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导数练习题及答案



一、选择题(每小题只有一个选项是正确的,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的。) 1.已知某函数的导数为 y′=12(x-1),则这个函数可能是 A.y=ln1-x C.y=ln(1-x) B.y=ln11-x D.y=ln11-x ( D.-12 ( ) ) ( )

2.(2009?江西)设函数 f(x)=g(x)+x2,曲线 y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为 y=2x+ 1,则曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为 A.4 B.-14 C.2

3.(2009?辽宁)曲线 y=xx-2 在点(1,-1)处的切线方程为 A.y=x-2 B.y=-3x+2 C.y=2x-3 D.y=-2x+1

4.曲线 y=ex 在点(2,e2)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为 ( A.94e2 B.2e2 C.e2 D.e22

) )

5. 已知函数 y=f(x), y=g(x)的导函数的图象如图, 那么 y=f(x), y=g(x)的图象可能是( 6.设 y=8x2-lnx,则此函数在区间(0,14)和(12,1)内分别 A.单调递增,单调递减 B.单调递增,单调递增 C.单调递减,单调递增 D.单调递减,单调递减 7.下列关于函数 f(x)=(2x-x2)ex 的判断正确的是 ①f(x)>0 的解集是{x|0<x<2}; ②f(-2)是极小值,f(2)是极大值; ③f(x)没有最小值,也没有最大值. A.①③ B.①②③ C.② D.①② 8.已知 f(x)=-x3-x,x∈[m,n],且 f(m)?f(n)<0,则方程 f(x)=0 在区间[m,n]上( A.至少有三个实根 A.-1<a<2 A.2033cm 为 ( B.至少有两个实根 C.有且只有一个实根 D.无实根 9.已知函数 f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1 有极大值和极小值,则实数 a 的取值范围是( B.-3<a<6 C.a<-3 或 a>6 D.203cm D.a<-1 或 a>2 ) 10.要做一个圆锥形漏斗,其母线长为 20cm,要使其体积最大,其高应为 ( B.100cm ) B.(-1,2) C.(1,2) D.(0,2) ( ) C.20cm ( ) ( )

) )

11.(2010?河南省实验中学)若函数 f(x)=(2-m)xx2+m 的图象如图所示,则 m 的范围 A.(-∞,-1)

12.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(4)=1.f′(x)为 f(x)的导函数,已知函数 y=f′(x)的图象如图 所示.若两正数 a,b 满足 f(2a+b)<1,则 b+2a+2 的取值范围是 A.(13,12) B.(-∞,12)∪(3,+∞) C.(12,3) D.(-∞,-3) 二、填

空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请将答案填在题中的横线上。) 13.(2009?武汉模拟)函数 y=xln(-x)-1 的单调减区间是________. 14.已知函数 f(x)=x3-12x+8 在区间[-3,3]上的最大值与最小值分别为 M,m,则 M- m=________. 15.(2009?南京一调)已知函数 f(x)=ax-x4,x∈[12,1],A、B 是其图象上不同的两点.若 直线 AB 的斜率 k 总满足 12≤k≤4,则实数 a 的值是________. 16.(2009?淮北模拟)已知函数 f(x)的导数 f′(x)=a(x+1)?(x-a),若 f(x)在 x=a 处取到极大

值,则 a 的取值范围是________.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。) 17.(本小题满分 10 分)设 a 为大于 0 的常数,函数 f(x)=x-ln(x+a). (1)当 a=34,求函数 f(x)的极大值和极小值; (2)若使函数 f(x)为增函数,求 a 的取值范围. 18.(本小题满分 12 分)已知函数 y=f(x)=lnxx. (1)求函数 y=f(x)的图象在 x=1e 处的切线方程; (2)求 y=f(x)的最大值; (3)设实数 a>0,求函数 F(x)=af(x)在[a,2a]上的最小值. 19.(本小题满分 12 分)设 a>0,函数 f(x)=x-ax2+1+a. (1)若 f(x)在区间(0,1]上是增函数,求 a 的取值范围; (2)求 f(x)在区间(0,1]上的最大值. 20.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=1+ln(x+1)x.(x>0) (1)函数 f(x)在区间(0,+∞)上是增函数还是减函数?证明你的结论; (2)若当 x>0 时,f(x)>kx+1 恒成立,求正整数 k 的最大值. 21.(2009?天津)(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=(x2+ax-2a2+3a)ex(x∈R),其中 a∈ R. (1)当 a=0 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率; (2)当 a≠23 时,求函数 f(x)的单调区间与极值. 命题意图:本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极 值等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法. 22.(2010?保定市高三摸底考试)(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=lnxx+ax-1(a∈R) (1)求函数 f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程; (2)若 f(x)≤0 在区间(0,e2]上恒成立,求实数 a 的取值范围.

