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浅谈高三数学复习课中例题的选择


浅谈高三数学复习课中例题的选择
复习课是一种重要的课型。“复习课如何上好?”是每一位数学教师必须面对的一个 问题,尤其是高三复习课是高三数学教学的重点,更是特别关注的焦点。在高三,由于 时间的紧促,不允许我们向讲授新课一样开展教学,这就对复习课提出了更高的要求: 既要让学生在课堂上巩固基础知识、熟练掌握基本解题方法,又要保证复习进度,还要 吸引学生的学习积极性。其实,这

些要求最后都归结为复习课上选择的例题。因此,例 题的选择是否恰当对复习课的成败是至关紧要的。美国著名数学教育家波利亚说:“一 个专心的认真备课的教师能够拿出一个有意义的但又不复杂的题目,去帮助学生挖掘问 题的各个方面,使得通过这道题,就好像通过一道门户,把学生引入一个完整的理论领 域”,由此可见,教师在选择例题是要严格把关,慎之又慎,因为“例题是教学成功的 开始”。本文试以笔者在高三教学中的实践,来谈谈复习课中例题选择的一些体会,供 各位同行参考。 一 、例题的选择要有针对性和示范性。所选例题要有利于解题结论(或基础知识)的 回顾。即要针对教学目标、针对知识点、针对学生的学习现状。数学的重点内容与概念 是“双基”教学的核心内容,因而选择的例题要针对重点内容与概念,巩固“双基”, 提高能力。
o 例1 已知 ?ABC中,AB= 9,AC= 15,?BAC ? 120 ,它所在平面外一点P到 ?ABC

三个顶点的距离都是14,求点P到平面ABC 的距离。 波利亚说过: “货物充足和组织良好的知识仓库是一个解题者的重要资本”。因此, 在复习课中教师都会自觉或不自觉地将解题结论(或基础知识)穿插进来。但如果教师只 是将内容一一列举,学生却会认为这些知识以前学过,还不如自己看书, 此时,他们就 会感觉这样的上课单调乏味,提不起上课的兴趣和积极性,而在实际解题中却是经常出 错的。因此,解题结论(或基础知识)的回顾要寓于例题中。例如对于例1,在教学中笔者 并没有急于让学生完成问题的解答,而是从题中的一个已知条件(平面外一点P到 ?ABC 三个顶点的距离都是14)和解题过程中的一种解题方法(用正弦定理求 ?ABC的外接圆半 径)出发,先复习解决立体几何问题经常要用到的几个重要解题结论,即要求学生依次解 决以下几个问题: 问题1: 点P到 ?ABC三个顶点的距离都是14, 则点P在平面ABC上的射影在哪里?你还 能有其它等价的命题吗? 问题2: 点P到 ?ABC三边的距离相等, 则点P在平面ABC上的射影在哪里?你还能有其 它等价的命题吗? 问题3:如果PA ? PB,PA ? PC ,PB ? PC,则点P在平面ABC上的射影在哪里? 你还能 有其它等价的命题吗? 问题4:对于本题,一般用什么方法求 ?ABC的外接圆半径比较好?这种方法在哪里 也是经常要用到的? 对于问题3师生共同探究了命题:四面体P一ABC中,若PA ? BC,PB ? AC,则①点P在底 面ABC上的射影是 ?ABC的垂心;②PC ? AB。 通过上述四个问题的解决,学生复习巩固了:(1)如果三棱锥的三条侧棱相等或侧棱 与底而所成的角相等,那么顶点在底面上的射影一定是底面三角形的外心;如果三棱锥 的三个侧面与底面所成的二面角相等或顶点到底面各边距离相等且顶点在底面上的射影

在底面三角形的内部,那么顶点在底面上的射影是底面三角形的内心;如果三棱锥的三 条侧棱两两垂直或有两组对棱垂直,那么顶点在底面上的射影是底面三角形的垂心。(2) 用正弦定理

