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理第一章之导数的应用练习题1


导数的应用练习题 1
1.判断下列函数的单调性,并求出单调区间. (1) f ( x) ? x3 ? 3x ; (2) f ( x) ? x2 ? 2 x ? 3

(3) f ( x) ? sin x ? x x ? (0, ? ) ;

(4) f ( x) ? 2x3 ? 3x2 ? 24x ? 1

2.求证函数 y ? 2x3 ? 3x2 ?12x ? 1 在区间 ? ?2,1? 内是减函数.

3.求下列函数的单调区间 (1)f(x)=2x3-6x2+7 (3) f(x)=sinx , x ? [0,2? ] (2)f(x)= +2x (4) y=xlnx

1 x

2 4.已知函数 f ( x) ? 4 x ? ax 2 ? x 3 ( x ? R ) 在区间 ??1,1? 上是增函数,求实数 a 的 3 取值范围.
1 5.求 f ? x ? ? x 3 ? 4 x ? 4 的极值 3

6.求下列函数的极值: (1) f ( x) ? 6 x2 ? x ? 2 (2) f ( x) ? x3 ? 27 x

(3) f ( x) ? 6 ? 12x ? x3

(4)

f ( x) ? 3 x ? x 3
1

7.1)函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? 3x ? 9 在 x ? ?3 处取极值,则 a ? 2)函数 y ? x3 ? 6 x ? a 的极大值为 ,极小值为 。



3) f ( x) ? x3 ? ax2 ? (a ? 6) x ? 1 有极大值和极小值,则 a 的范围为 4)曲线 y ?
1 2 x ? 4 ln x 在 x=1 上的切线为 2



8.(1)函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 在 x ? 2 处有极值,并图像在 x ? 1 处的切线平 行于直线 y ? ?3x ? 2 ,求这个函数的极大值和极小值之差。

(2)设 x ? 1, x ? 2 是函数 f ( x) ? a ln x ? bx2 ? x 的两个临界点。 求(1) a 和 b 的值; (2)判断 x ? 1, x ? 2 是原函数的极大值点还是极小值点, 并说明理由。

(3)已知 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 表示的曲线过原点,且在 x ? ?1 处的切线斜率 均为 ?1。 求(1) f ( x) 的解析式; (2) f ( x) 的极大值和极小值。

9.(1)求函数 f ( x ) ?

1 3 x ? 4 x ? 4 在 ?0,3? 上的最大值与最小值。 3

2)求函数 f ( x) ? x3 ? 27x, x ???4,4? 的最大值与最小值。
2

3 3)研究函数 f ( x) ? x3 ? x, x ? ? ?1,1? 的单调性,极值及最值。 4

10.(1)函数 f ( x) ? x2 ? x, 那么 f ( x) 在 ? ?1,0? 上的最小值是 (2)当函数 y ? x ? e x 取最大值时, x ? 。



(3)函数 f ( x) 在 ? a, b? 上为增函数,则 f (a ) 是函数的最 值。

值, f (b) 是最——

(4)已知函数 f ( x) ? 2 x2 ? 6 x ? m ( m 为常数) ,在 ? ?2, 2? 上有最大 3 那么此函 数在 ? ?2, 2? 上的最小值为 。

? ? ?? 11.解答题(1)求函数 y ? sin x ? cos x 在 x ? ? ? , ? 上的最大值与最小值。 ? 2 2?

(2)三次函数 f ( x) ? x3 ? 3bx ? 3b 在 ?1, 2? 内恒为正值,求 b 的范围。

(3)已知函数 f ( x) ? ? x3 ? 3x2 ? 9x ? a ,求 (1)原函数的单调区间; (2)若原函数在 ? ?2, 2? 上的最大值为 20,则它在 ? ?2, 2? 上的最小值是多少?

3

3 2 (4)(05Ⅱ文)设 a 为实数,函数 f ( x) ? x ? x ? x ? a.

(Ⅰ)求 f (x) 的极值.(Ⅱ)当 a 在

什么范围内取值时,曲线 y ? f ( x)与x 轴仅有一个交点.

3 2 (5)(2005 山东卷)已知 x ? 1 是函数 f ( x) ? mx ? 3(m ? 1) x ? nx ? 1 的一个极

值点,其中 m, n ? R, m ? 0 , (I)求 m 与 n 的关系式; (II)求 f ( x) 的单调区间;

9.某厂生产产品 x 件的总成本 c( x) ? 1200 ? 与产品件数 x 满足: P 2 ?

2 3 x (万元),已知产品单价 P(万元) 75

k ,生产 100 件这样的产品单价为 50 万元,产量定为 x 多少件时总利润最大?(8 分)

4


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