答案:
一、1 答案:A 解析:对选项求导.(ln1-x)′=11-x(1-x)′=11-x?12(1-x)-12?(-1)=12(x-1). 2 答案:A 解析:f′(x)=g′(x)+2x. ∵y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为 y=2x+1, ∴g′(1)=2,∴f′(1)=g′(1)+2×1=2+2=4, ∴y=f(x)在点(1,f(1))处切线斜率为 4. 3 答案:D 解析:y′=(xx-2)′=-2(x-2)2, ∴k=y′|x=1=-2. l:y+1=-2(x-1),则 y=-2x+1. 4 答案:D 解析:∵y′=ex,∴y=ex 在点(2,e2)的导数为 e2. ∴y=ex 在点(2,e2)的切线方程为 y=e2x-e2. y=e2x-e2 与 x 轴、y 轴的交点分别为(1,0)和(0,-e2),∴S=12×1×e2=e22. 5 答案:D 解析:由题意知函数 f(x),g(x)都为增函数,当 x<x0 时,由图象知 f′(x)>g′(x),即 f(x)的增长速度大于 g(x)的增长速度;当 x>x0 时,f′(x)<g′(x),g(x)的增长速度大于 f(x)的增长速度,数形结合, 6 答案:C 解析:y′=16x-1x. 当 x∈(0,14)时,y′<0,y=8x2-lnx 为减函数; 当 x∈(12,1)时,y′>0,y=8x2-lnx 为增函数. 7 答案:D 解析:由 f(x)>0?(2x-x2)ex>0?2x-x2>0?0<x<2,故①正确; f′(x)=ex(2-x2),由 f′(x)=0 得 x=± 2, 由 f′(x)<0 得 x>2 或 x<-2, 由 f′(x)>0 得-2<x<2, ∴f(x)的单调减区间为(-∞,-2),(2,+∞). 单调增区间为(-2,2). ∴f(x)的极大值为 f(2),极小值为 f(-2),故②正确. ∵x<-2 时,f(x)<0 恒成立. ∴f(x)无最小值,但有最大值 f(2). ∴③不正确. 8 答案:C 9 答案:C 解析:由于 f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1,有 f′(x)=3x2+2ax+(a+6). 若 f(x)有极大值和极小值, 则 Δ=4a2-12(a+6)>0, 从而有 a>6 或 a<-3 10 答案:A 解析:设高为 h,则半径为 202-h2, 体积 V=13πr2h=13π(202-h2)?h =-13πh3+2023πh(0<h<20),

