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3.4.3 简单线性规划的应用 课件(北师大版必修5)


第三章 不等式

4.3 简单线性规划的应用

解线性规划应用问题的一般步骤:
1)理清题意,列出表格:

2)设好变元并列出不等式组和目标函数
3)由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域;

画出线性约束条件所表示的可行域,画图力保准确;
4)在可行域内求目标函数的

最优解(注意整数解的调整) 法1:移-在线性目标函数所表示的一组平行线中,利用平移的 方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线; 法2:算-线性目标函数的最大(小)值一般在可行域的顶点处 取得,也可能在边界处取得(当两顶点的目标函数值相等时最优 解落在一条边界线段上)。此法可弥补作图不准的局限。 5)还原成实际问题 (准确作图,准确计算)

应用1-有关二元一次代数式取值范围

?4 ? x ? y ? 6 例1、若实数x,y满足? ?2 ? x ? y ? 4
求2x+y的取值范围。

① ②

解:由①、②同向相加可得:

? 4 ? y ? x ? ?2

由②得 6 ? 2 x ? 10即3 ? x ? 5 将上式与①同向相加得 ③+④得

③ ④

0? y?2

6 ? 2 x ? y ? 12

以上解法正确吗?为什么?

?4 ? x ? y ? 6 首先:我们画出 ? ?2 ? x ? y ? 4 当x=3,y=0时,得出2x+y的 y 最小值为6,但此时x+y=3,点 6 (3,0)不在不等式组的所表 示的平面区域内,所以上述 5 4 解答明显错了. 3 从图中我们可以看出

表示的平面区域

x? y ?2 x? y ?4
D A C 3 4B 5 6 7 x

?3 ? x ? 5 没错 解得 ? ?0 ? y ? 2
但不等式 ?

2 1 -2 -1 0 -1 -2 -3 1 2

4? x? y ?6 ? ?2 ? x ? y ? 4
?3 ? x ? 5 ?0 ? y ? 2

与不等式 ?

x? y ?4

x? y ?6

所表示的平面区域却不同? (扩大了许多!)

-4

?4 ? x ? y ? 6 例1、若实数x,y满足? ?2 ? x ? y ? 4
求2x+y的取值范围。

① ②

通过分析,我们知道上述解法中,6 ? 2 x ? 10及0 ? y ? 2 是对的,但用x的最大(小)值及y的最大(小)值来 确定2x+y的最大(小)值却是不合理的。

怎么来解决这个问题和这一类问题呢?这就 是我们今天要学习的线性规划问题。

我们设我们设z=2x+y方程变形为y=-2x+z,等式表示斜率为-2, 纵截距为z的直线,把z看成参数,方程表示的是一组平行线.
要求z的范围,现在就 转化为求这一组平行线 x ? y ? 4 6 y

x? y ?6

中,与阴影区域有交点, 且在y轴上的截距达到 最大和最小的直线.

5 4 3 2 1 -1 0 -1 -2 -3 -4 ? 1 2 A 3 4B 5 D C 6

x? y ?2 x? y ?4

z ? 2 ? 5 ? 1 ? 11 所以 z min ? 2 ? 3 ? 1 ? 7 z max ? 2 ? 5 ? 1 ? 11

由图,我们不难看出,这 种直线的纵截距的最小值为 过A(3,1)的直线,纵截距最 大为过C(5,1)的直线。 过A(3,1)时,因为z=2x+y,所 以 z ? 2 ? 3 ? 1 ? 7 -2 同理,过B(5,1)时,因为 z=2x+y,所以

7

x

l0

l1

l l 2

例1、若实数x,y满足

解:作线形约束条件所表 示的平面区域,即如图所 示四边形ABCD。 x? y ?4 求得 A(3,1) B(4,0) C(5,1) D(4,2) 作直线 l0: 2x ? y ? 0,

