当前位置:首页 >> 数学 >>

一道2014年高考题的推广及变式


投稿邮 箱:  

曼 璺 :   Q  … … … … … … … 数 学教学通 讯( 中等教育 ) …………………………一 , 试 题研究 > 试 题探究  
锥 曲线有统一 的定义 。 因而它们 有很多 
—   ~  

c I   1 『  
+  
a   n c   l Xl   I

 

∞I   1 I  

∞I   l I一  

和谐统一 的性 质 . 通过类 比并借 助于几 
何 画板 的实 验探 究 . 发现双 曲线 也有类  似性质( 定理2 ) .   定理2 ( 如 图2) 设O 为原 点 . 若点 

( 0 <   ≤n ) .  

考查函熬  ) = l c  +   (   亡( o , 。 ] ) ,  
.  . 

a 

cx 

因  , (   ) : 一 C  
图1  

b ) :   ( c x + a b ) ( c x - a


A(  , Y   ) ( , ,   ≠0 ) 在 双 曲线 c:   一   =1   a  /  o 2


, 

当0  < 堕时  (   ) < 0>堕时  (   ) >  
,  

( n > O , 6 > 0 ) 上, 点  在射线z :   = ±  ( I y I >  
C 

设 点 A, B的 坐 标 分 别 为 (   。 , Y   ) ,  

C  

C 


, 所  (   ) 在 f o ,  1 上 是 减 函 数, 在   f   1 , 其 中   ≠ o , 因 为  _ 1 _ O B , 所 以   0
\   C /  
、   C /  


c:

、 /  

) 上, KO A   j _ O B,  

C  

(I) 直线A B 与圆0:   2 +  = 0   旧切 ;  

商: 0 , 即   。   。 +  , , 。 : 0 , 由此得  。 :  

f  , + 。 。 1 上 是 增 函 数 .  
\C   /  

( Ⅱ) 当l y , I :   时,  曰l I 有最小值 
C 

a b y g  


故 当  ≥ 口 .  
C  

CX I  

i ) 当   。 :   。 时 , 可 得 y   一擘 , 代 入 椭  
∞  

即6 ≥c 时, , (  ) 在  = n 时有最 小值 

I   Y  I /  

1 1 1 C  ̄ 方 程 解得 x o =  ̄ b .此 时 直 线A  的 方  程 为  = 士 6 . 显 然与 圆0 相切.  
i i ) 当   。 ≠   。 时, 直 线A  的 方程 为y 一  
1 ~  

, ( 。 ) :   ;当 6 ( c 时, , (   ) 在  :   时有最 
C   C  

小值 竺  2 b 上 述 结 论 也 可 由“ 对勾’ ’  


函数 的性 质 直接 得 到 .  
: 一  

. 

(   。 ) ,  

于是得到下面的定理 :  

C  

l — 0  

定理1 设0 为 原点. 若 点A(  , Y   )  
(   - ≠o ) 在 椭 圆c :   X 2
a-  

图2  

即( c y l 一  ) .  ̄ - C (   l  0 ) y + a b x 1 一 c x o y l =  
0.  

证明: ( I ) ( 只证点曰 在z   : : 堕( 『 y _ l >  
C  

吾 D 一   = 1 ( 。 > 6 > o ) 上 ,  
) 上 ,且 
) 上的情形 )  
C 

圆 心 0到 直 线 A B 的 距 离 d=  

I a b x l — c x o y l   J  
、 /   =  
因6   +   y l   :   6   ,   。 = 一a b y l c:=  

一  

点曰 在直线z : y = ±  ( c = 、 /   上O B.则 

设   的 坐 标 为 f  




y o

(I) 直线A B 与 圆0:  +   6 2 相切 ;  

) , 因 为  上  
: 0 .因  

cx 1  

( Ⅱ) 若b ≥ c , 则当 I  J = o 时, I A B l 有  最小值  ; 若6 < c , 则当I x , l =   时,I A B l  
C   C  