V′=-πh2+2023π. 令 V′=0,得 h=2033 或 h=-2033(舍去), 即当 h=2033 时,V 为最大值. 11 答案:C 解析:f′(x)=(x2-m)(m-2)(x2+m)2=(x-m)(x+m)(m-2)(x2+m)2 由图知 m-2<0,且 m>0,故 0<m<2, 又 m>1,∴m>1,因此 1<m<2 12 答案:C 解析:由 y=f′(x)的图象知,当 x<0 时,f′(x)<0,函数 f(x)是减函数;当 x>0 时,f′(x) >0,函数 f(x)是增函数;两正数 a,b 满足 f(2a+b)<1,f(4)=1,点(a,b)的区域为 图中的阴影部分(不包括边界),b+2a+2 的意义为阴影部分的点与点 A(-2,-2)连线 的斜率,直线 AB、AC 的斜率分别为 12、3,则 b+2a+2 的取值范围是(12,3) 二、13 答案:(-1e,0) 14 答案:32 解析:令 f′(x)=3x2-12=0,得 x=-2 或 x=2, 列表得: x -3 (-3,-2) -2 (-2,2) 2 (2,3) 3f′(x) + 0 - 0 + f(x) 17 ? 极值 24 ? 极值-8 ? -1 可知 M=24,m=-8,∴M-m=32. 15 答案:92 解析:f′(x)=a-4x3,x∈[12,1],由题意得 12≤a-4x3≤4,即 4x3+12≤a≤4x3+4 在 x∈[12,1]上恒成立,求得 92≤a≤92,则实数 a 的值是 92. 16 答案:(-1,0) 解析:结合二次函数图象知,当 a>0 或 a<-1 时,在 x=a 处取得极小值, 当-1<a<0 时,在 x=a 处取得极大值,故 a∈(-1,0). 三、17 解析:(1)当 a=34 时,f′(x)=12x-1x+34, 令 f′(x)=0,则 x-2x+34=0,∴x=94 或 14, 当 x∈[0,14]时,f′(x)>0,当 x∈(14,94),f′(x)<0, 当 x∈(94,+∞)时,f′(x)>0, ∴f(x)极大值=f(14)=12,f(x)极小值=f(94)=32-ln3. (2)f′(x)=12x-1x+a,若 f(x)为增函数,则当 x∈[0,+∞)时,f′(x)≥0 恒成立, ∴12x≥1x+a,即 x+a≥2x, 即 a≥2x-x=-(x-1)2+1 恒成立, ∴a≥1. 18 解析:(1)∵f(x)定义域为(0,+∞),∴f′(x)=1-lnxx2 ∵f(1e)=-e,又∵k=f′(1e)=2e2, ∴函数 y=f(x)的在 x=1e 处的切线方程为: y+e=2e2(x-1e),即 y=2e2x-3e. (2)令 f′(x)=0 得 x=e. ∵当 x∈(0,e)时,f′(x)>0,f(x)在(0,e)上为增函数, 当 x∈(e,+∞)时,f′(x)<0,则在(e,+∞)上为减函数, ∴fmax(x)=f(e)=1e. (3)∵a>0,由(2)知: F(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减.

∴F(x)在[a,2a]上的最小值 f(x)min=min{F(a),F(2a)}, ∵F(a)-F(2a)=12lna2, ∴当 0<a≤2 时,F(a)-F(2a)≤0,fmin(x)=F(a)=lna. 当 a>2 时,F(a)-F(2a)>0,f(x)min=f(2a)=12ln2a. 19 解析:(1)对函数 f(x)求导数,得 f′(x)=1-axx2+1. 要使 f(x)在区间(0,1]上是增函数,又要 f′(x)=1-axx2+1≥0 在(0,1]上恒成立, 即 a≤x2+1x=1+1x2 在(0,1]上恒成立. 因为 1+1x2 在(0,1]上单调递减, 所以 1+1x2 在(0,1]上的最小值是 2. 注意到 a>0,所以 a 的取值范围是(0,2]. (2)①当 0<a≤2 时,由(1)知,f(x)在(0,1]上是增函数, 此时 f(x)在区间(0,1]上的最大值是 f(1)=1+(1-2)a. ②当 a>2 时,令 f′(x)=1-axx2+1=0, 解得 x=1a2-1∈(0,1). 因为当 0<x<1a2-1 时,f′(x)>0; 当 1a2-1<x<1 时,f′(x)<0, 所以 f(x)在(0,1a2-1)上单调递增,在(1a2-1,1)上单调递减. 此时 f(x)在区间(0,1]上的最大值是 f(1a2-1)=a-a2-1. 综上所述,当 0<a≤2 时,f(x)在区间(0,1]上的最大值是 1+(1-2)a; 当 a>2 时,f(x)在区间(0,1]上的最大值是 a-a2-1. 20 解析:(1)f′(x)=1x2[xx+1-1-ln(x+1)]=-1x2[1x+1+ln(x+1)]. 由 x>0,x2>0,1x+1>0,ln(x+1)>0,得 f′(x)<0. 因此函数 f(x)在区间(0,+∞)上是减函数. (2)解法一:当 x>0 时,f(x)>kx+1 恒成立,令 x=1 有 k<2[1+ln2]. 又 k 为正整数.则 k 的最大值不大于 3. 下面证明当 k=3 时,f(x)>kx+1(x>0)恒成立. 即证明 x>0 时(x+1)ln(x+1)+1-2x>0 恒成立. 令 g(x)=(x+1)ln(x+1)+1-2x, 则 g′(x)=ln(x+1)-1. 当 x>e-1 时,g′(x)>0;当 0<x<e-1 时,g′(x)<0. ∴当 x=e-1 时,g(x)取得最小值 g(e-1)=3-e>0. ∴当 x>0 时,(x+1)ln(x+1)+1-2x>0 恒成立. 因此正整数 k 的最大值为 3. 解法二:当 x>0 时,f(x)>kx+1 恒成立. 即 h(x)=(x+1)[1+ln(x+1)]x>k 对 x>0 恒成立. 即 h(x)(x>0)的最小值大于 k. 由 h′(x)=x-1-ln(x+1)x2,记 Φ(x)=x-1-ln(x+1).(x>0) 则 Φ′(x)=xx+1>0, ∴Φ(x)在(0,+∞)上连续递增. 又 Φ(2)=1-ln3<0,Φ(3)=2-2ln2>0, ∴Φ(x)=0 存在惟一实根 a,且满足:a∈(2,3),a=1+ln(a+1), 由 x>a 时,Φ(x)>0,h′(x)>0;0<x<a 时,Φ(x)<0,h′(x)<0 知: h(x)(x>0)的最小值为 h(a)=(a+1)[1+ln(a+1)]a=a+1∈(3,4). 因此正整数 k 的最大值为 3. 21 解析:(1)当 a=0 时,f(x)=x2ex,f′(x)=(x2+2x)ex,故 f′(1)=3e. 所以曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为 3e.