?4 ? x ? y ? 6 ? ?2 ? x ? y ? 4
y 6 5 4 3

求2x+y的取值范围

x? y ?6

x? y ?2 x? y ?4
D

将直线 l 0平移,平移到过A点 2 与 l 0 的平行线 l1 重合时,可使 1 z ? 2 x ? y 达到最小值, -1 0 当 l 平移过C点时,与 l -2 0 0 的平行线 l 2 重合时,可使 z ? 2 x ? y 达到最大值。 所以,z min ? 2 ? 3 ? 1 ? 7
-2 -3

A
1 ? 2 3 4B 5

C 6 7 x

-1

z max ? 2 ? 5 ? 1 ? 11

-4

l0

l1

l2

例1、若实数x,y满足

?4 ? x ? y ? 6 ? ?2 ? x ? y ? 4

求2x+y的取值范围

解法2:由待定系数法: 设 2x+y=m(x+y)+n(x-y) =(m+n)x+(m-n)y ∴m+n=2,m-n=1 m=3/2 ,n=1/2

∴ 2x+y=3/2×(x+y)+ 1/2 ×(x-y)
∵4≤x+y≤6,2≤x-y≤4

∴7≤2x+y≤11

应用2-有关利润最高、效益最大等问题
例2、某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1t需
消耗 A 种矿石 10t 、 B 种矿石 5t 、煤 4t ;生产乙种产品 1 吨需 消耗 A种矿石 4t、 B种矿石 4t 、煤 9t.每 1t 甲种产品的利润是 600 元 , 每 1t 乙种产品的利润是 1000 元 . 工厂在生产这两种产 品的计划中要求消耗A种矿石不超过300t、消耗B种矿石不 超过 200t 、消耗煤不超过 360t. 甲、乙两种产品应各生产多 少(精确到0.1t),能使利润总额达到最大? 列表:设生产甲、乙两种产品.分别为x t、yt,利润总额为z元
消耗量 产品 资源

甲产品 (1t)

乙产品 (1t)

资源限额 ( t)

A种矿石(t) B种矿石(t) 煤(t) 利润(元)

10 5 4 600

4 4 9 1000

300

200 360

例题分析
消耗量 产品

列表:资源
A种矿石(t)

甲产品 xt (1t)

乙产品 (1t)

yt

资源限额 ( t)

B种矿石(t)
煤(t) 利润(元)

10 5 4 600

4 4 9 1000

300
200 360

把题中限制条件进行转化:
? 10x+4y≤300 ? 5x+4y≤200 ? ? ? 4x+9y≤360 ? x≥0 ? ? ? y ≥0

设生产甲、乙两种产品.分别为x t、yt,利润总额为z元

约束条件

目标函数:

z=600x+1000y.

例题分析
解:设生产甲、乙两种产品.分别为x 10x+4y≤300 那么 5x+4y≤200 4x+9y≤360 x≥0 y ≥0 t、yt,利润总额为z=600x+1000y. 元,

{

y

75

z=600x+1000y.
作出以上不等式组所表示的可行域
l l

作 出 一 组 平 行 直 线

50 40

M (12.4,34.4) 4x+9y=360

600x+1000y=t,
经过可行域上的点M时,目标函数 在y轴上截距最大.
10

此时z=600x+1000y取得最大值. 0 5x+4y=200 由 4x+9y=360 解得交点M的坐标为(12.4,34.4)

{

10 20 30 40 5x+4y=200

90

x

10x+4y=300 600x+1000y=0

答:应生产甲产品约12.4吨,乙产品34.4吨,能使利润总额达到最大。

应用3-有关成本最低、运费最少等问题
例3、营养学家指出,成人良好的日常饮食应该至少提供
0.075kg的碳水化合物,0.06kg的蛋白质,0.06kg的脂肪.1kg食物 A含有0.105kg碳水化合物,0.07kg蛋白质,0.14kg脂肪,花费28元; 而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物,0.14kg蛋白质,0.07kg脂肪, 花费21元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求,同时使花费 最低,需要同时食用食物A和食物B多少kg?
1 4 得点M的坐标为 x ? , y ? 7 7

? zmin ? 28x ? 21y ? 16

答:每天需要同时食用食物A约0.143 kg,食物B约 0.571 kg,能够满足日常饮食要求, 且花费最低16元.