O B, 所 以 

.   : 0 , 即 

6   . 代 入 得 

d 

=  

l  警l l   l  
、 俪  
~    

xI   为  1 ≠O , 所 以  一 — a b


有最小值2 6 .  
评析: 显然 高考题 中的 文( Ⅱ) 只是  定理1 ( Ⅱ) b ≥c 的一种特殊情况 , 推 广后  题 目的解答要 用到 函数 思想、 分类整合 
思 想 、数 形 结 合 思 想及 模 型 思 想 ( “ 对 

c ) , l  

i) 当y 1 = y 0 时, 可得  。 : 一  

, 代 入 双 



曲 线 c 的 方 程 得 6 l 。 ( 一 誓)   一   =   。 , 变  
形得  一 a 2 ) ( c  +   ) = 0 , 因而有 一 a 2 =  
0 , 即y  ± 仉 此 时 直 线A 丑的 方程 为y = ± n ,   显 然 与 圆0:   =  相 切.  

、 厂  
猜 想 成 立.  

、 /  丽

 

户 丌 以 且 鼠 A  匈 I 亟 1   0:  ‘ +   =6   利 切 ,  

勾” 函数模型 ) , 可以考查更 多的知识点 ,   对学生的能力要求较 高.上述推广 可在 

对于文科( I I ) 一般 化 , 因为:  

教 师 引导 下 , 让 学生 自主探 究 , 以提 高  学生的探 究能 力 , 培 养创新 意识 . 从 而 

i i ) 当y J ≠y 0 时, 直 线A B的 方 程 为y 一  

} =  
+  + 

  一 警 )  =   培养学生学习数 学的兴趣.
= 

i - — — 

类 比 

即c ( y l   )   —c x l — a b ) y + c x t y o - a b y l =  
0,  

\ /   …  (   + 等 )=  类比胜于任何别的东西 , 它是我最可信 
赖的老师 ,它 能揭示 自然 界的秘 密 , 在 
=  

德 国天文 学家 开普 勒说 : “ 我 珍视 

圆 心 0 到 直 线 AB 的 距 离 d:  

l c  
、 /  

Y     l

几 何学 中它应 该是最 不容忽视 的.” 圆 

试 题 研 究> 试 题 探 究 ……一 …… …… ………一 数学教学通讯( 中等教育 ) ……………………  蹬 稿 由 『 5 霸:  l k   隧 
探究无止境 . 我 们 还 可 以 继 续 探 究 
= 一  

C:   + y   : l 上, 点B 在直线y :2  
4  j 

I  
,  

椭 圆 中与 圆 + y 2 = a 2 有 关 的 问题 . 双 曲线  
b   . 代 入 得 

中与圆 

= 6   有关 的问题等.  

且( M上 O B , 求l  曰 l 的最小值.  
变式4 : 设0 为原点 , 若点 A 存 椭 网c:  





 

差 
刮 c  
、   巧 

:  
…:  

) 变式 
所谓变式 教学 . 就 是 教 师 在 概 念 或 
±



r r 

y   : = l ( n > 6 > 0 ) 上, 点曰 在直 线 z : y =   b ‘  


例 习题 的教学 中 . 有 目的 、 有 汁 划 地 对 

“ 0( c :、 /  一 6  )上 二 } _ 1 . O A   j _ D B, 求 
C 

丑 一 
曲、 /  + y  
一 — —   ~  

命题进行 合理的转化 , 更换命 题 的非 本 

△O A   B 的面积的最小值.  
评析: 变式 3 与 原题 的 区别 是 , 原 题 

质特征 .变换问题 中的条件或结 论 , 转 
换 问 题 的 内 容 和 形 式 配 置 实 际 应 用 的 

=0.  

b = c , 此处b < c .变式4 将 定理 l ( n) 求l   曰l  
的 最 小 值 变 为 求 △O AB的 面 积 的 最 小  

、 /  

)  
。 相 切.  

环境 . 从而使 学生在学 习中学会举 一反 
三.下 面 只 给 f } J 定理1 的几 个 变 式 .  


