当前位置:首页 >> 数学 >>

江苏省高邮市界首中学2013届高三数学第三次模拟考试试题苏教版


界首中学 2013 届高三第三次模拟试卷
(总分 160 分,考试时间 120 分钟) 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分。不需写出解题过程,请把答案写在 答题纸的指定位置上。 1、若 z1 ? a ? 2i, z2 ? 3 ? 4i ,且

z1 为纯虚数,则实数 a ? z2



解析:

8 z1 a ? 2i (a ? 2i )(3 ? 4i) (3a ? 8) ? (4a ? 6)i 为纯虚数,故得 a ? . ? ? ? 3 z2 3 ? 4i (3 ? 4i)(3 ? 4i) 25

2 2、 设集合 A ? x x ? x ? 12 ? 0 , B ? x y ? lg( x ? 2)

?

?

?

?

, A? B ? 则
频率 组距

. (2,3)

3、某市高三数学抽样考试中,对 90 分及其以上的成绩情况进行统计,其频率 分布直方图如右下图所示,若 (130,140]

0.045

0.025
分数段的人数为 90 人,则 (90,100] 分数 段的人数为 .

0.015 0.010 0.005
90 100 110
120

130 140 分数

解析:根据直方图,组距为 10 ,在 (130,140] 内的

频率 ? 0.005 ,所以频率为 0.05 ,因为 组距

此区间上的频数为 90 ,所以这次抽考的总人数为 1800人 .

频率 ? 0.045 ,所以频率为 0.45 ,设该区间的 组距 x ? 0.45 ,得 x ? 810 ,即 (90,100] 分数段的人数 人数为 x ,则由 1800 为 810 . ?x ? y ? 0 ? 4、已知在平面直角坐标系中,不等式组 ? x ? y ? 4 ? 0 表示的平面区域 ?x ? a ?
因为 (90,100] 内的 面积是 9,则常数 a 的值为_________.1 5、已知一颗骰子的两面刻有数字 1,两面刻有数字 2,另两面刻有数字 3, 现将骰子连续抛掷 3 次,则三次的点数和为 3 的倍数的概率为______.

1 3

6、已知某算法的流程图如右图所示,则输出的最后一个数组为_________.

?81, ?8?

7、设等比数列 {an } 的公比为 q ,前 n 项和为 Sn .则“ | q | ?

2 ”是“ S6 ? 7S2 ”的

(充分而不必要条件、必要而不充分条件、充分必要条件或既不充分也不必要条件) 充分而不必要条件 8、如图所示的“双塔”形立体建筑,已知 P ? ABD 和 Q ? CBD 是两个高相等 P

Q
1

D

的正三棱锥, 四点 A, B, C , D 在同一平面内.要使塔尖 P, Q 之间的距离为 50 m,则底边 AB 的长为 m.
50 3

【解析】由正三棱锥的概念知,顶点 P, Q 在底面的射影分别是 正三角形 ABD 和正三角形 BCD 的中心, 因为高相等,所以塔尖 P, Q 之间的距离即为两个正三角形中心间的距离, 由平面几何易知,底边 AB 的长为 50 3 .

9、 若椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、 右焦点分别为 F 、 2 , 线段 F1F2 被抛物线 y 2 ? 2bx 1 F a 2 b2


3 的焦点分成 5:两段,则此椭圆的离心率为

b ? b c 2 5 ?3( ? c) ? 5(c ? ) 解析:根据题意,可得 ? 2 . 2 ,解得 e ? ? a 5 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ?
10、若实数 x 、 y 满足 4 ? 4 ? 2
x y x ?1

? 2 y ?1 ,则 S ? 2x ? 2 y 的最大值是



.4

11. 已知直线 x=a(0<a<

π )与函数 f(x)=sinx 和函数 g(x)=cosx 的图象分别交于 M,N 2 ▲ 7 . 10 若对任意的 x ? [a, a ? 2] x, -4

1 两点,若 MN= ,则线段 MN 的中点纵坐标为 5

12、 f (x) 是定义在 R 上的奇函数, 设 且当 x ? 0 时, f ( x) ? 不等式 f ( x ? a ) ?

3 f ( x) 恒成立,则 a 的最大值为



13.如图,两射线 AM , AN 互相垂直,在射线 AN 上取一点 B 使 AB 的长为定值 2a ,在射 线 AN 的左侧以 AB 为斜边作一等腰直角三角形 ABC .在射线 AM , AN 上各有一个动点

? ? ?? ? ? ?? D, E 满 足 ?A D E与 ?ABC 的 面 积 之 比 为 3 : 2, 则 C D? E D 取 值 范 围 为 的
________________.
N B E C

?5a 2 , ?? ? ?

