑思维能力、观察能力,记忆能力和想象能力都有 一定的局限性, 感性认识往往表现比较突出, 很多学生还是处于模仿学习的思维阶段, 但同时,这一阶段的学生好动,注意力易分散,爱发表见解,希望得到老师的表扬,

所以在教学中应抓住这些特点,一方面运用直观生动的图形,引发学生的兴趣,使他 们的注意力始终集中在课堂上;另一方面,发挥学生学习的主动性,要创造条件和机 会,让学生发表见解,在辨别中提高认识。 【教学目标】 1、知识与技能: 体会公式的发现和推导过程,了解公式的几何背景,理解公式的本质,会应用公 式进行简单的计算。 2、过程与方法: 通过让学生经历探索完全平方公式的过程, 培养学生观察、 发现、 归纳、 概括、 猜想等探究创新能力, 发展推理能力和有条理的表达能力。 培养学生的数形结合能力。 3、情感态度价值观: 体验数学活动充满着探索性和创造性,并在数学活动中获得成功的体验与喜 悦,树立学习自信心。 【教学重点】 1、 对公式的理解, 包括它的推导过程、 结构特点、 语言表述 (学生自己的语言) 、 几何解释。 2、会运用公式进行简单的计算。 【教学难点】 1、完全平方公式的推导及其几何解释。 2、完全平方公式的结构特点及其应用 【教学方法】 “探究式学习” 。 在教学中,突出学生的主动性、参与性,让学生通过观察特点——分析——归纳 总结——得出结论,初步掌握探究的学习方法。 【学法指导】 积极参与交流探讨,从学习中感受乐趣,及时地归纳总结、发现问题、解决问 题。 【教学课型】新授课 【课时安排】一课时

【教学过程】 一、 复习旧知、引入新知 设计说明 问题 1,2,3 的设置目的在于使学生回顾旧知识的同时引导学生回顾平方差公式 的学习过程, 为本节课的类比学习奠定基础。 而问题 4 的设置目的在于教师根据学生 的认知能力,预设到学生可能出现不同的结果。如:一部分学生得出: (1) (a+b)2 =a2+b2 (2) (a-b)2=a2-b2

一部分学生得出正确结果。不同的结果,可引发学生的争议和思考,可激发学生强烈 求知欲望,也为正确认识公式奠定了基础。这样,也创造机会,让学生发表见解,有 意识地培养学生有条理地思考和语言表达能力。 问题 1:请说出平方差公式,说说它的结构特点。 问题 2:平方差公式是如何推导出来的? 问题 3:平方差公式可用来解决什么问题,举例说明。 问题 4:想一想、做一做,说出下列各式的结果。 (1) (a+b)2 (2) (a-b)2

(此时,教师可让学生分别说说理由,并且不直接给出正确评价,还要继续激发 学生的学习兴趣。 ) 二.创设问题情境、探究新知 设计说明 (a+b)2 =a2+b2 (a-b)2=a2-b2 是学生学习完全平方公式时经常出现的问题,

并且很难以纠正,以下设置目的在于一方面通过让学生经历探索完全平方公式的过 程,培养学生观察、猜想、发现、归纳、概括等探究创新能力,发展推理能力和有条 理的表达能力。 一方面使学生对公式第一次就有充分的感性认识。 以免出现以上错误。 也能使学生体会到猜想感觉得到的不一定正确,需要验证。 一块边长为 a 米的正方形实验田,因需要将其边长增加 b 米,形成四块实验田, 以种植不同的新品种。 (如图) a b ⑴ 四块面积分别为: 、 、 、 ;

b

⑵ 两种形式表示实验田的总面积: ① 整体看:边长为 的大正方形,S= ; 。

a a b

a

②部分看:四块面积的和,S=

总结 :

通过以上探索你发现了什么?

问题 1:通过以上探索学习,同学们应该知道我们提出的问题 4 正确的结果是什么了 吧?
2 问题 2: 如果还有同学不认同这个结果,我们再看下面的问题,继续探索。 (a+b) 表

示的意义是什么?请你用多项式的乘法法则加以验证。 (教学过程中教师要有意识地提到猜想、 感觉得到的不一定正确, 只有再通过验 证才能得出真知,但还是要鼓励学生大胆猜想,发表见解,但要验证) 问题 3:你能说说(a+b)2=a2+2ab+b2 这个等式的结构特点吗?用自己的语言叙述。 (结构特点:右边是二项式(两数和)的平方,右边有三项,是两数的平方和加 上这两数乘积的二倍) 问题 4:你能根据以上等式的结构特点说出(a-b) 等于什么吗?请你再用多项式的 乘法法则加以验证。 总结:我们把(a+b)2=a2+2ab+b2 (a–b)2=a2–2ab+b2 称为完全平方公式。 问题:① ② 这两个公式有何相同点与不同点? 你能用自己的语言叙述这两个公式吗? (学生交流,教师归纳总结: ) 语言描述:两数和(或差)的平方等于这两数的平方和加上(或减去)这两数积 的2倍。 强化记忆:首平方,尾平方,首尾二倍放中央,和是加来差是减。 〈三〉 、例题讲解,巩固新知 例 1:利用完全平方公式计算 设计说明 利用例题讲解, 帮助学生学会如何正确应用公式, 使学生对公式的本质能清晰的
2