解:设每天食用xkg食物A, ykg食物B,总花费为z元, 则目标函数为z=28x+21y且x、y满足约束条件
?0.105x? 0.105y? 0.075 ?7 x ? 7 y ? 5 ?0.07x? 0.14y? 0.06 ?7 x ? 1 4 y ? 6 ? ? ? ,整理为 ?1 4 x ? 7 y ? 6 0.14x ? 0.07y ? 0.06 ? ? ? ? ?x ? 0,y ? 0 ?x ? 0 , y ? 0

3 21 如图,作直线 l0 ,当直线 l0 : 28x ? 21y ? 0

作出约束条件所表示的可行域, 如右图所示 4 z ?目标函数可变形为 y ? ? x ? ,

平移经过可行域时,在 点M处达到 z y 轴上截距 21 的最小值,即此时 7x ? 7 y ? 5 z 有最小值.解方程组? ? ?14 x ? 7 y ? 6

线性规划的应用练习:
? 1、已知:-1≤a+b≤1,1≤a-2b≤3,求a+3b的取值

范围。
解法1:由待定系数法: 设 a+3b=m(a+b)+n(a-2 b) ∴-2≤2a+2 b≤2,

解法2:∵-1≤a+b≤1,1≤a-2 b≤3

=(m+n)a+(m-2n)b
∴m+n=1,m-2n=3 m=5/3 ,n=-2/3

-3≤2 b-a≤-1
∴-1/3≤a≤5/3 -4/3≤b≤0

∴ a+3b=5/3×(a+b)-2/3×(a-2 b)
∵-1≤a+b≤1,1≤a-2 b≤3 ∴-11/3≤a+3 b≤1

∴-13/3≤a+3 b≤5/3

已知:-1≤a+b≤1,1≤a-2b≤3,求a+3b的取值 范围。
解法2 约束条件为:
?a ? b ? ?1 ?a ? b ? 1 ? ? ?a ? 2b ? 1 ? ?a ? 2b ? 3
b

D O A a

P
B

C

目标函数为:z=a+3b
由图形知:-11/3≤z≤1 即 -11/3≤a+3 b≤1

2.某家具厂有方木材 90m3,木工板 600m3 ,准备加工成书桌和书橱出售,已知 生产每张书桌需要方木料 0.1m3 、木工板 2m3 ;生产每个书橱需要方木料 0.2m3 , 木工板1m3,出售一张书桌可以获利80元,出售一张书橱可以获利120元;
(1)怎样安排生产可以获利最大? (2)若只生产书桌可以获利多少? (3)若只生产书橱可以获利多少?

求解:
600

y
A(100,400)

(1)设生产书桌x张,书橱y张,利 润为z元, 则约束条件为

{

0.1x+0.2y≤90 2x+y≤600 x,y∈N*

450

x+2y-900=0
300

Z=80x+120y 0 作出不等式表示的平面区域, 将直线z=80x+120y平移可知: 当生产 100 张书桌, 400 张书橱时利润最大为 z=80×100+120×400=56000元

x
900

2x+y-600=0

(2)若只生产书桌可以生产300张,用完木工板,可获利 24000元;
(3)若只生产书橱可以生产450张,用完方木料,可获利54000元。

3、某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱,已知生产甲种棉 纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨;生产乙 种棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨,每1吨 甲种棉纱的利润是600元,每1吨乙种棉纱的利润 是900元,工厂在生产这两种棉纱的计划中要求 消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250 吨.甲、乙两种棉纱应各生产多少(精确到吨),能 使利润总额最大?
资源 一级子棉(吨) 二级子棉(吨) 利润(元)