A

D

M

2

14 . 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x ) 和 g ( x) 满 足 g ( x) ? 0, f ' ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ' ( x) ,

f ( x) ? a x ? g ( x ) ,

f (1) f (?1) 5 f ( n) ,则使数列 {an } 的前 n 项和 Sn 超过 ? ? .令 an ? g (1) g (?1) 2 g ( n)

15/16 的最小自然数 n 的值为 .5 解题探究: 本题主要考查函数与导数以及等比数列的定义、 通项公式与前 n 项和公式等基础 知识,考查运算能力以及灵活地运用所学知识分析问题、解决问题的能力.求解本题,关键 在于根据题设条件求出 a 的值,从而得到数列 {an } 的通项公式. 解析:∵ f ( x) ? a x ? g ( x) ,且 g ( x) ? 0 ,∴ a ?
x

f ( x) f (1) f (?1) 1 5 ,从而有 ? ?a? ? , g ( x) g (1) g (?1) a 2

又 (a x )' ?

1 1 n f ( x) f ( x) g ( x) ? f ( x) g ' ( x) 为减函数,于是得 a ? ,an ? ( ) , ? 0 ,知 a x ? 2 2 2 g ( x) g ( x) 1 1 2 1 3 1 4 15 ?( ) ?( ) ?( ) ? ,故得使数列 {an } 的前 n 项和 Sn 超过 2 2 2 2 16

由于 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ?

........ 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 已知锐角 ?ABC 中的三个内角分别为 A, B, C .
??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ⑴设 BC ? CA ? CA ? AB ,求证 ?ABC 是等腰三角形;

15 的最小自然数 n ? 5 . 16

? ? ? ? C 12 ⑵设向量 s ? 2sin C, ? 3 , t ? (cos 2C,2cos2 ? 1) ,且 s ∥ t ,若 sin A ? , 2 13

?

?

求 sin( ? B) 的值. 3

?

3

1 6. (本小题满分 14 分) 在直三棱柱 ABC? A1 B1C1 中,AC=4,CB=2,AA1=2, ?ACB ? 60 ,E、F 分别是 A1C1 , BC 的中点. E A1 (1)证明:平面 AEB ? 平面 BB1C1C ;
?

C1

(2)证明: C1 F // 平面 ABE; (3)设 P 是 BE 的中点,求三棱锥 P ? B1C1 F 的体积. 16.(1)证明:在 ?ABC 中,∵AC=2BC=4, ?ACB ? 60 由已知 AB ? BB1 , ∴ AB ? 面BB1C1C 又∵ AB ? 面ABE, ABE ? 面BB1C1C 故 (2)证明:取 AC 的中点 M,连结 C1M , FM
0

B1

2 2 2 ∴ AB ? 2 3 ,∴ AB ? BC ? AC ,∴ AB ? BC

P C F B

A ????5 分

, 在 ?ABC 中 FM // AB , 而 FM ? 平面ABE ,∴直线 FM//平面 ABE 在矩形 ACC1 A1 中,E、M 都是中点,∴ C1 M // AE
而 C1M ? 平面ABE ,∴直线 C1 M // 面ABE 又∵ C1 M ? FM ? M 故 C1F // 面AEB ∴ 面ABE // 面FMC1 ??????????10 分

H

G (或解:取 AB 的中点 G,连结 FG,EG,证明 C1 F / / EG,从而得证) 1 (3)取 B1C1 的中点 H ,连结 EH ,则 EH / / AB 且 EH ? AB ? 3 , 2 由(1) AB ? 面BB1C1C ,∴ EH ? 面BB1C1C , ∵P 是 BE 的中点, 1 1 1 ∴ VP ? B1C1F ? VE ? B1C1F ? ? S?B1C1F ? EH ? 3 ?????????????14 分 2 2 3

B

4

17. (本题满分 14 分) 如图,有一块边长为 1(百米)的正方形区域 ABCD,在点 A 处有一个可转动的探照灯,其照射 角 ?PAQ 始终为 45 (其中点 P、Q 分别在边 BC、CD 上),设 ?PAB ? ? , tan ? ? t ,探照灯
?

