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例说利用均值不等式求函数最值的几种技巧


例说利用均值不等式求最值的几种技巧
在现行中学数学中,利用均值不等式求函数最值的问题,是一类值得重视的常用方 法。但学生在利用均值不等式求最值时,常常因为取不到等号,以致解题受阻。所以在 解题过程中需要对函数进行适当的变形。由于在变形过程中常要用到某些特定的技巧, 因而形成难点。本文拟就此介绍几种常用的技巧。 一、乘方后使用均值不等式 将所得出的正函数平方,立方,……,n 次方,然后再使用均值不等式求解。

例 1 已知? ? ?0,? ? ,求函数 y ? sin ? ? (1 ? cos ? ) 的最大值。(94 年全国数竞题)
2
解:

? ? ? ?0,? ?
? y2 ?

?y ?

1 ? cos? ? (1 ? cos? ) 2

1 1 ? cos ? ? (2 ? 2 cos ? ) ? (1 ? cos ? ) ? (1 ? cos ? ) ? (1 ? cos ? ) 2 = 4 2
? 1 ? (2 ? 2 cos? ) ? (1 ? cos? ) ? (1 ? cos? ) ? ? ? 4 ? 3 ? ?
3

=

16 27

?y ?

4 3 9

当且仅当 2 ? 2 cos ? ? 1 ? cos ? 即 cos ? ? 1 时取到等号。 3 所以 y 的最大值为 4 3

9

例2

有一浮标由三部分组成,一个圆筒和两个相同的圆锥,其中每一个圆锥的高等于 圆筒的高,问当表面积一定时,什么形状会有最大体积? (第一届普特南数竞题) 解:设圆筒的半径为

r,

高为

h ,那么


S ? 2? ? rh ? 2? ? r h 2 ? r 2

h?

S 2 ? 4? 2 r 4 4? ? rS

2 5 5 V ? ? ? r 2h ? ? ? r 2h ? ? ? r 2h ? ? r ? ( S 2 ? 4? 2 r 4 ) 3 3 12 S

5 4 4 V4 ?( ) ? r ? ( S 2 ? 4? 2 r 4 ) 4 12 S
利用五个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数即可求得最大体积。 当且仅当 16? 2 r 4 ? S 2 ? 4? 2 r 4 , 此时进一步有 二、 引参后使用均值不等式 有些和(积)不为常数的函数求最值时,可通过引入参数后,再使用均值不等 式求解。 即r ? 4 。

S 2 时取到等号。 20? 2

h?

2 2 r 5

例3

求函数 y ? sin 2 x ? cos 2 x ?

1 的最小值。 sin 2 x ? cos 2 x

解:引入待定参数 ? 、 ? ,且 ? + ? ? 4 ,则有
y? sin 2 2 x 4 sin 2 2 x ? ? sin 2 2 x ? ? ? ? ? ?2 ? 2 ? 2 2 2 4 4 sin 2 x sin 2 x sin 2 x 4 sin 2 x

?
sin 2 2 x
2

? 2 ? ??
4

当且仅当 sin 2 x ? ? 且 sin 2 2 x ? 1时取到等号,此时 ? ? 1 , ? ? 15 4 4 4 sin 2 2 x 所以当 sin 2 x ? 1时,
2

y 有最小值为 17
4

例4

求函数 y ? x 3 ? 3x 2 ? 2 x ? 1在区间( 0 ,1)上的最大值和取到最大值时的 x 的 值。(第十二届希望杯竞赛题)

解:

y ? x 3 ? 3x 2 ? 2x ? 1 ? x ? (2 ? x)(1 ? x) ? 1
引入两个正实数 ? , ? 后利用均值不等式

x ? (0,1)

y?

1

??

? x ? (2? ? ?x)(? ? ?x) ? 1 ?

? ?? ? ?

1 ? x ? (2? ? ?x) ? ( ? ? ?x) ? ? 1 ?3 3 ?

当且仅当 1 ? ? ? ? ? 0 且 此时 ? ? 2 ? 3 ,

x ? 2? ? ?x ? ? ? ?x 时取到等号。

? ? 3 ?1 , x ? 1 ?

3 ? 3

?0,1?

所以当 x ? 1 ? 3 时, 3 三、连续使用均值不等式

y 有最大值为 1 ? 2

3 9

有些函数在求最值时,需要几次使用均值不等式进行放缩才能达到目的。放缩 时要保证几个等号能同时成立。

例 5

在三棱锥一个顶点处的三个面角都是直角,求它的外接圆半径和内切圆半径

R : r 的最小值
R?

(86 年江苏竞赛题)

解:设直角顶点处三条棱长分别为 x, y , z 那么由立体几何知识易知:

1 x2 ? y2 ? z2 2

r?

xyz xy ? yz ? zx ? x 2 y 2 ? y 2 z 2 ? z 2 x 2

所以

R ? r

x2 ? y2 ? z2 ? ( xy ? yz ? zx ? x 2 y 2 ? y 2 z 2 ? z 2 x 2 ) 2 xyz

?

3

x2 y2 z2 2 xyz

? (3 ? x 2 y 2 z 2 ? 3 ? 3 x 4 y 4 z 4 ) =

3 3xyz ? 3xyz 2 xyz
2

=

3 3 ?3 2

当且仅当 x

? y ? z 时取到等号,所以 R : r 的最小值为 3 3 ? 3
?

例6

设 a, b, c ? R ,且 abc

? 1 ,试求

1 1 1 的最小值。 ? ? a 3 (b ? c) b 3 (c ? a) c 3 (a ? b)

(第 35 届 IMO 试题改编) 解:

?

2 2 1 ab ? ac = b c ? ab ? ac ? bc ? ab ? ac 4 4 a 3 (b ? c)

1 bc ? ba c2a bc ? ba ? ? ? ? ca 3 4 bc ? ba 4 b (c ? a)
1 ca ? cb = a b ? ca ? cb ? ab ? 3 ca ? cb 4 4 c ( a ? b)
2 2

三式相加得:

1 1 1 1 ? (ab ? bc ? ca ) ? 3 ? 3 2 a (b ? c) b (c ? a) c (a ? b)
3

?
当且仅当 a

1 ? 3 ? 3 ab ? bc ? ca = 3 2 2
所以 y 的最大值为 3 2

? b ? c 时取到等号,


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