a b c 此方法在球问题中的求 ? ? ? 2R 求 ?ABC的外接圆半径, sin A sin B sin C

球心到截面距离也是常用的.另外,在讲问题 1 的等价命题时,笔者还顺便复习了当 ?PAB ? ?PAC 时,顶点 P 在底面 ABC 上的射影在 ?BAC 的平分线上。通过上面的复 习后,再由学生来解决例 1 已是相当容易了。 例题的安排有非常强的示范性,首先体现了主要知识点的运用,体现通法通解,以 起到加强双基的作用,再通过适当的变式引申、变式训练,以达到夯实双基、举一反三 之效。例题的安排要体现教学解题方法的训练和解题技能的培养,要揭示例题的解题规 律和体现例题的思想方法,分析例题前可适当回顾知识要点及解题的基本方法,以便例 题的学习更自然、更轻松。选题要克服贪多、贪全,既要注意到对知识点的覆盖面,又 要能通过训练让学生掌握规律,达到“以一当十”的目的。 二、 例题的选择要有可行性。即应在学生“最近发展区”内进行选择,不宜过易也 不宜过难,要把握好“度” 。选择的例题可分步设问,由浅入深,由易到难,使学生掌握 新东西,提高解题能力。 例 2 已知方程 x3 ? (2m ?1) x2 ? (3m ? 2) x ? m ? 2 ? 0 ⑴证明 x=1 是方程的根; ⑵把方程左端分解成(x-1)和 x 的二次三项式乘积形式; ⑶当 m 为何值时,方程有两个等根。 解: ⑴把 x=1 代入原方程左边, 1–(2m+1)+(3m+2)-m-2=1-2m-1+3m+2-m-2=0 故 x=1 得 是方程的根; 2 ⑵原方程变形为(x-1)[x -2mx+(m+2)]=0 ; 2 ⑶若方程有两个等根,可能是 1 和 1,则在 x -2mx+(m+2)=0 中,必有一个根为 1,代 2 2 入上列方程,得 1 -2m·1+(m+2)=0 即 m=3;或者在 x -2mx+(m+2)=0 中就有两个等根, 故 △= (?2m)2 ? 4(m ? 2) ? 0 ∴m=2 或 m=-1

通过解该题,学生对方程根的概念与根的性质有所了解,并能初步综合运用。 例题的配备要有阶梯性。要注意题型的划分,习题类型一般有基础知识型、基本方 法型、综合提高型、创新应用型等,在难度上要有低、中、高三级题型,这三级之间还 应插入级与级之间的“缓冲”习题,形成“小坡度、密台阶”习题,这样安排有利于学 生在“发现区”内解题,利于学生“步步登高” ,利于学生树立解题的必胜信心。我们坚 决反对把难题放在前面,坚决反对把整套习题安排得太难,要避免打击学生做题的积极 性。适当安排综合提高型和创新应用型习题,有利于基础较好的学生的学习和提高。习 题的安排,既要体现知识与方法,也要体现能力培养与积极性调动。 三、例题的选择要有研究性。选择例题要精,要有丰富内涵,既要注重结果,更要 注重质量,以期“一题多解,达到熟悉;多解归一,挖掘共性;多题归一,归纳规律。 ” 如高三“圆锥曲线”部分的一堂习题课上,我提出 问题 1:已知双曲线 x -y =1 和的斜率为 段 AB 的中点 M 的坐标(x,y)满足的方程是
2 2

1 的直线 l 交于 A、B 两点,当 l 变化时,线 2


学生多数从条件出发,设出直线方程,用 k 表示 M 的坐标,消参数得 y=2x,我在肯定 学生的解法的基础上,作这样的分析:该问题的条件和结论中涉及到弦的中点和斜率, 因而可以考虑采用一种“设而不求”的方法来解决问题。逐步引导得出以下解法: 解:设点 A(x1, y1) ,B(x2,y2) 2 2 ∵点 A、B 在双曲线 x -y =1 上 2 2 2 2 ∴x1 -y1 =1 ? x2 -y2 =1 ? 2 2 2 2 ∴?-?得(x2 -x1 )-(y2 -y1 )=0 即

y ? y1 y ? y1 x1 ? x2 - 2 × 2 =0 ( x1 ≠x2) x2 ? x1 2 2
y 2 ? y1 1 x ? x2 y ? y2 ? , x? 1 ,y? 1 x2 ? x1 2 2 2
y ? 0 ∴所求点的轨迹方程是 y=2x 。 2

由条件知:k=

代入上式得: x ?