照射在正方形 ABCD 内部区域的面积 S (平方百米)。 (1) 将 S 表示成 t 的函数; (2) 求 S 的最大值。

18.(本题满分 16 分) 已知椭圆 O 的中心在原点,长轴在 x 轴上,右顶点 A(2,0) 到右焦点的距离与它到右准线 的距离之比为

3 1 . 不过 A 点的动直线 y ? x ? m 交椭圆 O 于 P,Q 两点. 2 2

(1)求椭圆的标准方程; (2)证明 P,Q 两点的横坐标的平方和为定值; (3)过点 A,P,Q 的动圆记为圆 C,动圆 C 过不同于 A 的定点,请求出该定点坐标. 18.解: (1)设椭圆的标准方程为

3 x2 y2 .??2 分 ? 2 ? 1?a ? b ? 0 ? .由题意得 a ? 2, e ? 2 2 a b

5

?c ? 3 , b ? 1 , ??2 分
(2)证明:设点 P ( x1 , y1 ), Q ( x2 , y2 ) 将y?

? 椭圆的标准方程为

x2 ? y 2 ? 1 .??4 分 4

1 1 x ? m 带入椭圆,化简得: x 2 ? 2mx ? 2(m 2 ? 1) ? 0 ○ 2
2 x1 x2 ? 2( m 2 ? 1) ,??6 分 ? x12 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 2 x1 x2 ? 4 ,

? x1 ? x2 ? ?2m,

?P,Q 两点的横坐标的平方和为定值 4.??8 分
2 2 (3)(法一)设圆的一般方程为: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,则圆心为( ?

D 2

,?

E 2

),

PQ 中点 M( ? m,
圆心( ?

m 3 ), PQ 的垂直平分线的方程为: y ? ?2 x ? m , ??9 分 2 2

E 3 D E 3 2 ,? )满足 y ? ?2 x ? m ,所以 ? ? D ? m ○,??10 分 2 2 2 2 2

圆过定点(2,0),所以 4 ? 2 D ? F ? 0 ○,??11 分 3 圆过 P ( x1 , y1 ), Q ( x2 , y 2 ) , 则 ?

? x12 ? y12 ? Dx1 ? Ey1 ? F ? 0,
2 2 ? x2 ? y2 ? Dx2 ? Ey2 ? F ? 0,

两式相加得:

x12 ? x2 2 ? y12 ? y2 2 ? Dx1 ? Dx2 ? Ey1 ? Ey 2 ? 2 F ? 0,
x12 ? x2 2 ? (1 ? x1 4
2

) ? (1 ?

x2 4

2

) ? D ( x1 ? x2 ) ? E ( y1 ? y 2 ) ? 2 F ? 0 ,??12 分

? y1 ? y2 ? m ,
因为动直线 y ?

4 ? 5 ? 2mD ? mE ? 2 F ? 0 ○.??13 分

1 2

x ? m 与椭圆 C 交与 P,Q(均不与 A 点重合)所以 m ? ?1 ,
3( m ? 1) 4 , E? 3 2 m? 3 2 , 3 5 F ? ? m ? , ??14 分 2 2

由○○○解得: D ? 2 3 4

3 3 3 5 x ? ( m ? )y ? m ? ? 0 , 4 2 2 2 2 3 3 5 3 3 3 整理得: ( x 2 ? y 2 ? x ? y ? ) ? m ( x ? y ? ) ? 0 ,??15 分 4 2 2 4 2 2
代入圆的方程为: x 2 ? y 2 ?
3 3 5 ? 2 2 ? x ? y ? 4 x ? 2 y ? 2 ? 0, ? 所以: ? 3 3 3 ? x ? y ? ? 0, ? ? 4 2 2

3( m ? 1)

? x ? 0, ? x ? 2, 解得: ? 或? (舍). ? y ? 1, ? y ? 0

所以圆过定点(0,1).??16 分
2 2 (法二) 设圆的一般方程为: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,将 y ?

1 x ? m 代入的圆的方程: 2

5 2 ? E? 5 x ? ? m ? D ? ? x ? m 2 ? mE ? F ? 0 ○.??9 分 4 2? ?
6

1 2m 2( m 2 ? 1) 方程○与方程○为同解方程. ? 1 5 , ??12 分 ? 2 5 E m ? mE ? F m?D? 4 2
圆过定点(2,0),所以 4 ? 2 D ? F ? 0 , ??13 分 因为动直线 y ? 解得: D ?

1 x ? m 与椭圆 C 交与 P,Q(均不与 A 点重合)所以 m ? ?1 . 2

3( m ? 1) 3 3 3 5 , E ? m ? , F ? ? m ? ,??14 分 (以下相同) 4 2 2 2 2 【说明】本题考查圆锥曲线的基本量间关系、直线与圆锥曲线的位置关系;考查定点定值问 题;考查运算求解能力和推理论证能力.
19.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? (1)当 0 ? a ?