产品 甲种棉纱(吨) 乙种棉纱(吨) 资源限额(吨) x y
2 1 600 1 2 900 300 250

? 解:设生产甲、乙两种

棉纱分别为x吨、y吨, 利润总额为z元,则
?2x ? y ? 300 ?x ? 2 y ? 250 ? ? ?x ? 0 ? ?y ? 0
y
300 2x+y=300 125

解方程组 ?2x ? y ? 300 ? ?x ? 2 y ? 250 得点M的坐标 x=350/3≈117 y=200/3≈67

M( 150

Z=600x+900y

350 200 , ) 3 3 x+2y=250 答:应生产甲、 250

O

作出可行域,可知直 线Z=600x+900y通过 点M时利润最大。

x 乙两种棉纱分别 为117吨、67吨, 能使利润总额达 到最大。

4、咖啡馆配制两种饮料.甲种饮料每杯含奶粉9g 、咖啡 4g、糖3g,乙种饮料每杯含奶粉4g 、咖啡5g、糖10g.已知 每天原料的使用限额为奶粉3600g ,咖啡2000g 糖3000g, 如果甲种饮料每杯能获利0.7元,乙种饮料每杯能获利1.2元, 每天在原料的使用限额内饮料能全部售出,每天应配制两 种饮料各多少杯能获利最大? 解:将已知数据列为下表:
甲产品 产品 消耗量 (1 杯) 资源 奶粉(g) 9 咖啡(g) 糖(g) 利润(元) 乙产品(1 杯) 资源限额(g)

4 5 10 1.2

3600 2000 3000

4 3 0.7

设每天应配制甲种饮料x杯,乙种饮料y杯,则

作出可行域: 目标函数为:z =0.7x +1.2y 作直线l:0.7x+1.2y=0, 把直线 l 向右上方平移至 l1 的位置 时, 直线经过可行域上的点C,且与原 点距离最大, 此时z =0.7x +1.2y取最大值 解方程组

?9 x ? 4 y ? 3600 ?4 x ? 5 y ? 2000 ? ? ?3 x ? 10 y ? 3000 ?x ? 0 ? ? ?y ? 0

y _ 900 _

400 _ 300 _ 7 x + 12 y = 0 _ 0 _ 400 _ C ( 200 , 240 ) _ 3 x + 10 y = 3000 _
_ 0

1000 5 _00 _ 4 x + 5 y = 2000 _

x _

, ?4 x ? 5 y ? 2000 ? , ?3x ? 10y ? 3000

9 _ x + 4 y = 3600

得点C的坐标为(200,240)

应用3-有关成本最低、运费最少等问题
例4、已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和300万 吨,需经过东车站和西车站两个车站运往外地.东车站每 年最多能运280万吨煤,西车站每年最多能运360万吨煤, 甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和 1.5元/吨,乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为 0.8元/吨和1.6元/吨.煤矿应怎样编制调运方案,能使总运 费最少?
煤矿 车站 东车站 西车站 产量(万吨) 甲煤矿 (元/吨) 1 1.5 200 乙煤矿 (元/吨) 0.8 1.6 300 运量 (万吨) 280 360

解:设甲煤矿运往东车站x万吨,乙煤矿运往 东车站y万吨,则约束条件为:
?x ? 0 280 P ?y ? 0 ? ? ? x ? y ? 280 140 ? ?(200 ? x) ? (300 ? y ) ? 360
y 煤矿调运问题

P: (0.00, 280.00) z= 780-0.5?xP-0.8?yP = 556.00

140 O 目标函数为: z=[x+1.5(200-x)]+[0.8y+1.6(300-y)] =780-0.5x-0.8y (万元)

280

x

答案:当 x=0,y=280时,即甲煤矿运往东车站0 吨,西车站200吨;乙煤矿运往东车站280吨,西 车站20吨.总运费最少 556万元。

复习回顾:
二元一次不等式 表示平面区域 直线定界, 特殊点定域 约束条件 目标函数 简单的线性规划 可行解 可行域 求解方法:画、 移、求、答 最优解

应 用


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