再引导学生分析、归纳该解法的适用条件,并命名为“点差法” 。有了这样的基础知 识,我紧接着提出下列问题: 2 2 问题 2:若椭圆 mx +ny =1 与直线 x+y-1=0 交于 A、B 两点,过原点与线段 AB 中点的 直线的斜率为

2 n ,则 的值等于 2 m



问题 3:中心在原点,焦点坐标为(0,± 5 2 )的椭圆被直线 3x―y―2=0 截得的弦的中点的横坐标为

1 ,则椭圆方程为 2



学生根据刚学到的知识,对照条件不难得到如下分析. 问题 2 分析:该问题的条件中涉及到弦的中点和斜率,因而也可以考虑采用“点差 法”解决问题.从而所求的

n = 2 。 m
2 2 2

问题 3 解析:由椭圆的焦点坐标可得:c =50=a ―b , 将中点横坐标代入直线方程可 得中点坐标为(

1 1 ,? ) ,运用弦的中点和弦所在直线的斜率的关系,设出弦的端点坐 2 2
2 2

标代入椭圆方程,可得到关于 a 、b 的另一个方程.从而可得所求椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1。 25 75
通过前 3 个问题的解析,学生对“点差法”有了一定感性的认识,但此时学生的思 维仍不够深刻,即遇到稍复杂的问题仍不能灵活运用该方法。为了提高学生思维的深度, 我设计了这样两个稍微复杂的问题: 2 2 问题 4: 已知直线 L 交椭圆 4x +5y =80 于 M、N 两点,椭圆与 y 轴的正半轴交于 B 点,若△BMN 的重心落在椭圆的右焦点上.求:直线 l 的方程.

问题 5:已知某椭圆的焦点是 F1(-4,0)、F2(4,0), 过点 F2 并垂直于 x 轴的直线与椭 圆的一个交点为 B,且|F1B|+|F2B|=10.椭圆上不同的两点 A(x1 ,y1) 、C(x2 ,y2)满足条 件:|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列 (1)求该椭圆的方程; (2)求弦 AC 中点的横坐标; (3)设弦 AC 的垂直平分线的方程为 y=kx+m,求 m 的取值范围. 让学生独立思考后,我开始提问,学生果然有困难,我便针对学生提出的“坎”分 析,引导他们得到如下思路: 问题 4 分析:由条件中的重心坐标,可得弦 MN 的中点坐标,因而要求直线方程,只 需求出直线的斜率,这样“点差法”的使用条件已有。 问题 5 分析:该问题综合考查二次曲线的定义、等差数列的定义、弦的中点问题和 直线与圆锥曲线的关系,是解析几何中的综合问题。问题(1)由椭圆的定义和条件易得

x2 y2 ? ? 1 问题(2)根据椭圆的第二定义和|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数 椭圆方程为 25 9
列可得弦 AC 中点的横坐标为 4;问题(3)较难,但由问题(2)的结论联想“点差法” 可得直线 AC 的斜率与 AC 弦中点纵坐标的联系,进而可与 m 建立联系,由- m 的范围是(-

9 9 <y0< 得 5 5

16 16 , ).在此基础上再让学生动笔练习。 5 5

四、例题的选择要注意对课本例习题的挖掘,要利于考点的呈现。课本例题均是经 过专家多次筛选后的精品,而我们的高考试题有时产生的背景来源于课本的例习题。高 三复习课中,我们应精心设计和挖掘课本例题,编制一题多解、一题多变、一题多用的 例题,提高学生灵活运用知识的能力。在复习导数部分就关于导数的几何及应用的一类 问题,我上课时将教材上的问题先归纳整理如下,以供学生当堂训练: 1、已知 f(x)=x2,则曲线 y=f(x)在 x=2 处的切线的斜率是 ; 2 2、曲线 y=x 的一条切线的斜率是-4 ,则切点坐标是 ;

1 1 的图象在点 (2, ) 处的切线的方程是 ; 2 x 1 4、直线 y= -x+b 是函数 y ? 图象的切线,则 b= ,切点为 x
3、函数 y ? 5、曲线 y=ex 在 x=0 处的切线方程是 ; 。



1 ? 6、曲线 y ? x ? cos x 在 x= 处的切线方程是 2 6

在教材的原题训练结束后,为提高学生的分析能力和解题速度,我又设计了下列几 个引申的问题。 1、曲线 f(x)=x3 在点 P(1,1)处的切线方程是 ; 3 2、曲线 f(x)=x 过点 P(1,1)的切线方程是 ; 2 3、曲线 y=-x 过点 A(1,0)的切线方程是 。 通过这一组例题的练习,学生对这一部分内容有了更加清晰的认识。 复习课中例题选择题目必须有一定的基础性、针对性、示范性、可行性和研究性,

要活用资料,不要照搬资料,并针对学生的实际、大纲、考试说明的要求,精心挑选题 目。要选择一些能“牵一发而动全身”的题目供师生共同进行探究,帮助学生从中找出 规律与方法,达到解一题,通一类,带一串。精选一些一题多解、一题多变和可以引申 推广的题目让学生进行训练、研究,以开阔学生思路,使学生通过复习有新的收获,新 的体会和新的提高。


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