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双曲线知识点总结


双曲线知识点
指导教师:郑军 一、 双曲线的定义: 1. 第一定义: 到 两 个 定 点 F1 与 F2 的 距 离 之 差 的 绝 对 值 等 于 定 长 ( < |F1F2| ) 的 点 的 轨 迹 ( PF 1 ? PF 2 ? 2 a ? F1 F 2 ( a 为常数) 这两个定点叫双曲线的焦点. )
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要注意两点: (1)距离之差的绝对值.(2)2a<|F1F2|. 当|MF1|-|MF2|=2a 时,曲线仅表示焦点 F2 所对应的一支; 当|MF1|-|MF2|=-2a 时,曲线仅表示焦点 F1 所对应的一支; 当 2a=|F1F2|时,轨迹是一直线上以 F1、F2 为端点向外的两条射线; 当 2a>|F1F2|时,动点轨迹不存在.

2. 第二定义: 动点到一定点 F 的距离与它到一条定直线 l 的距离之比是常数 e(e>1)时,这个动点 的轨迹是双曲线 这定点叫做双曲线的焦点,定直线 l 叫做双曲线的准线
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二、

双曲线的标准方程:

x a y a

2 2

?

y b x b

2 2

? 1 (a>0,b>0)(焦点在

x 轴上);

2 2

2 2

?

? 1 (a>0,b>0)(焦点在

y 轴上);

1. 如果 x 2 项的系数是正数,则焦点在 x 轴上;如果 y 2 项的系数是正数,则焦点在 y 轴上. a 不一定大于 b. 2. 与双曲线
x a
2 2 2 2 2 2

?

y b

? 1 共焦点的双曲线系方程是 a x
2

x
2

? k

? b

y
2

?k

?1

3. 双曲线方程也可设为:

?
2

y

2

? 1( m n ? 0 )
2

m

n

例题: 已知双曲线 C 和椭圆

x

?

y

? 1 有相同的焦点, 且过 P (3, 4 )

点, 求双曲线 C 的

16

9

三、

轨迹方程。 点与双曲线的位置关系,直线与双曲线的位置关系: 1 点与双曲线: 点 P ( x 0 , y 0 ) 在双曲线
x a x a x a
2 2

?

y b y b y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 )

的内部 ?

x0 a

2 2

?

y0 b

2

2

?1

2 2

2 2

点 P ( x 0 , y 0 ) 在双曲线

?

? 1( a ? 0 , b ? 0 )

的外部 ?
2 2

x0 a

2 2

?

y0 b

2

2

?1

2 2

2 2

点 P ( x 0 , y 0 ) 在双曲线 2 直线与双曲线: (代数法) 设直线 l :
(b
2 2

?

? 1( a ? 0 , b ? 0 )

上?

x0 a

-

y0 b

2

2

=1

y ? kx ? m
2 2 2

,双曲线
2

x a
2

2 2

?

y b
2

2 2
2

? 1( a ? 0 , b ? 0 )

联立解得

? a k )x
m ?0

? 2 a mkx ? a m
b a ? k ? b a

?a b

? 0

1)

时, ?

直线与双曲线交于两点(左支一个点右支一个点) ;
? ? b a

k ?

b a

,k

,或 k 不存在时直线与双曲线没有交点;

2)

m ? 0

时,
?a k
2 2

k 存在时,

若b 2
k ? ?

? 0

b a

,直线与双曲线渐近线平行,直线与双曲线相交于一点;
2 2

若b2

?a k

? 0 , ? ? ( ? 2 a m k ) ? 4 ( b ? a k )( ? a m ? a b )
2 2 2 2 2 2 2 2 2

? 4 a b ( m ? b ? a k)
2 2 2 2 2

2

? ? 0 ? ?

时, m 2 2 0 时, m 时m2

?b ?a k
2 2 2 2

2 2

? 0 ?

?b ?a k
2 2 2

,直线与双曲线相交于两点; 0 ,直线与双曲线相离,没有交点;
? m ?b
2 2

? ? 0

?b ?a k

? 0

,k 2

a

2

直线与双曲线有一个交点;

3.

