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浙江省金华一中2013届高三4月月考数学理试题


金华一中高三年级 4 月月考数学试题(理科)
命题与校对: 测试日期:2013 年 4 月 24 日 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 1. 设 P={y | y= ln ( x ? 1) ,x∈R},Q={y | y= 1 ? ( ) ,x∈R},则
2
x

1

2

(A) P ? Q

(B) Q ? P

(C) Q ? ?RP

(D) ?RQ ? P
z1 z2

2. 已知 i 是虚数单位,设复数 z 1 ? 1 ? 3i , z 2 ? 3 ? 2 i ,则 面内对应的点在 (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限

在复

开始 p=1,n=1



(D) 第四象限 n=n+1

3. 若某程序框图如图所示,则输出的 n 的值是 (A) 43 (B) 44 (C) 45 (D) 46

p=p+2n?1 p>2012?


4. 设 { a n } 是等比数列,则“ a 1 ? a 2 ? a 3 ”是“数列 { a n } 是递增数 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件


列” 的

(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 5. 设 a、b 是两条不同的直线,α、β 是两个不同的平面,下列命题 正确的是 (A) 若 a / / b , a / / ? , 则 b / / ? (C) 若 ? ? ? , a ? ? , 则 a / / ? (B) 若 a ? b , a ? ? , b ? ? , 则 ? ? ? (D) 若 ? ? ? , a / / ? , 则 a ? ?

输出 n 中 结束 (第 3 题)

6. 甲和乙等五名志愿者被随机地分到 A、B、C、D 四个不同的岗位服务,每个岗位至少 有一名志愿者,则甲和乙不在同一岗位服务的概率为 (A)
1 10

(B)

9 10

(C)

1 4

(D)

48

625 ??? ??? ???? ? ? ? ??? ? ??? ? 7. △ABC 外接圆的半径为 1 ,圆心为 O ,且 2 O A ? A B ? A C ? 0 , | O A | ? | A B | ,则

??? ??? ? ? C A ? C B 的值是

(A) 3

(B) 2

(C) 1

(D) 0

? x ? 2y ? 2 ? 8. 变量 x,y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 4 ,则目标函数 z ? 3 | x | ? | y ? 3 | 的取值范围是 ? 4 x ? y ? ?1 ?

(A) [ , 9]
2

3

(B) [ ?

3 2

, 6]

(C)

[ ?2, 3]

(D) [1, 6]

9. 若双曲线的焦点关于渐近线对称的点恰在双曲线上,则双曲线的离心率为

第页

1

A.

5 5

B.
4 x

5 2

C.2

D. 5

10. 若函数 f ( x) ? A . ( ? 6 ,0 ]

与 g ( x ) ? x 3 ? t 图象的交点在直线 y ? x 的两侧,则实数 t 的取值范围是 B . ( ? 6 ,6 ) D . ( ? 4,4 ) 4 共 28 分。

3

3

C . ( ?? , ? 4 ) ? ( 4 , ?? )

二、 填空题: 本大题共 7 小题, 每小题 4 分, 11. 函数 f ( x ) ? 1 ? sin x ? co s 2 x 的
2

最小正周期是



6 正视图

侧视图

12. 若一个三棱锥的三视图 (单位:cm) 如图所示,则该棱锥的全面积是 ... _______cm2. 13. ( 3 ?
x ) 展开式中不含 x 项的其它所
8

6

4

俯视图

(第 12 题)

有项的系数

和为________. 14. 已知函数 f ? x ? ? log 2 x ,正实数 m,n 满足 m ? n ,且 f ? m ? ? f ? n ? ,若 f ? x ? 在区间 ? m 2 , n ? 上的最 ? ? 大值为 2,则 m ? n ? ________. 15. 设 Sn 是正项数列{an}的前 n 项和, a n 和 S n 满足:4 S n ? ( a n ? 1) ( n ? 1, 2, 3, ? ) , Sn= 且 则
2



16. 已知 x ? 0 , y ? 0 , x ? 2 y ? xy ? 6 ,则 x+2y 的取值范围为
2


| PO | | PQ |

17. 若点 P 在曲线 C1: y ? 8 x 上,点 Q 在曲线 C2:(x-2)2+y2=1 上,点 O 为坐标原点,则 最大值是 . 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。



18. (本题满分 14 分) 在△ABC 中,三内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 B ? 60 ?, c ? ( 3 ? .a 1) (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)已知当 x ? R 时 , 函 数 f ( x ) ? sin x (co s x ? a sin x ) 的最大值为 1,求 a 的值.

19. (本题满分 14 分) 现有 4 个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择,为增 加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为 1 或 2 的人 去参加甲游戏,掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏.
第页 2

(Ⅰ)求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率; (Ⅱ)用 X,Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数,记 ξ =|X-Y|,求随机变量 ξ 的分布列与 数学期望 Eξ .

20. (本题满分 14 分) 如图,平面 PAC⊥平面 ABC, AC⊥BC,△PAC 为等边三角形,PE∥ C B ,M, N 分别是线段 A E , A P 上的动点,且满足:
AM AE ? AN AP ? ? (0 ? ? ? 1) .

(Ⅰ) 求证: M N ∥平面 A B C ; (Ⅱ) 求? 的值,使得平面 ABC 与平面 MNC 所成的锐二面角的大小为 45?.

21.(本题满分 15 分) 已知椭圆 G:

x a

2 2

?

y b

2 2

?1

(a>b>0)的离心率为

2 2

,右焦点 F(1,0).过

点 F 作斜率为 k(k?0)的直线 l,交椭圆 G 于 A、B 两点,M(2,0)是一个定点.如图所示,连 AM、BM, 分别交椭圆 G 于 C、D 两点(不同于 A、B) ,记直线 CD 的斜率为 k 1 .
[

(Ⅰ)求椭圆 G 的方程; (Ⅱ)在直线 l 的斜率 k 变化的过程中,是否存在一 个常数 ? ,使得 k 1 ? ? k 恒成立?若存在,求出 这个常数 ? ;若不存在,请说明理由.

22. (本题满分 15 分) 设 x ? m 和 x ? n 是函数 f ( x ) ? ln x ?
a?R . (Ⅰ) 求 f ( m ) ? f ( n ) 的取值范围;

1 2

x ? ( a ? 2 ) x 的两个极值点,其中 m ? n ,
2

(Ⅱ) 若 a ?

e ?

1 e

? 2 ,求 f ( n ) ? f ( m ) 的最大值(e 是自然对数的底数) .

第页

3

金华一中高三数学(理科)月考试卷 2013 年 4 月
DDCC BBA AB 11. ? 12. 4 8 ? 1 2 2 13. 255 14.
5 2

15. n

2

16. 4

17.

4 7 7

(18) 本题主要考查三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力。 满分 14 分。

1 2 (19) 解:依题意,这 4 个人中,每个人去参加甲游戏的概率为 ,去参加乙游戏的概率为 .设“这 4 3 3
i?1? i?2?4-i 个人中恰有 i 人去参加甲游戏”为事件 Ai(i=0,1,2,3,4),则 P(Ai)=C4? ? ? ? . ?3? ?3?

(Ⅰ)设“这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件 B,则 B=A3∪A4, 由于 A3 与 A4 互斥,故

P(B)=P(A3)+P(A4)=C3? ?3? ?+C4? ?4= . 4 4 ?3? ?3? ?3? 9
1 所以,这 4 个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为 . 9
第页 4

?1? ?2?

?1?

1

(Ⅱ)ξ 的所有可能取值为 0,2,4. 由于 A1 与 A3 互斥,A0 与 A4 互斥,故

P(ξ =0)=P(A2)= , P(ξ =2)=P(A1)+P(A3)= , P(ξ =4)=P(A0)+P(A4)= .
所以ξ 的分布列是 ξ 0 8 27 2 40 81 4 17 81 17 81 40 81

8 27

P

8 40 17 148 随机变量ξ 的数学期望 Eξ =0× +2× +4× = 27 81 81 81

(20) 本题主要考查空间点、线、面位置关系,二面角等基础知识,空间向量的应用,同时考查空间想象能 力和运算求解能力。满分 14 分。 方法一: (Ⅰ) 证明:如图以点 C 为原点建立 空间直角坐标系 C-xyz,不妨设 CA
? B =1,CB=t(t >0) P ?C ,E
C (0 , 0 , 0 )
P( 1 2 ,0,
? ?? ? ?? ? ?

z P E

,则

N

M y

, A (1 , 0 , 0 ) , B (0 , t , 0 ) ,
3 )

, E( , ?t ,
2

1

3 2

)



C

B

2



AM AE

?
1 2

AN AP

? ? ,得
3 2

A x

(第 20 题)

M (1 ? N (1 ?

? , ??t ,

?) ,
???? ?

1 2

? ,0,

3 2

? ) , M N ? (0 , ? ? ? t , 0 ) .
? ?? ???? ?

?? ? n0

=(0,0,1) 是平面 A B C 的一个法向量,且 n 0 ? M N ? 0 ,故 n 0 ? M N . ????6 分
3 2

?? ?

???? ?

又因为 MN ? 平面 ABC,即知 MN∥平面 ABC. (Ⅱ) 解:M N ? (0 , ? ? ? t , 0 ) ,C M ? (1 ?
?? ???? ? ? 则 n1 ? M N ? 0 ?? ???? ? ? , n1 ? C M ? 0 ???? ?

???? ?

1

? , ??t ,

又 n 0 =(0,0,1) 是平面 A B C 的一个法向量.
第页 5

?? ?

2 ?? ? ? ?2 ) ,可取 n1 ? (1 , 0 , 3?

?) , 设平面 CMN 的法向量 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ,

?? ?



?? ?? ? ? | n 0 ? n1 | ? ?? ? 由 | c o s ? | ? ?? | n 0 | ? | n1 |

,以及 ? ? 4 5 ? 可得

| 1?

? ?2
3? 3?

| ?
2

2 2

? , 即 2? 2 ? 4 ?

? 4

0 .解得 ? ?

3 ?1

( 将 ? ? ? 1 ? 3 舍 去 ), 故

(? ? 2)
2

? ?

3 ?1.

????14 分

方法二: (Ⅰ) 证明:由
AM AE ? AN AP ? ? ,得 MN∥PE,

又依题意 PE∥BC,所以 MN∥BC. 因为 M N ? 平面 A B C , B C ? 平面 A B C , 所以 M N //平面 A B C . ????6 分 P E

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知 MN∥BC,故 C、B、M、N 共面,平面 ABC 与平面 MNC 所成的锐二面角 即 N—CB—A.因为平面 PAC⊥平面 ABC, 平面 PAC ∩ 平面 ABC = AC,且 CB⊥AC,所 以 CB⊥平面 PAC.故 CB⊥CN,即知 ? N C A 为二 N—CB—A 的平面角.所以 ? N C A ? 4 5 ? .在△NCA 用正弦定理得,
2 AN AC ? s in 4 5 ? s in 7 5 ? ? 2 6 ? 4 2 ? 3 ?1.

N

M 面角 中运

C

B

A

(第 20 题)

所以, ? ?

AN AP

?

3 ?1.

????14 分

(21) 本题主要考查椭圆的几何性质,直线与椭圆的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方 法和综合解题能力。满分 15 分。 (Ⅰ)解:设 c 2 ? a 2 ? b 2 ,依题意 c ? 1 ,
x
2

c a

?

2 2

.解得 a ?

2

, b ? 1 .故椭圆 G 的方程为

? y ?1
2



????5 分

2

(Ⅱ)存在常数 ? ? ? 1 .
?x 2 ? y ?1 ? 解法一:设 A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ), C ( x 3 , y 3 ), D ( x 4 , y 4 ) .联立 ? 2 ? y ? k ( x ? 1) ?
2

,可得

(1 ? 2 k ) x ? 4 k x ? 2 ( k ? 1) ? 0
2 2 2 2

于是
y1

x1 ? x 2 ?
2

4k

2 2

1 ? 2k

, x1 x 2 ?

2(k

2

? 1)
2

1 ? 2k



直线 AM

?x 2 ? y ?1 ? 的斜率 t1 ? ,联立 ? 2 x1 ? 2 ? y ? t ( x ? 2) 1 ?
2 2

,可得
2 2

(1 ? 2 t1 ) x ? 8 t1 x ? 2 ( 4 t1 ? 1) ? 0

则 x1 x 3 ?
第页

2 ( 4 t1 ? 1)
2

1 ? 2 t1

2

,进一步可得 x 3 ?

2 ( 4 t1 ? 1)
2

(1 ? 2 t1 ) x1
2

.将 t1 ?
6

y1 x1 ? 2

代入,则

2[ 4 ( x3 ?

y1 x1 ? 2 y1

) ? 1]
2

? ) ] x1
2

2[ 4 y 1 ? ( x1 ? 2 ) ]
2 2

2[ 4 (1 ? ? [ 2 (1 ? x1 2

x1 2
2

2

) ? ( x1 ? 2 ) ]
2

[1 ? 2 (

[ 2 y 1 ? ( x1 ? 2 ) ] x1
2 2

?
2

3 x1 ? 4 2 x1 ? 3

x1 ? 2

) ? ( x1 ? 2 ) ] x1

同理可得 x 4 ?

3 x2 ? 4 2 x2 ? 3

.进一步,可计算 y 3 , y 4 .其中
y1 x1 ? 2 ? ( x3 ? 2 ) ? k ( x1 ? 1) x1 ? 2
2

y 3 ? t1 ( x 3 ? 2 ) ?

?(

3 x1 ? 4 2 x1 ? 3

? 2) ?

? k ( x1 ? 1) 2 x1 ? 3

同理可得 y 4 ?

? k ( x 2 ? 1) 2 x2 ? 3

.由

x3 2

2

? y 3 ? 1,
2

x4 2

? y 4 ? 1 两式相减可得,
2

k1 ?

y3 ? y4 x3 ? x4 1 2k

? ?

x3 ? x4 2( y3 ? y4 )

( ? 1 2k ? (

3 x1 ? 4 2 x1 ? 3 x1 ? 1 2 x1 ? 3

? ?

3 x2 ? 4 2 x2 ? 3 x2 ? 1 2 x2 ? 3

) )

?

?

(3 x1 ? 4 )( 2 x 2 ? 3) ? (3 x 2 ? 4 )( 2 x 1 ? 3) ( x1 ? 1)( 2 x 2 ? 3) ? ( x 2 ? 1)( 2 x1 ? 3) 1 2 x1 x 2 ? 1 7 ( x1 ? x 2 ) ? 2 4 4 x1 x 2 ? 5 ( x1 ? x 2 ) ? 6 12 ? 2(k
2 2



1 2k

?

?

1 2k

?

? 1) ? 1 7 ? 4 k ? 1) ? 5 ? 4 k

2 2

? 2 4 ? (1 ? 2 k )
2

4 ? 2(k

? 6 ? (1 ? 2 k )
2

? ?k

综上可知,存在常数 ? ? ? 1 .

????15 分

(22) 本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用等基础知识,同时考查推理论证能力、抽象 概括等综合解题能力和创新意识。满分 15 分。 (Ⅰ)解:函数 f ( x ) 的定义域为 ( 0 , ? ? ) , f ? ( x ) ?
1 x ? x ? (a ? 2) ? x ? (a ? 2) x ? 1
2



x

依题意,方程 x 2 ? ( a ? 2 ) x ? 1 ? 0 有两个不等的正根 m , n (其中 m ? n ) .故
?(a ? 2) ? 4 ? 0 ? a ? 0 ? ?a ? 2 ? 0
2



并且 所以, f ( m ) ? f ( n ) ? ln m n ?
? 1 2
2

m ? n ? a ? 2, m n ? 1 .
1 2 [( m ? n ) ? 2 m n ] ? ( a ? 2 )( m ? n ) ? ? 1 2 (a ? 2) ? 1 ? ?3
2

( m ? n ) ? ( a ? 2 )( m ? n )
2 2

故 f ( m ) ? f ( n ) 的取值范围是 ( ? ? , ? 3) .
1 e
1 e n m

????6 分

(Ⅱ)解:当 a ?

e ?

? 2 时, ( a ? 2 ) ? e ?
2

? 2

.若设 t ?

( t ? 1) ,则

第页

7

(a ? 2) ? (m ? n) ?
2 2

(m ? n) mn

2

?t?

1 t

? 2? e?

1 e

? 2



于是有
f ( n ) ? f ( m ) ? ln n m
? ln n m

t? ?

1 t 1 2

?e?
2

1 e
2

? ( t ? e )(1 ?

1 te

)? 0 ? t? e n m ? 1 2 ( n ? m ) ? ( n ? m )( n ? m )
2 2

( n ? m ) ? ( a ? 2 )( n ? m ) ? ln
n m
2 2

? 1

1 2

( n ? m ) ? ln
2 2

?

1 n ?m n 1 n m ( ) ? ln ? ( ? ) 2 mn m 2 m n

? ln t ?

1 (t ? ) 2 t

构造函数 g ( t ) ? ln t ?

1

1 (t ? ) 2 t

(其中 t ? e ) ,则 g ? ( t ) ?
e 2 ?

1 t

?

1 2

(1 ?

1 t
2

)? ?

( t ? 1) 2t
2

2

? 0.

所以 g ( t ) 在 [ e , ? ? ) 上单调递减, g ( t ) ? g ( e ) ? 1 ? 故 f ( n ) ? f ( m ) 的最大值是 1 ?
e 2 ? 1 2e

1 2e

. ????15 分



第页

8


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