所 以直 线  与 圆0:  

值. 似 乎没 有什 么区别 . 但 对 学 生 的 能 
2  


( 1 I   )   因   为   l A B I   =  

变式 1 : 设0 为 原点 , 过 椭  圆 c:  
2  


+ 

力要 求 更 高 了 . 求 解 时 首 先 要 将 问 题 转 
化 为原问题 . 这 样 更 能 区 分 不 同层 次 的 

( 亡  

1 v /  a b   - J  ̄ + ( - y   - y o )  
+ 

=  
= 

1 < 0 > 6 > 0 ) 上 任 一 点/ i ( 异 于椭 圆长 轴 

学生. 做 理科压轴题也足够 了.变式4 还  蕴涵 多种数 学思想方法 : 函数思想 . 求解 
时 .首 先 要将 △D A 曰 的 面 积 表 示 为某 参  数 的 函数 . 而 学 生 在 求 解 过 程 中 易忽 视 
函数 的 定 义域 . 而 这 恰 是 本 题 的 绝 妙 之 
处, 是 函数 思 想 的 本 质 ; 分 类整合思 想 ,  

b ‘  

端点 ) 作 圆 0:  +  = 6 z 的切 线 2 , 过点 0 作  o A的垂 线 交 直线 f 于 点 B.则 点 曰的轨 迹 

\ /  + y   ) ( 1 +   a 2   b 2   )=  
圳  
 ̄ -a 2 y   2 X


是直线  : ±  (   : 、 /   一  ) .  
C 

=  

变 式 2 : P J a  ̄ c : 芝 +  : 1 ( 0 > 6 >   a   b  
0 ) , O 为 坐标 原 点 ,过 直 线 f : y : ±  
C 

目标 函数 中的常量均 以字母给 出. 这是 
分类 整合的 一个信 号 : 化 归思想 . 把 求  三 角 形 面 积 的 最 小值 问 题 转 化 为 求 函 

b (  + l Y , y   l   )   n 2 ) { b + c c I 2 l 6 Y   。 + i   6  










 



c  + 。 2 6 。   b c I y     l

( 。 :  

詈 I y   I +   a l l 2 y b 1 _ l ( 1 y — I ≠ 0 ) ?  
由均值 不等式得 i A BI =   C  I y   I +  
0  

Va 2 _  ̄ )上任 意一点B 作 圆0:  +   2 = 6  
的切 线 . 交 椭 圆c 于点 A. 则0 A   J - O B .  
评析 : 变式 1 、 变 式2 是 定. 理1 (I) 的 

数 的 最 值 问题 : 数 形结 合 思想 . 求 解 过  程 中要 利 用 “ 对 勾” 函 数 图 象 研 究 函数  
性 质 .这 也 是 解 析 几 何 的 核 心 思 想 . 即 
几何 问题 代 数 化 .  

逆命题.对变式 1 还可作如下 变形 : ① 求  点口的轨 迹方 程 : ② 求 点日的轨迹 , 或 改 

≥2  
 I I  
最 小值 2 仉  

I Y l   l  ̄ 出 a 2 b l- z n , 当且仅 


为探究题 , 如③点曰 是否在一条定直线上 ,  
有 
C  

反 思 
许多数学题 目特别是 岛考题 . 都 蕴 
涵着 巨大潜 能 . 若 就题 论题  我 们 就 失  去了一次培 养学生数学 能 力的机会 . 尤  异于 “ 入 宝 山而   返 ” .解 完 题 后 . 对 题  目进 行 特 殊 化 、 类比、 一般化 , 挖掘题 目   蕴涵 的数 学思 想 力   法 以及题 E j 之 问 的  相互关系 . 从 不 同 的 角 度 对 题 目进 行 变  形. 这 对 优 化 学 生 的认 知 结 构 , 发 展 学  生 的 思 维 能 力 和创 新 意识 都 大有 裨 益 .  

l ,  

如 果是 . 求 出该 直 线 的 方程 , 如 果不是 ,  

请说 明理 由.变式2 的结论也可改 为: ① 
证 明 ̄ A ' AB 为 直 径 的 圆过 点 0:或 改 为 探 

评析: 仔 细观 察 定理 1 、 定理 2 的内   容 及 证 法 .就 会 发 现 它 们 是 那 样 的 和  谐, 那样 的对称 , 这 就 是 数 学 的 和 谐 之  美. 也 是 无数 数 学 家和 数 学 爱 好 者 孜 孜  
以 求 的 东 西.我 们 之 所 以 能得 到 上 述 结 

究性 问题 如② ] A A B为直径 的 圆是 否过  点0, 若是 , 请 予 以证 明, 若不是 , 请说 明   理 由.通过这样 的变形来训 练学 生数 学  
语 言相互转化 的能力 . 从 而 渗 透 化 归 转 
化 的数 学 思 想方 法.  

