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圆的渐开线与摆线


第七课时 一、教学目标:

圆的渐开线与摆线

知识与技能: 了解圆的渐开线的参数方程, 了解摆线的生成过程及它的参数 方程. 过程与方法:学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤 情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 二、重难点:教学重点: 圆的渐开线的参数方程,摆线的参数方程 教学难点: 用向量知识推导运动轨迹曲线的方法 三、教学方法:讲练结合,启发、诱导发现教学. 四、教学过程: (一) 、复习引入:复习:圆的参数方程 (二) 、新课探析: 1、以基圆圆心 O 为原点,直线 OA 为 x 轴,建立平面直角坐标系,可得圆渐

? x ? r (cos? ? ? sin ? ) 开线的参数方程为 ? ? y ? r (sin ? ? ? cos? )

( ? 为参数)

6

5

4

3

D
2

j

C

1

x -10

-8

-6

-4

-2

O
-1

B

2

O'

4

6

8

-2

-3

-4

-5

-6

2、在研究平摆线的参数方程中,取定直线为 x 轴,定点 M 滚动时落在直线上 的一个位置为原点, 建立直角坐标系, 设圆的半径为 r, 可得摆线的参数方程为。

? x ? r (? ? sin ? ) ? ? y ? r (1 ? cos? )

( ? 为参数)

(三) 、例题与训练题: 例 1 求半径为 4 的圆的渐开线参数方程 变式训练 1 当? ?

?

? x ? cos? ? ? sin ? , ? 时,求圆渐开线 ? 2 ? y ? sin ? ? ? cos?

上对应点 A、B

坐标并求出 A、B 间的距离。 变式训练 2 标。 例 2 求半径为 2 的圆的摆线的参数方程
? ? ? x ? 2 (cost ? t sin t ) 求圆的渐开线 ? 上当 t ? 对应的点的直角坐 4 ? ? y ? 2 (sin t ? t cost )

? x ? t ? sin t 变式训练 3: 求摆线 ? ? y ? 1 ? cost

0 ? t ? 2? 与直线 y ? 1 的交点的直角坐标

例 3、设圆的半径为 8,沿 x 轴正向滚动,开始时圆与 x 轴相切于原点 O,记圆上 动点为 M 它随圆的滚动而改变位置,写出圆滚动一周时 M 点的轨迹方程,画出相 应曲线,求此曲线上纵坐标 y 的最大值,说明该曲线的对称轴。 (四) 、小结:本节课学习了以下内容: 1. 观察发现圆的渐开线及圆的摆线的形成过程; 2.探析圆的渐开线的参数方程,摆线的参数方程 3.会运用圆的渐开线的参数方程,摆线的参数方程求解简单问 题。 (五) 、作业: 五、教学反思:


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