(2)f′(x)=[x2+(a+2)x-2a2+4a]ex. 令 f′(x)=0,解得 x=-2a,或 x=a-2. 由 a≠23 知,-2a≠a-2. 以下分两种情况讨论. ①若 a>23,则-2a<a-2,当 x 变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表: x (-∞-2a), -2a (-2a,a-2) a-2 (a-2,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) ? 极大值 ? 极小值 ? 所以 f(x)在(-∞,-2a),(a-2,+∞)内是增函数, 在(-2a,a-2)内是减函数. 函数 f(x)在 x=-2a 处取得极大值 f(-2a),且 f(-2a)=3ae-2a. 函数 f(x)在 x=a-2 处取得极小值 f(a-2),且 f(a-2)=(4-3a)ea-2. ②若 a<23,则-2a>a-2.当 x 变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表: x (-∞,a-2) a-2 (a-2,-2a) -2a (-2a,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) ? 极大值 ? 极小值 ? 所以 f(x)在(-∞,a-2),(-2a,+∞)内是增函数,在(a-2,-2a)内是减函数. 函数 f(x)在 x=a-2 处取得极大值 f(a-2),且 f(a-2)=(4-3a)ea-2. 函数 f(x)在 x=-2a 处取得极小值 f(-2a),且 f(-2a)=3ae-2a. 22 解析:(1)因为函数 f(x)的定义域为(0,+∞),导函数 f′(x)=1-(lnx+a)x2, ∴k=f′(1)=1-a, 又 f(1)=a-1,即切点坐标为(1,a-1), 所以,函数 f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为: y-(a-1)=(1-a)(x-1),即 y=(1-a)x+2(a-1). (2)结合(1),令 f′(x)=0 得 x=e1-a,由对数函数的单调性知: 当 x∈(0,e1-a)时,f′(x)>0,f(x)是增函数; 当 x∈(e1-a,+∞)时,f′(x)<0,f(x)是减函数. (ⅰ)当 e1-a<e2 时,a>-1 时,f(x)max=f(e1-a)=ea-1-1, 令 ea-1-1≤0,解得 a≤1,即-1<a≤1, (ⅱ)当 e1-a≥e2 即 a≤-1 时,f(x)在(0,e2]上是增函数, ∴f(x)在(0,e2]上的最大值为 f(e2)=2+ae2-1, 令 2+ae2-1≤0,解得 a≤e2-2,即 a≤-1, 综上可知,实数 a 的取值范围是 a≤1.


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