论. 也 多半是 受 到 它 的启 迪 .  

变式 3 :设 0 为 原 点 ,若 点A在 椭 圆 

f 上 接第 4 9页 )  

学 目的 . 问 题 的提 出 可 以采 取 不 同 的 特 

方式 的 提炼 并 不 是 终 点 .教 师 

在 今 

综上 所述 .对 于 高 中数学 教 师来 
说. 课 堂教 学 中的提 问环节 . 同 样 是 一 

点与方式.笔者总结概括 自身教学 中的 
实 际经 验 ,将 课 堂 提 问 划 分 为 悬 念 式 、  

后 的课 堂教 学过 程 中积极 运 用 斤创 新 
提问模 式 . 总结 其 所l 达 成 的效 果 , 小 断  发 展 完 善 数 学 教 学 中 的灵 活 提  方 式 .   让 高 中数 学教 学 的优 化 更 快 更好 .  

门值得仔细研究 的学 问.根据不 同的教 
学 阶段 、 内容 特 点 与 教 师 所 要 达 到 的教  

观察式 、 类 比式 、 辨析 式 、 发散式五种 形  式. 取得 了良好的教学效果.当然 . 这些 


相关文章:
一道高考题的变式训练
一道高考题的变式训练_数学_高中教育_教育专区。今日推荐 157份文档 2015...中医养生与保健 中医养生知识大全 女人养生之道120份文档 2014年细分行业研究报告...
一道浙江高考题的变式与推广
一道浙江高考题的变式与推广(上海市教科院实验中学 轩瑞升 201102) 04 浙江 15 题.设坐标平面内有一个质点从原点出发,沿x轴跳动,每次向正方向或负 方向跳1...
3道高考题及相应变式
3道高考题及相应变式_数学_高中教育_教育专区。高三物理试题 2015-5-15 1. ...2014年高考语文新课标I卷... 2014年高考语文北京卷真... 2014年高考理科数学...
一道不等式高考题的证明与推广
一道不等式高考题的证明与推广_职业规划_求职/职场_实用文档。一道不等式高考题的证明与推广 湖北省阳新县高级中学(435200)宋其武邹生书题目设 x≥1,y≥1, ...
一道高考题的探究.doc
下面就 2014 年江苏卷数 学一道高考题入手,谈谈...8 2 解法 1 的推广通法 { x ? x0 ? at b...[选修 4-4 坐标系与参数方程]变式 平面直角坐标...
2014年高考数学试题改编与详解
2014年高考数学试题改编与详解_高考_高中教育_教育专区。2014年高考数学试题改编(...将会体现的淋漓尽致,即将高考题的解法完全反映在题的 所有解法与变式探究之中...
一道高考试题的解答与拓展
一道高考试题的解答与拓展_职高对口_职业教育_教育专区。这是2014年湖南对口高考...二、延伸拓展 变式 1、已知椭圆 C: x2 ? y 2 ? 1 ,设 F1 、 F2 ...
2014年高考新课标全国一卷试卷分析
2014年高考新课标全国一卷试卷分析_高考_高中教育_教育专区。2014 年高考新课标...故此,研究高考试题,以高考试题为范例展开发散思维,变式演练,以主干知 识复习为...
一道2014年高考文科数学试题的探究(新修改稿)
一道2014年高考文科数学试题的探究(新修改稿)_高考_高中教育_教育专区。一道 ...2 3 . (5) y D A O C x B 四、变式 以下给出两道以对角互补的四边...
更多相关标签:
一道高考题答案的质疑 | 2014数学职高高考题 | 2014年高考题 | 2014高考题英语 | 2014年天津英语高考题 | 2014高考题 | 2014年广东数学高考题 | 2014年北京数学高考题 |