时,直线与双曲线没有交点; m ? a 或 m ? ? 直线与双曲线相交于两点; a 过定点的直线与双曲线的位置关系:
? m ? a

若 k 不存在, ? a

设直线 l :

y ? kx ? m

过定点 P ( x 0 , y 0 ) ,双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 )

1).当点 P ( x 0 , y 0 ) 在双曲线内部时:
? b a ? k ? b a

,直线与双曲线两支各有一个交点;

k ? ?
k ? b a

b a

,直线与双曲线渐近线平行,直线与双曲线相交于一点;
? ? b a
2

或k

或 k 不存在时直线与双曲线的一支有两个交点;

2).当点 P ( x 0 , y 0 ) 在双曲线上时:
k ? ?
? b a

b a

或k
b a

?

b x0 a y0
2

,直线与双曲线只交于点 P ( x 0 , y 0 ) ;

? k ?

直线与双曲线交于两点(左支一个点右支一个点) ;
? 0

k ?

b x0 a y0
2

2

( y0

)或

b a

? k ?

b x0 a y0
2

2

( y0

? 0

)或 k

? ?

b a

或 k 不存在,

直线与双曲线在一支上有两个交点; 当 y 0 ? 0 时,
k ? ?
k ? b a

b a

或 k 不存在,直线与双曲线只交于点 P ( x 0 , y 0 ) ;
? ? b a

或k

时直线与双曲线的一支有两个交点;

?

b a

? k ?

b a

直线与双曲线交于两点(左支一个点右支一个点) ;

3).当点 P ( x 0 , y 0 ) 在双曲线外部时: 当 P ? 0 , 0 ? 时,
? b a ? k ? b a

,直线与双曲线两支各有一个交点;
b a

k ?

b a

或k

?

或 k 不存在,直线与双曲线没有交点;

当点 m ? 0 时,
k ? ?
k ? ? b a

m ?b
2

2

a

2

时,过点 P ( x 0 , y 0 ) 的直线与双曲线相切

时,直线与双曲线只交于一点;

几何法:直线与渐近线的位置关系

例:过点 P (0 , 3) 的直线 l 和双曲线 C 四、 程。 双曲线与渐近线的关系: 1. 若双曲线方程为
x a
2 2

:x ?
2

y

2

? 1 ,仅有一个公共点,求直线 l

的方

4

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 )

?

渐近线方程:

x a y a

2 2

?

y b x b
x b
b a

2 2

? 0 ? y ??

b a

x

2 2

2 2

2. 若双曲线方程为

?

? 1 (a>0,b>0)

?

渐近线方程:

y a

2 2

2 2

?

? 0 y ? ?

a b

x

3. 若渐近线方程为 y
?

? ?
2 2

x ?
2 2

x a

?

y b

? 0

双曲线可设为
2 2

x a

?

y b

? ?

, ?

? 0

.

4. 若双曲线与

x a

?

y b

2 2

? 1 有公共渐近线

则双曲线的方程可设为 上) 双曲线与切线方程: 双曲线
x a
2 2

x a

2 2

?

y b

2 2

? ?

(?

? 0

,焦点在 x 轴上, ?

? 0

,焦点在 y 轴

五、 1.

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 )

上一点 P ( x 0 , y 0 ) 处的切线方程是

x0 x a
2

?

y0 y b
2

? 1.

2.

过双曲线
x0 x a
2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 )

外一点 P ( x 0 , y 0 ) 所引两条切线的切点弦方程是

?

y0 y b
2

? 1.
2 2 2 2

3. 六、

双曲线

x a

?

y b

? 1( a ? 0 , b ? 0 )

与直线 A x ?

By ? C ? 0

相切的条件是 A 2 a 2

?B b ?c
2 2

2

.