认识。并获得解题技巧。 (1) (2x-3)2 (2) (4x+5y)2 (3) (mn-a)2

解: (2x-3)2 =(2x)2 -2〃(2x)〃3+32 = 4x2-12x+9 (4x+5y)2 =(4x)2 +2〃(4x)〃(5y)+(5y)2 = 16x2+40xy+25y2

(mn-a)2 =(mn)2 -2〃(mn)〃a+a2 = m2 n2 - 2mna +a2 交流总结:运用完全平方公式计算的一般步骤 (1)确定首、尾,分别平方; (2)确定中间系数与符号,得到结果。 四、练习巩固 设计说明 使学生 亲身经历应用公式的过程, 加深学生对公式结构的掌握, 对公式本质的理解, 获取解题的技巧。 练习 1:利用完全平方公式计算 ① (2 x ? 3 y ) 2 ② (2 x ? 3 y ) 2 练习 2:利用完全平方公式计算 (1) (n+1)2 -n2 (2) ?ab ? 3x ??? 3x ? ab?
2

(3)(-2t-1)2

练习 3:求 ?x ? y ??x ? y ? ? ?x ? y ? 的值,其中 x ? 5, y ? 2 (练习可采用多种形式,学生上黑板板演,师生共同评价。也可学生独立完成 后,学生互相批改,力求使学生对公式完全掌握,如有学生出现问题,学生、 教师应及时帮助。 ) 五、变式练习 设计说明 本设计目的在于让学生自我评价, 是否完全掌握了本节知识, 进一步加深对知识的理 解。 1、下列计算是否正确?如不正确如何改正?

① (a ? b) 2 ? a 2 ? b 2 2、选择

② (a ? b) 2 ? a 2 ? b 2

(3) (a ? 2b) 2 ? a 2 ? 2ab ? 2b 2

(1)代数式 2xy-x2-y2=( A、 (x-y)2

) C、 (y-x)2 D、-(x-y)2

B、 (-x-y)2 )

(2) . (?a ? b) 2 等于( A. a 2 ? b 2

B. a 2 ? 2ab ? b 2

C. a 2 ? b 2

D. a 2 ? 2ab ? b 2 ) D. ab

(3) .若 a 2 ? ab ? b2 ? A ? (a ? b)2 ,那么 A 等于( A. ? 3ab B. ? ab C.0

六、畅谈收获,归纳总结 学生总结: 教师总结: 1、本节课我们又学习了乘法的完全平方公式: 2、我们在运用公式时,要注意以下几点: (1)公式中的字母 a、b 可以是任意代数式; (2)公式的结果有三项,不要漏项和写错符号。 (3)可能出现① (a ? b) 2 ? a 2 ? b 2 方差公式混在一起。 七、作业设置 习题 1.13 八、板书设计 1.8 完全平方公式(1) 1、复习旧知,引入新知 3、完全平方公式:
2 (a+b) =a2+2ab+b2

② (a ? b) 2 ? a 2 ? b 2 这样的错误。 也不要与平

知识技能

1、2 题

4、例题讲解 例1 强化记忆:

5、练习巩固 6、 变式练习 交流总结:

2、创设问题情境,探究新知 (a–b)2=a2–2ab+b2 【教后反思】

乘法公式的学习是学生在初中学习遇到的又一个难点. 因为公式代表的是一般形 式,具有很高的抽象性,一时不能理解公式里每个字母的含义。在实际应用中,有的 同学出现将平方差公式与完全平方公式混在一起的问题。

通过本节课的教学得到如下收获: (1)这节课倡导了以学生为主,教师为辅的思想,留足了一定的时间让学生去 发现探索、以及做练习,使学生逐步对公式进行认识和理解,这种教学方式,学生学 习效果明显,三维目标顺利达成。 (2)始终以问题引导学生学习,满足了学生的心里需求,激发了学生的学习兴趣。 (3)学生又一次体会了探究学习的方法。 下一步的要求: 学生还需要熟练掌握公式两种形式的使用方法, 以提高运算速度, 巩固完全平方 公式两种形式的应用。 为完全平方公式第二课时的实际应用和提高应用做好充分的准 备。


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