1? a ? 1(a ? R) x

1 时,求 f (x ) 的单调区间 2 1 2 ( 2 ) 设 g ( x) ? x ? 2bx ? 4 , 当 a ? 时 , 若 对 任 意 x1 ? (0,2) , 存 在 x2 ? ?1,2? , 使 4

f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求实数 b 的取值范围.
解: (1)? f ( x) ? ln x ? ax ?

1? a 1 a ?1 ? 1,? f ?( x) ? ? a ? 2 x x x

=

ax2 ? x ? 1 ? a , x ? (0,??), 令 h( x) ? ax2 ? x ? 1 ? a 2 x
2

x ? (0,??)
??2 分

由 ax ? x ? 1 ? a ? 0 1)当 a ? 调递减 2)当 0 ? a ?

解得 x1 ? 1, x2 ?

1 ?1 a

1 时, x1 ? x 2 , h( x) ? 0 恒成立,此时 f ?( x) ? 0 ,函数 f (x) 在 (0,??) 上单 2

1 1 时, ? 1 ? 1 ? 0 2 a

当 x ? (0,1) 时, h( x) ? 0 ,此时 f ?( x) ? 0 ,函数 f (x) 单调递减 当 x ? (1, 当 x?(

1 ,?1) 时, h( x) ? 0 ,此时 f ?( x) ? 0 ,函数 f (x) 单调递减 a

1 ? 1,?? ) 时, h( x) ? 0 ,此时 f ?( x) ? 0 ,函数 f (x) 单调递减 ??6 分 a 1 1 (2)因为 a ? ? (0, ), 由(1)知当 x ? (0,1) 时,函数 f (x) 单调递减 4 2
当 x ? (1,2) 时,函数 f (x) 单调递增

? f (x) 在 (0,2) 上的最小值为 f (1) ? ?

1 2

??8 分

7

由于“对任意 x1 ? (0,2) 存在 x2 ? ?1,2?,使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ”等价于“ g (x) 在 ?1,2? 上的 最小值不大于 f (x) 在 (0,2) 上的最小值 ?

1 ” 2

??10 分

又 g ( x) ? ( x ? b)2 ? 4 ? b2 , x ? ? ,2? ,所以 1 1)当 b ? 1 时,因为 g ( x) min ? g (1) ? 5 ? 2b ? 0 ,此时矛盾 2)当 b ? ? ,2? 时,因为 g ( x) ? 4 ? b2 ? 0 ,同样矛盾 1 3)当 b ? (2,??) 时,因为 g ( x) min ? g (2) ? 8 ? 4b ,解不等式

8 ? 4b ? ?

1 17 ,可得 b ? 8 2

综上所述, b 的取值范围是 ? 20.(本小题满分 16 分)

?17 ? ,?? ? ?8 ?

??16 分

对于项数为 m 的有穷数列数集 {an } ,记 bk ? max{ 1, a2 , ?, ak } (k=1,2,?,m) ,即 bk a 为 a1 , a2 , ?, ak 中的最大值, 并称数列 {bn }是 {an } 的控制数列.如 1,3,2,5,5 的控制数列是 1,3,3,5,5. (1)若各项均为正整数的数列 {an } 的控制数列为 2,3,4,5,5,写出所有的 {an } ; (2)设 {bn }是 {an } 的控制数列,满足 ak ? bm? k ?1 ? C (C 为常数,k=1,2,?,m). 求证: bk ? ak (k=1,2,?,m) ;
2 (3)设 m=100,常数 a ? ( 1 , 1) .若 an ? an ? (?1) 2
n ( n ?1 ) 2

n , {bn }是 {an } 的控制数列,

求 (b1 ? a1 ) ? (b2 ? a2 ) ? ? ? (b100 ? a100 ) . [解](1)数列 {an } 为:2, 3, 4, 5, 1;2, 3, 4, 5, 2;2, 3, 4, 5, 3; 2, 3, 4, 5, 4;2, 3, 4, 5, 5. 分 (2)因为 bk ? max{ 1, a2 , ?, ak } , bk ?1 ? max{ 1, a2 , ?, ak , ak ?1} , a a 所以 bk ?1 ? bk . 因为 ak ? bm? k ?1 ? C , ak ?1 ? bm? k ? C , 所以 ak ?1 ? ak ? bm? k ?1 ? bm? k ? 0 ,即 ak ?1 ? ak .
8

??3

??5 分

因此, bk ? ak .

