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§2.3等差数列前n项和


2014-2015 高一数学必修 5 导学案

编号:01 使用时间:2014-9-19

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§2.3 等差数列的前 n 项和 §2.3 等差数列的前 n 项和(1)
学习目标

② 写这个等差数列的首项和公差,并根据首项和公差选择前 n 项和公式进行求解. 例 2 已知一个等差数列 {an } 前 10 项的和是 310, 前 20 项的和是 1220. 由这些条件能确定这个等差 数列的前 n 项和的公式吗?

1. 掌握等差数列前 n 项和公式及其获取思路; 2. 会用等差数列的前 n 项和公式解决一些简单的与前 n 项和有关的问题. 二、新课导学 ※ 学习探究 探究:等差数列的前 n 项和公式 数列 {an } 的前 n 项的和: 一般地,称 为数列 {an } 的前 n 项的和,用 S n 表示,即 Sn ? 反思: ① 如何求首项为 a1 ,第 n 项为 a n 的等差数列 {an } 的前 n 项的和?

变式:等差数列 {an } 中,已知 a10 ? 30 , a20 ? 50 , Sn ? 242 ,求 n.

② 如何求首项为 a1 ,公差为 d 的等差数列 {an } 的前 n 项的和?

※ 动手试试 练 1.一个凸多边形内角成等差数列,其中最小的内角为 120°,公差为 5°,那么这个多边形的边 数 n 为( ). A. 12 B. 16 C. 9 D. 16 或 9

试试:根据下列各题中的条件,求相应的等差数列 {an } 的前 n 项和 S n . ⑴ a1 ? ?4,a8 ? ?18,n ? 8; ⑵ a1 ? 14.5,d ? 0.7,n ? 15 .

小结:

n(a1 ? an ) ,必须具备三个条件: 2 n(n ? 1)d 2. 用 Sn ? na1 ? ,必须已知三个条件: 2
1. 用 Sn ?

. .

※ 学习小结 1.等差数列中的“知三求二”问题,即:已知等差数列之 a1 , an , q, n, Sn 五个量中任意的三个,列方程 组可以求出其余的两个. ※ 知识拓展 1. 若数列 {an } 的前 n 项的和 Sn ? An2 ? Bn (A ? 0 ,A、B 是与 n 无关的常数) ,则数列 {an } 是等差 数列. 2. 已知数列 ?an ? , 是公差为 d 的等差数列,Sn 是其前 n 项和,设 k ? N ? , Sk , S2k ? Sk , S3k ? S2k 也成等
差数列,公差为 k 2 d . ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 在等差数列 {an } 中, S10 ? 120 ,那么 a1 ? a10 ? ( ). A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 2. 在 50 和 350 之间,所有末位数字是 1 的整数之和是( ). A.5880 B.5684 C.4877 D.4566 3. 已知等差数列的前 4 项和为 21,末 4 项和为 67,前 n 项和为 286,则项数 n 为( A. 24 B. 26 C. 27 D. 28 4. 在等差数列 {an } 中, a1 ? 2 , d ? ?1 ,则 S8 ? . 5. 在等差数列 {an } 中, a1 ? 25 , a5 ? 33 ,则 S6 ? .

※ 典型例题 例 1 2000 年 11 月 14 日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的统治》. 某市据此提 出了实施“校校通”工程的总目标:从 2001 年起用 10 年时间,在全市中小学建成不同标准的校园 网.据测算,2001 年该市用于“校校通”工程的经费为 500 万元. 为了保证工程的顺利实施,计划 每年投入的资金都比上一年增加 50 万元. 那么从 2001 年起的未来 10 年内,该市在“校校通”工 程中的总投入是多少?



课后作业
小结:解实际问题的注意: ① 从问题中提取有用的信息,构建等差数列模型; 1. 数列{ a n }是等差数列,公差为 3, a n =11,前 n 和 S n =14,求 n 和 a3 .

2014-2015 高一数学必修 5 导学案

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§2.3 等差数列的前 n 项和(2)
学习目标
1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前 n 项和公式; 2. 了解等差数列的一些性质,并会用它们解决一些相关问题; 3. 会利用等差数列通项公式与前 n 项和的公式研究 S n 的最大(小)值.

※ 知识拓展 等差数列奇数项与偶数项的性质如下: 1°若项数为偶数 2n,则
S偶-S奇=nd ;
S奇 a = n (n ? 2) ; S偶 an ?1

二、新课导学 ※ 学习探究 问题:如果一个数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? pn2 ? qn ? r ,其中 p、q、r 为常数,且 p ? 0 ,那么这 个数列一定是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是多少? ※ 典型例题
1 例 1 已知数列 {an } 的前 n 项为 Sn ? n2 ? n ,求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗?如 2 果是,它的首项与公差分别是什么?

2°若项数为奇数 2n+1,则 S奇-S偶=an ?1 ; S偶 ? nan?1 ; S奇=(n ? 1)an?1 ;
S偶 = n . S奇 n ? 1

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 下列数列是等差数列的是( ). 2 A. an ? n B. Sn ? 2n ? 1
C. Sn ? 2n2 ? 1 D. Sn ? 2n2 ? n 2. 等差数列{ a n }中,已知 S15 ? 90 ,那么 a8 ? ( ). A. 3 B. 4 C. 6 D. 12 3. 等差数列{ a n }的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,则它的前 3m 项和为( ). A. 70 B. 110 C. 170 D. 210 4. 在小于 100 的正整数中共有 个数被 7 除余 2,这些数的和为 . 1 5. 在等差数列中,公差 d= , S100 ? 145 , 2 则 a1 ? a3 ? a5 ? ... ? a99 ? .

1 2 变式:已知数列 {an } 的前 n 项为 Sn ? n2 ? n ? 3 ,求这个数列的通项公式. 4 3

小结:数列通项 a n 和前 n 项和 S n 关系为
? S1 (n ? 1) an = ? ,由此可由 S n 求 a n . ? Sn ? Sn ?1 (n ? 2) 小结:等差数列前项和的最大(小)值的求法. (1)利用 a n : 当 a n >0,d<0,前n项和有最大值,可由 a n ≥0,且 an ?1 ≤0,求得n的值;当 a n <0,

课后作业
1. 在项数为 2n+1 的等差数列中,所有奇数项和为 165,所有偶数项和为 150,求 n 的值.

d>0,前n项和有最小值,可由 a n ≤0,且 an ?1 ≥0,求得n的值 d d (2)利用 S n :由 Sn ? n2 ? (a1 ? )n ,利用二次函数配方法求得最大(小)值时n的值. 2 2 ※ 动手试试 练 1. 已知 Sn ? 3n2 ? 2n ,求数列的通项 a n .
王新敞
奎屯 新疆

2. 等差数列{ a n }, a1 ? 0 , S9 ? S12 ,该数列前多少项的和最小?


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