双曲线的性质: 标准方程(焦点在 x 轴) 标准方程(焦点在 y 轴)

双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 )

y a

2 2

?

x b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 )

第一定义:平面内与两个定点 F1 , F 2 的距离的差的绝对值是常数(小于

F1 F 2

)的

点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫焦距。
?M
MF 1 ? MF 2 ? 2 a ? ?2 a ? F1 F 2

?
y

P
F1

y

y
x

y

F2

x
x

F2

x

P 定义
F1

第二定义:平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离的比是常数 e ,当 e ? 1 时, 动点的轨迹是双曲线。定点 F 叫做双曲线的焦点,定直线叫做双曲线的准线,常数 e ( e ? 1 )叫做双曲线的离心率。 P
F1
y
y

y

P
x

P
x

y

F2
x

F2

x

P
F1

范围 对称轴

x ? a

,y?R

y ? a

,x? R

x

轴 , y 轴;实轴长为 2 a ,虚轴长为 2b

对 称 中 原点 O (0, 0 ) 心 焦 点 坐 标
F1 ( ? c , 0 ) F2 ( c , 0 ) F1 (0, ? c ) F 2 (0 , c )

焦点在实轴上, c

?

a ?b
2

2

;焦距:

F1 F 2 ? 2 c

顶 点 坐 ( ? a ,0) ( a ,0) 标 离心率
e ? c a (e ?
a
2

(0, ? a ,)
2 2

(0, a )

1),

c ? a ?b
2

, e 越大则双曲线开口的开阔度越大
y ? ? a
2

c c 准 线 方 程 准线垂直于实轴且在两顶点的内侧;两准线间的距离: 2 a

x ? ?

2

c

顶 点 到 顶点 A ( A )到准线 l ( l )的距离为 a ? 1 2 1 2 准 线 的 距离

a

2

c

顶点 A1 ( A 2 )到准线 l 2 ( l 1 )的距离为 a

2

? a

c

a 焦 点 到 焦点 F1 ( F 2 )到准线 l 1 ( l 2 )的距离为 c ? ? c 准 线 的 焦点 F1 ( F 2 )到准线 l 2 ( l 1 )的距离为 a ? c 距离
2

b

2

c

2

c

渐近线 方程 共 渐 近 线 的 双 曲 线 系 方程

y ? ?

b a

x

(虚 )


x ? ?

b a

y

(虚 )


x a

2 2

?

y b

2 2

? k

(k

? 0)

y a

2 2

?

x b

2 2

? k

(k

? 0



双曲线

x a
2

2 2

?

y b
2

2 2

? 1 与直线 y ? kx ? b

的位置关系:

直 线 和 双 曲 线 的位置

?x y ? 2 ? 2 ?1 利用 ? a 转化为一元二次方程用判别式确定。 b ? y ? kx ? b ?

二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。 相交弦 AB 的弦长 通径:
AB ? 1? k
2

( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2
2

A B ? y 2 ? y1

过 双 曲 线 上 一 点 的 切 线

x0 x a
2

?

y0 y b
2

y0 y

?1

或利用导数

a

2

?

x0 x b
2

?1

或利用导数

七、 弦长公式: 若直线
AB ?
y ? k x ? b 与圆锥曲线相交于两点

A、B,且 x1 , x 2 分别为 A、B 的横坐标,则

( x1 ? x 2 ) ? ( y 1 ? y 2 )
2

2

AB ?

k ? 1 x1 ? x 2 ?
2

k ?1
2

? x1 ?
1 k

x 2 ? ? 4 x1 x 2 ?
2

1? k

2

? |a|

,若 y 1 , y 2 分别为 A、B 的纵

坐标,则

AB ?

1 k
2

? 1 y1 ? y 2 ?

2

?1

? y1 ?

y 2 ? ? 4 y1 y 2
2


2

通径的定义:过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于 A、B 两点,则弦长 | 若弦 AB 所在直线方程设为 x
? k y ? b ,则 A B

AB | ?

2b a





1? k

2

y1 ? y 2



特别地, 焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后, 利用第二定义求解,

例:直线 y

? x ? 1 与双曲线

x

2

?

y

2

? 1 相交于 A , B

两点,则 AB =_____________

2

3

八、焦半径公式: 双曲线 当M 当M
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>0)上有一动点 M ( x 0 , y 0 )