??8 分

(3)对 k ? 1, 2, ?, 25 , a4k ?3 ? a(4k ? 3)2 ? (4k ? 3) ; a4k ? 2 ? a(4k ? 2)2 ? (4k ? 2) ;

a4k ?1 ? a(4k ? 1)2 ? (4k ? 1) ; a4k ? a(4k )2 ? (4k ) .
比较大小,可得 a4 k ? 2 ? a4 k ?3 . ??10 分

因为 1 ? a ? 1 ,所以 a4k ?1 ? a4k ? 2 ? (a ? 1)(8k ? 3) ? 0 ,即 a4 k ? 2 ? a4 k ?1 ; 2

a4k ? a4k ? 2 ? 2(2a ? 1)(4k ? 1) ? 0 ,即 a4k ? a4k ? 2 .
又 a4 k ?1 ? a4k , 从而 b4k ?3 ? a4k ?3 , b4 k ? 2 ? a4 k ? 2 , b4k ?1 ? a4k ? 2 , b4 k ? a4 k . 因此 (b1 ? a1 ) ? (b2 ? a2 ) ? ? ? (b100 ? a100 ) = (b3 ? a3 ) ? (b7 ? a7 ) ? (b10 ? a10 ) ? ? ? (b4k ?1 ? a4k ?1 ) ? ? ? (b99 ? a99 ) = (a2 ? a3 ) ? (a6 ? a7 ) ? (a9 ? a10 ) ? ? ? (a4k ? 2 ? a4k ?1 ) ? ? ? (a98 ? a99 ) = ??13 分

? (a4k ? 2 ? a4k ?1 ) = (1 ? a)? (8k ? 3) = 2525(1 ? a) .
k ?1 k ?1

25

25

??16 分

9


赞助商链接
相关文章:
江苏省高邮市界首中学2015届高三高考模拟数学试题(10)...
江苏省高邮市界首中学2015届高三高考模拟数学试题(10)参考答案(南通市数学学科基地命题)_数学_高中教育_教育专区。江苏省高邮市界首中学2015届高三高考模拟数学试题(...
江苏高邮界首中学2015届高三高考模拟数学试题(4)参考答...
暂无评价|0人阅读|0次下载 江苏高邮界首中学2015届高三高考模拟数学试题(4)参考答案(南通数学学科基地命题)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。江苏高邮界首中学2015...
江苏省高邮市界首中学高三第一次考试
江苏省高邮市界首中学高三第次考试_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高三数学测试高三数学试卷一、选择题 2006.10.18 1.定义 A ? B = {x | x ∈ A且...
江苏省扬州市高邮市界首中学2014-2015学年高一上学期期...
江苏省扬州市高邮市界首中学2014-2015学年高一上学期期末数学模拟试卷(三)_数学...(三)参考答案与试题解析 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 ...
[名校联盟]江苏省高邮市界首中学2014届高三11月英语测试题
[名校联盟]江苏省高邮市界首中学2014届高三11月英语...fit in D. honestly 第三部分 阅读理解(共 15 ...2013届高三江苏专版数学... 6页 1下载券 高考英语...
江苏省扬州市高邮市界首中学2014-2015学年高一上学期期...
(a)的表达式. 2 江苏省扬州市高邮市界首中学 2014-2015 学年高一上学期 期末数学模拟试卷(二)参考答案与试题解析 一、填空题(本大题共 14 题,每题 5 分,...
江苏省扬州市高邮市界首中学2014-2015学年高一上学期期...
(1)中的性质求函数 图象对称中心的坐标,并说明理由. 江苏省扬州市高邮市界首中学 2014-2015 学年高一上学期 期末数学模拟试卷(四)参考答案与试题解析 一、填空...
高邮市界首中学高三语文一轮复习小练习 高三语文组
高邮市界首中学高三语文一轮复习小练习 高三语文组_专业资料。高三语文小练习(...江苏省高邮市界首中学20... 8页 免费 高邮市界首中学高三数学... 3页 免费...
2008年江苏省高邮市界首中学高三数学学生每日四题(2)(1...
2008年江苏省高邮市界首中学高三数学学生每日四题(2)(14份)_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。每日四题(1) 1. 已知 cos(? ? ? 2 )? 4 ? 3? ? ...
江苏省扬州市高邮市界首中学2014-2015学年高一上学期期...
江苏省扬州市高邮市界首中学2014-2015学年高一上学期期末数学模拟试卷(二) Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。江苏省扬州市高邮市界首中学 2014-2015 学年高一...
更多相关标签: