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高二数学培优讲义空间向量的运算及空间位置关系


衡阳个性化教育倡导者

第八讲

空间向量的运算及空间位置关系

教学目标:1.了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置. 2.会推导空间两点间的距离公式. 3.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐 标表示. 4.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. 5.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.

一、知识回顾

课前热身

知识点 1.空间直角坐标系及有关概念 (1)空间直角坐标系 名称 内容 空间直角 以空间一点 O 为原点,具有相同的单位长度,给定正方向,建立三条两两垂直 坐标系 的数轴:x 轴、y 轴、z 轴,这时建立了一个空间直角坐标系 O-xyz. 坐标原点 点O 坐标轴 x 轴、y 轴、z 轴 坐标平面 通过每两个坐标轴的平面 (2)右手直角坐标系的含义: 当右手拇指指向 x 轴的正方向,食指指向 y 轴的正方向时,中指指向 z 轴的正方向. (3)空间中点 M 的坐标: 空间中点 M 的坐标常用有序实数组(x,y,z)来表示,记作 M(x,y,z),其中 x 叫做点 M 的横坐标,y 叫做点 M 的纵坐标,z 叫做点 M 的竖坐标. 建立了空间直角坐标系后,空间中的点 M 和有序实数组(x,y,z)可建立一一对应的关系. 知识点 2.空间两点间的距离 (1)设点 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则|AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2+?z1-z2?2. 特别地,点 P(x,y,z)与坐标原点 O 的距离为|OP|= x2+y2+z2. (2)设点 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)是空间中两点,则线段 AB 的中点坐标为? x1+x2 y1+y2 z1+z2? ? 2 , 2 , 2 ?.

知识点 3.空间向量的概念及运算 空间向量的概念及运算同平面向量基本相同.加减运算遵循三角形或平行四边形法则;数乘运算和数量积 运算与平面向量的数乘运算和数量积运算相同;坐标运算与平面向量的坐标运算类似,仅多出了一个竖坐 标

知识点 4.空间向量的有关定理 (1)共线向量定理:对空间任意两个向量 a,b(b≠0),a∥b 的充要条件是存在实数 λ,使得 a=λb. (2)共面向量定理:如果两个向量 a,b 不共线,那么向量 p 与向量 a,b 共面的充要条件是存在惟一的 有序实数对(x,y),使 p=xa+yb. (3)空间向量基本定理:如果三个向量 a,b,c 不共面,那么对空间任一向量 p,存在有序实数组{x,y, z},使得 p=xa+yb+zc.其中,{a,b,c}叫做空间的一个基底.

衡阳个性化教育倡导者

知识点 5.两个向量的数量积(与平面向量基本相同)

(1)两向量的夹角:已知两个非零向量 a,b,在空间中任取一点 O,作 OA =a, OB =b,则角∠AOB π 叫做向量 a 与 b 的夹角,记作〈a,b〉 .通常规定 0≤〈a,b〉≤π.若〈a,b〉= ,则称向量 a,b 互相垂 2 直,记作 a⊥b. (2)两向量的数量积: 两个非零向量 a,b 的数量积 a· b=|a||b|cos〈a,b〉 . (3)向量的数量积的性质: ①a· e=|a|cos〈a,e〉 ; ②a⊥b?a· b=0; ③|a|2=a· 2; a=a ④|a· b|≤|a||b|. (4)向量的数量积满足如下运算律: ①(λa)· b=λ(a· b); ②a· b=b· a(交换律); ③a· (b+c)=a· b+a· c(分配律). 知识点 6.空间向量的坐标运算 (1)设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3). a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3), a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3), λa=(λa1,λa2,λa3),a· 1b1+a2b2+a3b3. b=a a⊥b?a1b2+a2b2+a3b3=0; a∥b?a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R); a1b1+a2b2+a3b3 a· b cos〈a,b〉= = 2 2 . |a|· |b| a1+a2+a2+ b2+b2+b2 3 1 2 3

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? ? ??? ??? ??? ? AB = OB - OA =(x2-x1,y2-y1,z2-z1). 例题辨析 推陈出新

(2)设 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则

[例 1] 已知点 M(3,2,1),N(1,0,5),求: (1)线段 MN 的长度; (2)到 M,N 两点的距离相等的点 P(x,y,z)的坐标满足的条件. [自主解答] (1)根据空间两点间的距离公式得线段 MN 的长度 MN= ?3-1?2+?2-0?2+?1-5?2=2 6, 所以线段 MN 的长度为 2 6. (2)因为点 P(x,y,z)到 M,N 的距离相等,所以有 ?x-3?2+?y-2?2+?z-1?2 = ?x-1?2+?y-0?2+?z-5?2, 化简得 x+y-2z+3=0, 因此,到 M,N 两点的距离相等的点 P(x,y,z)的坐标满足的条件是 x+y-2z+3=0.

变式练习 1.已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BAC=90° ,AB=AC=AA1=2,M 为 BC1 的中点,N 为 A1B1 的中点,求|MN|.

衡阳个性化教育倡导者 解:如图,以 A 为原点,AB,AC,AA1 为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系 Axyz, 则 B(2,0,0),C1(0,2,2),A1(0,0,2),B1(2,0,2), ∴N(1,0,2),M(1,1,1), ∴|MN|= ?1-1?2+?0-1?2+?2-1?2= 2.

???? 1 ??? 1 ???? ? ①化简 AO - AB - AD =________; 1 2 2 ??? ???? ???? ? ???? ? ???? ? ②用 AB , AD , AA 表示 OC1 ,则 OC1 =________. 1

[例 2] (1)如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 为 AC 的中点.

???? ???? ??? ???? ? AO = AO + OA = A1 A . 1 ??? 1 ??? 1 ??? ???? ? ? ? ② OC = AC = ( AB + AD ), 2 2 ? ? ? ???? ??? ???? 1 ??? ???? ???? 1 ??? 1 ???? ???? ? ? ∴ OC1 = OC + CC1 = ( AB + AD )+ AA = AB + AD + AA . 1 1 2 2 2

(2)向量 a=(3,5,-4),b=(2,1,8).计算 2a+3b,3a-2b 的值. ???? 1 ??? 1 ???? ???? 1 ??? ???? ???? ? ? [自主解答] (1)① AO - AB - AD = AO - ( AB + AD )= AO - 1 1 1 2 2 2

(2)解:2a+3b=2(3,5,-4)+3(2,1,8)=(6,10,-8)+(6,3,24)=(12,13,16). 3a-2b=3(3,5,-4)-2(2,1,8) =(9,15,-12)+(4,2,16)=(13,17,4). ? ???? 1 ??? 1 ???? ???? [答案] (1)① AA ② AB + AD + AA 1 1 2 2

??? ? ???? 2 ???? ??? ? ???? ? ???? 本例中(1)条件不变, 结论改为: E 是棱 DD1 上的点, DE = DD1 , EO =x AB +y AD +z AA , 设 且 若 1 3 试求 x,y,z 的值. ??? ??? ???? ? ? ? ???? ? 2 ???? 1 ??? 解: EO = ED + DO =- DD1 + ( DA + DC ) 3 2 ? ???? 1 ???? 1 ??? 2 =- AA - AD + AB , 3 1 2 2 2 1 1 由条件知,x=- ,y=- ,z= . 3 2 2
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变式练习 2.如图所示,已知空间四边形 ABCD 中,向量 AB =a, AC =b, AD =c,若 M 为 BC 中点,G 为△BCD 的重心,试用 a、b、c 表示下列向量: (1) DM ;(2) AG .

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? 1 ???? ??? ???? ? ? ? ???? 1 ??? ??? ? ? 解:(1)在△ADM 中, DM = DA + AM ,由线段中点的向量表示知 AM = ( AB + AC )= (a+b), 2 2
由相反向量的概念知 DA =- AD =-c. ???? ??? ???? 1 ? ? ? 所以 DM = DA + AM = (a+b)-c 2 1 = (a+b-2c); 2

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???? ???? ???? ? 2 ???? (2)由三角形重心的性质,得 AG = AD + DG =c+ DM 3 ? 2?1 ??? 1 ???? ? =c+ ?2 DB +2 DC ? 3

? ???? ? ???? ??? 1 ??? 1 =c+ ( AB - AD + AC - AD )=c+ (a+b-2c) 3 3
1 = (a+b+c). 3

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[例 3] 已知 E,F,G,H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB,BC,CD,DA 的中点,用向 量法证明: (1)E,F,G,H 四点共面; (2)BD∥平面 EFGH. ??? ??? ??? ??? 1 ??? ??? ? ? ? ? ? ? ??? ??? ? ? [自主解答] (1)连接 BG,则 EG = EB + BG = EB + ( BC + BD )= EB + BF 2 + EH = EF + EH , 由共面向量定理的推论知:E、F、G、H 四点共面. ???? ???? ??? 1 ???? 1 ??? 1 ???? ??? ? ? ? 1 ??? ? (2)因为 EH = AH - AE = AD - AB = ( AD - AB )= BD ,所以 EH∥BD. 2 2 2 2 又 EH?平面 EFGH,BD?平面 EFGH, 所以 BD∥平面 EFGH.

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变式练习 3.证明三个向量 a=-e1+3e2+2e3,b=4e1-6e2+2e3,c=-3e1+12e2+11e3 共 面. 证明:若 e1,e2,e3 共面,显然 a,b,c 共面; 若 e1,e2,e3 不共面,设 c=λa+ub, 即-3e1+12e2+11e3=λ(-e1+3e2+2e3)+u(4e1-6e2+2e3), 整理得-3e1+12e2+11e3=(4u-λ)e1+(3λ-6u)e2+(2λ+2u)e3. 由空间向量基本定理可知

?4u-λ=-3, ? ?3λ-6u=12, ?2λ+2u=11, ?

?λ=5, ? 解得? 1 ?u=2, ?

1 即 c=5a+ b,则三个向量共面. 2

[例 4] 如图所示,直三棱柱 ABC-A1B1C1,底面△ABC 中,CA=CB=1,∠BCA=90° , 棱 AA1=2,M、N 分别是 A1B1、A1A 的中点. (1)求 BN 的长; (2)求异面直线 BA1 与 CB1 所成角的余弦值; (3)求证:A1B⊥C1M.

??? ? ??? ??? ? ? ??? ???? ??? ???? ? ? =( BA + AN )·BA + AN ) ( ???? ??? ? ??? ???? ? AN =| BA |2+| AN |2+2 BA · =2+1=3, ??? ? ∴| BN |= 3. ? ??? ???? ??? ???? ? ???? ???? (2)∵ BA1 · 1 =( BA + AA )·CB + BB1 ) ( CB 1
[自主解答] (1)| BN |2= BN · BN

? ??? ??? ??? ???? ???? ??? ???? ???? ? ? ? = BA · + BA · 1 + AA · + AA · 1 CB CB BB 1 1 BB
= 2· cos 135° 1· +0+0+4=3, 又∵| BA1 |2=( BA + AA )2 1

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=| BA |2+2 BA · 1 +| AA |2 AA 1 =2+0+4=6,∴| BA1 |= 6. 又∵| CB1 |2=( CB + BB1 )2

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=| CB |2+2 CB · 1 +| BB1 |2 BB =1+0+4=5,∴| CB1 |= 5.

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???? ???? ???? ???? CB BA1 · 1 3 30 ∴cos〈 BA1 , CB1 〉= ???? ???? = = , 10 6· 5 | BA1 || CB1 |
∴异面直线 BA1 与 CB1 所成角的余弦值为

(3)证明: A B · 1M =( A A + AB )·C1 A + A1M ) ( C 1 1 1 = A A · 1 A + A A · 1M + AB · 1 A + AB · 1M A A C 1 C 1 1 1 2 =0+0+1· 2· 135° 2· · 0° cos + cos =0. 2 ∴ A B ⊥ C1M ,∴A1B⊥C1M. 1

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30 . 10

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变式练习 4.已知空间三点 A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4).设 a= AB ,b= AC , (1)求 a 和 b 的夹角 θ 的余弦值; (2)若向量 ka+b 与 ka-2b 互相垂直,求 k 的值. 解:∵A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4), a= AB ,b= AC , ∴a=(1,1,0),b=(-1,0,2). a· -1+0+0 b 10 (1)cos θ= = =- , |a||b| 10 2× 5 10 ∴a 和 b 的夹角 θ 的余弦值为- . 10 (2)∵ka+b=k(1,1,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2), ka-2b=(k+2,k,-4), 且(ka+b)⊥(ka-2b), ∴(k-1,k,2)· (k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k2-8=2k2+k-10=0. 5 则 k=- 或 k=2. 2

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三、归纳总结

方法在握

归纳 2 个原则——建立空间直角坐标系的原则 (1)合理利用几何体中的垂直关系,特别是面面垂直; (2)尽可能地让相关点落在坐标轴或坐标平面上. ? 1 个方法——利用向量法求解立体几何问题的一般方法

衡阳个性化教育倡导者 利用向量解立体几何题的一般方法:把线段或角度转化为向量表示,用已知向量表示未知向量,然后 通过向量的运算或证明去解决问题.在这里,恰当地选取基底可使向量运算简捷,或者是建立空间直角坐 标系,使立体几何问题成为代数问题.另外,熟练准确地写出空间中任一点的坐标是解决问题的基础. ? 1 个注意点——空间向量数量积计算的一个注意点 空间向量的数量积的计算要充分利用向量所在图形,巧妙地进行向量的分解与合成,分解时并不是漫 无目的的,而要充分利用图形的特点及其含有的特殊向量,这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知模 的向量.

四、拓展延伸

能力升华

如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60° , PA=AB=BC,E 是 PC 的中点.证明: (1)AE⊥CD; (2)PD⊥平面 ABE. 证明:AB、AD、AP 两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系,设 PA=AB=BC=1,则 P(0,0,1). (1)∵∠ABC=60° , ∴△ABC 为正三角形. 1 3 1 3 1 ∴C? , ,0?,E? , , ?. ?2 2 ? ?4 4 2 ? 设 D(0,y,0),由 AC⊥CD,得 AC · =0, CD 2 3 2 3 ? 即 y= ,则 D?0, ,0 , 3 3 ? ? ??? ? 1 3 ? ??? ?1 3 1? ? ? ∴ CD = - , ,0 .又 AE = , , , ? 2 6 ? ?4 4 2? ? ??? ??? ? 1 1 3 3 CD ∴ AE · =- × + × =0, 2 4 6 4 ∴ AE ⊥ CD ,即 AE⊥CD.

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??? ? 2 3 ? (2)法一:∵P(0,0,1),∴ PD =?0, ,-1 . 3 ? ? ??? ??? ? ? 3 2 3 1 PD 4 又 AE · = × + ×(-1)=0, 3 2
??? ??? ? ? ??? ? ??? ??? ? ? AB ∵ AB =(1,0,0),∴ PD · =0.
∴ PD ⊥ AE ,即 PD⊥AE.

∴PD⊥AB,又 AB∩AE=A,∴PD⊥平面 AEB. ??? ? ??? ? 1 3 1 法二: AB =(1,0,0), AE =? , , ?, ?4 4 2? 设平面 ABE 的一个法向量为 n=(x,y,z), ?x=0, 则?1 3 1 ?4x+ 4 y+2z=0, ?

?

令 y=2,则 z=- 3,∴n=(0,2,- 3). ??? ? ??? ? 3 2 3 ? ∵ PD =?0, ,-1 ,显然 PD = 3 n. 3 ? ?

??? ? ??? ? ∴ PD ⊥平面 ABE,即 PD⊥平面 ABE.
∵ PD ∥n,

衡阳个性化教育倡导者

变式练习正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 为面 A1B1C1D1 的中心,求证:AP⊥B1P. 1 1 证明:建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz,设棱长为 1,则 A(1,0,0),B1(1,1,1),P?2,2,1?,由两 ? ? 1?2 ? 1?2 6 ?1- + 0- +?0-1?2= , 点间的距离公式得|AP|= ? 2? ? 2? 2 1?2 ? 1?2 2 ?1- + 1- +?1-1?2= , |B1P|= ? 2? ? 2? 2 |AB1|= ?1-1?2+?0-1?2+?0-1?2= 2, ∴|AP|2+|B1P|2=|AB1|2,∴AP⊥B1P.

五、课后作业

巩固提高

一、选择题 1.已知点 A(-3,0,-4),点 A 关于原点的对称点为 B,则|AB|等于( ) A.12 B.9 C.25 D.10 解析: D 点 A 关于原点对称的点 B 的坐标为(3,0,4), 选 故|AB|= ?-3-3?2+?0-0?2+?-4-4?2=10. 15 2.已知向量 a=(2,-3,5)与向量 b=?3,λ, 2 ?平行,则 λ=( ) ? ? 2 9 A. B. 3 2 9 2 C.- D.- 2 3 2 -3 5 9 解析:选 C a∥b? = = ?λ=- . 3 λ 15 2 2

3.已知向量 a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且 ka+b 与 2a-b 互相垂直,则 k 的值为( ) 1 A.1 B. 5 3 7 C. D. 5 5 解析:选 D ka+b=(k-1,k,2),2a-b=(3,2,-2), 7 由题意知,3(k-1)+2k-4=0,解得 k= . 5 4.已知 a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若 a、b、c 三个向量共面,则实数 λ 等于( 62 63 A. B. 7 7 64 65 C. D. 7 7

)

?7=2m-n, ? 解析: D 由于 a, c 三个向量共面, 选 b, 所以存在实数 m, 使得 c=ma+nb, n 即有?5=-m+4n, ?λ=3m-2n, ?
33 17 65 解得 m= ,n= ,λ= . 7 7 7 =b, A A =c,则下列向量中与 B1M 相等的向量是( 1

5. 如图, 在底面为平行四边形的四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中, 是 AC 与 BD 的交点, AB =a, 1D1 M 若 A

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)

衡阳个性化教育倡导者 1 1 B. a+ b+c 2 2 1 1 D.- a- b+c 2 2 ? ? ? ? ????? ???? ???? ???? 1 ??? ???? 1 ??? ??? 解析:选 A B1M = B1B + BM = B1B + BD = B1B + ( BA + BC )= 2 2 ???? 1 ??? ????? ????? ? 1 1 1 1 A1 A +2(- AB + A1D1 )=c-2a+2b,即 B1M =-2a+2b+c. 6.(2013· 武汉模拟)二面角 α-l-β 为 60° ,A、B 是棱 l 上的两点,AC、BD 分别在半平面 α、β 内,AC ⊥l,BD⊥l,且 AB=AC=a,BD=2a,则 CD 的长为( ) A.2a B. 5a C.a D. 3a 解析:选 A ∵AC⊥l,BD⊥l, 1 1 A.- a+ b+c 2 2 1 1 C. a- b+c 2 2

BA ∴〈 AC , BD 〉=60° ,且 AC · =0, AB · =0, BD

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∴ CD = CA + AB + BD ,∴| CD |= ? CA + AB + BD ?2 = a2+a2+?2a?2+2a· 2acos 120° =2a. 二、填空题 7.已知点 P 在 z 轴上,且满足|OP|=1(O 为坐标原点),则点 P 到点 A(1,1,1)的距离为________. 解析:由题意知,P(0,0,1)或 P(0,0,-1). ∴|PA|= ?0-1?2+?0-1?2+?1-1?2= 2. 或|PA|= ?1-0?2+?1-0?2+?-1-1?2= 6. 答案: 2或 6 8.已知 O(0,0,0),A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),点 Q 在直线 OP 上运动,当 QA · 取最小值时,点 QB Q 的坐标是________. 解析:由题意,设 OQ =λ OP ,即 OQ=(λ,λ,2λ), 则 QA =(1-λ,2-λ,3-2λ), QB =(2-λ,1-λ,2-2λ), ∴ QA · =(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ) QB 4 4 4 8 2 4 =6λ2-16λ+10=6?λ-3?2- ,当 λ= 时有最小值,此时 Q 点坐标为?3,3,3?. ? ? 3 ? ? 3 4 4 8 答案:?3,3,3? ? ? 9.已知 a=(cos θ,1,sin θ),b=(sin θ,1,cos θ),则向量 a+b 与 a-b 的夹角是________. 解析:∵(a+b)· (a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2 =(cos2θ+1+sin2θ)-(sin2θ+1+cos2θ)=0, ∴(a+b)⊥(a-b),即向量 a+b 与 a-b 的夹角为 90° . 答案:90° 三、解答题 10.已知向量 a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),点 A(-3,-1,4),B(-2,-2,2). (1)求|2a+b|; (2)在直线 AB 上,是否存在一定点 E,使得 OE ⊥b?(O 为原点). 解:(1)2a+b=(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5), 故|2a+b|= 02+?-5?2+52=5 2. (2) OE = OA + AE = OA +t AB =(-3,-1,4)+t(1,-1,-2) =(-3+t,-1-t,4-2t), 若 OE ⊥b,则 OE · b=0, 9 所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得 t= , 5

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??? ? 因此存在点 E,使得 OE ⊥b, 6 14 2 此时 E 点坐标为?-5,- 5 ,5?. ? ?

衡阳个性化教育倡导者

11.(2012· 合肥模拟)如图 ABCD-A1B1C1D1 是正方体,M、N 分别是线段 AD1 和 BD 的中点. (1)证明:直线 MN∥平面 B1CD1; (2)设正方体 ABCD-A1B1C1D1 棱长为 a,若以 D 为坐标原点,分别以 DA,DC, DD1 所在的直线为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,试写出 B1、M 两点的坐 标,并求线段 B1M 的长. 解:(1)连接 CD1、AC,则 N 是 AC 的中点,在△ACD1 中,又 M 是 AD1 的中点, ∴MN∥CD1.又 MN?平面 B1CD1,CD1?平面 B1CD1,∴MN∥平面 B1CD1. a a (2)由条件知 B1(a,a,a),M?2,0,2?, ? ? a?2 a?2 ?a- +?a-0?2+?a- = 6a, ∴|B1M|= ? 2? ? 2? 2 6 即线段 B1M 的长为 a. 2 12.如图,在棱长为 a 的正方体 OABC-O1A1B1C1 中,E、F 分别是棱 AB、BC 上的动点,且 AE=BF =x,其中 0≤x≤a,以 O 为原点建立空间直角坐标系 Oxyz. (1)写出点 E、F 的坐标; (2)求证:A1F⊥C1E; ???? 1 ???? ???? ? ? (3)若 A1、E、F、C1 四点共面,求证: A F = AC1 + A E . 1 1 2 1 解:(1)E(a,x,0),F(a-x,a,0). (2)证明:∵A1(a,0,a)、C1(0,a,a), ∴ A F =(-x,a,-a), C1E =(a,x-a,-a), 1 ∴ A F · 1E =-ax+a(x-a)+a2=0, C 1 ∴A1F⊥ C1E ,∴A1F⊥C1E. (3)∵A1、E、F、C1 四点共面, ∴ A E 、 AC1 、 A F 共面. 1 1 1

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选 A E 与 AC1 为一组基向量,则存在唯一实数对(λ1,λ2),使 A F =λ1 AC1 +λ2 A E , 1 1 1 1 1 即(-x,a,-a)=λ1(-a,a,0)+λ2(0,x,-a)=(-aλ1,aλ1+xλ2,-aλ2),

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?-x=-aλ1 ? 1 ∴?a=aλ1+xλ2, 解得 λ1= ,λ2=1. 2 ?-a=-aλ ? 2 ???? 1 ???? ???? ? ? 于是 A F = AC1 + A E . 1 1 1 2


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高中数学选修2-1-空间向量与立体几何
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