( x 0 , y 0 ) 在左支上时 | M F1 | ? ? ex 0 ? a ( x 0 , y 0 ) 在右支上时 | M F1 |? ex 0 ? a

, | M F2

|? ? e x 0 ? a

, | M F2

|? e x 0 ? a

注:焦半径公式是关于 x 0 的一次函数,具有单调性,当 M
| M F 2 |? c ? a

( x 0 , y 0 ) 在左支端点时 | M F1 | ? c ? a
|? c ? a



,当 M

( x 0 , y 0 ) 在左支端点时 | M F1 | ? c ? a

, | M F2

九、等轴双曲线:
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>0)当 a ? b

时称双曲线为等轴双曲线;

则:1. a ? b ; 2.离心率 e ? 2 ; 3.两渐近线互相垂直,分别为 y= ? x ; 4.等轴双曲线的方程 x 2 ? y 2 ? ? , ? ? 0 ; 5. 等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项。 十、共轭双曲线: 1.定义:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共 轭双曲线,通常称它们互为共轭双曲线. 2.方程: 3.性质: 共轭双曲线有共同的渐近线; 共轭双曲线的四个焦点共圆. 它们的离心率的倒数的平方和等于 1。
x a
2 2

-

y b

2 2

? 1 (a>0;b>0)的焦点为 F 1 与 F 2

,且 p 为曲线上任意一点, ? F 1 PF 2

? 2?



则 ? PF 1 F 2 的面积 S

? b cot ?
? b
2

2

焦点三角形面积公式: S

? F1 PF 2

cot

?
2

, (? ? ? F 1 PF 2 )

双曲线 1. 点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角. 2. PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角, 则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直 径的圆,除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P 在右支;外切:P 在左支) 5. 若 P0 ( x 0 , y 0 ) 在双曲线
x0 x a
2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>0)上,则过 P0

的双曲线的切线方程是

?

y0 y b
2

? 1.

6. 若 P0 ( x 0 , y 0 ) 在双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>0)外
x0 x a
2

,则过 Po 作双曲线的两条切线切
? 1.

点为 P1、P2,则切点弦 P1P2 的直线方程是 7. 双曲线
x a
2 2

?

y0 y b
2

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>o)的左右焦点分别为

F1,F 2,点 P 为双曲线上任意一
? b co t
2

8. 点 ? F1 P F 2

??

,则双曲线的焦点角形的面积为 S ? F P F
1

?
2

.

2

9. 设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点,连 结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A2 为双曲线实轴上的顶点, A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF. 11. AB 是双曲线 则 K OM
?K

x a

2 2

?
2

y b

2 2

? 1(a>0,b>0) 的不平行于对称轴的弦, ( x 0 , y 0 ) M

为 AB 的中点,

AB

?

b x0 a y0
2

,即 K AB
x a
2 2

?

b x0 a y0
2

2

。 Po 所平分的中点弦的方程是

12. 若 P0 ( x 0 , y 0 ) 在双曲线
x0 x a
2

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>0)内,则被

?

y0 y b
2

?

x0 a

2

2

?

y0 b

2

2

.

13. 目 录 14. 双曲线知识点 .......................................... 错误!未定义书签。 15. 1 双曲线定义: ........................................ 错误!未定义书签。 16. 2.双曲线的标准方程: .................................. 错误!未定义书签。 17. 3.双曲线的标准方程判别方法是: ........................ 错误!未定义书签。 18. 4.求双曲线的标准方程 .................................. 错误!未定义书签。 19. 5.曲线的简单几何性质 .................................. 错误!未定义书签。 20. 6 曲线的内外部 ......................................... 错误!未定义书签。 21. 7 曲线的方程与渐近线方程的关系 ......................... 错误!未定义书签。 22. 8 双曲线的切线方程 ..................................... 错误!未定义书签。 23. 9 线与椭圆相交的弦长公式 ............................... 错误!未定义书签。 24. 高考题型解析 .......................................... 错误!未定义书签。 25. 题型一:双曲线定义问题 ................................ 错误!未定义书签。 26. 题型二:双曲线的渐近线问题 ............................ 错误!未定义书签。 27. 题型三:双曲线的离心率问题 ............................ 错误!未定义书签。 28. 题型四:双曲线的距离问题 .............................. 错误!未定义书签。 29. 题型五:轨迹问题 ...................................... 错误!未定义书签。 30. 高考例题解析 .......................................... 错误!未定义书签。 31. 练习题 ................................................ 错误!未定义书签。 32.
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