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2012辽宁省高考数学试题(文科)答案精细版


2012 年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(供文科考生使用)
第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的。 (1)已知向量 a = (1,—1), b = (2, x ).若 a ? b = 1,则 x = (A) —1 (B) —

1 2

(C)

1 2

(D)1

(2)已知全集 U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} ,集合 A={0,1,3,5,8} ,集合 B={2,4,5,6,8} ,则 (CU A) ? (CU B) = (A){5,8} (3)复数 (B){7,9} (A) (C){0,1,3} (D){2,4,6} (C)

1 ? 1? i

1 1 ? i 2 2

(B)

1 1 ? i 2 2

1? i

(D) 1 ? i

(4)在等差数列{ an }中,已知 a4 ? a8 =16,则 a2 ? a10 = (A) 12 (B) 16 (C) 20
2

(D)24
1

? ? ? x -x ? ? 0 ,则 ? p 是 A. ?x ,x ? R, ? f ? x ? -f ? x ?? ? x -x ? ? 0 B. ?x ,x ? R, ? f ? x ? -f ? x ?? ? x -x ? ? 0 C. ?x ,x ? R, ? f ? x ? -f ? x ?? ? x -x ? <0 D. ?x ,x ? R, ? f ? x ? -f ? x ?? ? x -x ? <0
(5)已知命题 p:?x1,x2 ? R, f ? x2 ? -f ? x1 ?
1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1
1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1

(6)已知 sin ? ? cos ? ? 2 , ? ?(0,π ),则 sin 2? = (A) ? 1
2 2

(B) ? 2
2

(C)

2 2

(D) 1

(7)将圆 x ? y ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0 平分的直线是 (A) x ? y ? 1 ? 0 (8)函数 y ? (A) ( ? 1,1] (B) x ? y ? 3 ? 0 (C) x ? y ? 1 ? 0 (D) x ? y ? 3 ? 0

1 2 x ? ln x 的单调递减区间为 2
(B) (0,1] (C.)[1,+∞) (D) (0,+∞)

? x -y ? 10 ? (9)设变量 x ,y 满足 ?0 ? x +y ? 20 ,则 2 x +3 y 的最大值为 ?0 ? y ? 15 ?
(10)执行如图所示的程序框图,则输出的 S 的值是

A.20

B.35

C.45

D.55

(A) 4

(B)

3 2 1 6
2

(C)

2 3

(D)

?1
2

(11)在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C. 现作一矩形,邻边长分别等于线段 AC,CB 的长,则该矩形面积大于 20cm 的概率为: (A) (B)

1 3

(C)

2 3

(D)

4 5

(12)已知 P,Q 为抛物线 x ? 2 y 上两点,点 P,Q 的横坐标分别为 4, ? 2,过 P,Q 分别作抛物线的切线,两切线交于

点 A,则点 A 的纵坐标为

(A) 1

(B) 3 第Ⅱ卷

(C)

?4

(D)

?8

本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答。第 22 题~第 24 题为选考 题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为_______________. (14) 已知等比数列 { an } 为递增数列.若 a1 >0,且 2(an ? an?2 ) ? 5an?1 2,则数列 { an } 的公比 q = _____________________. (15)已知双曲线 x 2 ? y 2 ? 1,点 F1 , F2 为其两个焦点,点 P 为双曲线上一点,若 PF1 ⊥ PF2 ,则∣ PF1 ∣+∣ PF2 ∣的 值为___________________. (16)已知点 P,A,B,C,D 是球 O 表面上的点,PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 是边长为 2 3 正方形。若 PA=2 6 , 则△OAB 的面积为______________. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17)(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a , b , c ,角 A,B,C 成等差数列。 (Ⅰ)求 cos B 的值; (Ⅱ)边 a , b , c 成等比数列,求 sin A sin C 的值。 (18)(本小题满分 12 分)
/ / / / / 如图,直三棱柱 ABC ? A B C , ?BAC ? 90 , AB ? AC ? 2, AA′=1,点 M , N 分别为 A B 和 B C 的中点。
/

(Ⅰ)证明: MN ∥平面 A ACC ; (Ⅱ)求三棱锥 A ? MNC 的体积。 (椎体体积公式 V=
/

/

/

1 Sh,其中 S 为地面面积,h 为高) 3

(19)(本小题满分 12 分) 电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了 100 名观众进行调查,其中女性有 55 名。下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体 育节目时间的频率分布直方图;将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称 为“体育迷” ,已知“体育迷”中有 10 名女性。 (Ⅰ)根据已知条件完成下面的 2 ? 2 列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与 性别有关? (Ⅱ)将日均收看该体育项目不低于 50 分钟的观众称为“超级体育迷” ,已知“超级体育迷”中有 2 名女性, 若从“超级体育迷”中任意选取 2 人,求至少有 1 名女性观众的概率。

n(n11n22 ? n12 n21 )2 附? ? , n1? n2? n?1n?2
2

P??2 ? k?
k

0.05 3.841

0.01 6.635

非体育迷 男 女 合计

体育迷

合计

x2 ? y 2 ? 1相交于 A,B,C,D 四点, (20)(本小题满分 12 分)如图,动圆 C1 : x ? y ? t ,1< t <3,与椭圆 C2 : 9
2 2 2

点A 1, A 2 分别为 C2 的左,右顶点。(Ⅰ)当 t 为何值时,矩形 ABCD 的面积取得最大值? 并求出其最大面积; (Ⅱ)求直线 AA1 与直线 A2 B 交点 M 的轨迹方程。 (21)(本小题满分 12 分)设 f ( x) ? ln x ? x ?1,证明: (Ⅰ)当 x >1 时, f ( x ) <

3 ( x ? 1) ; 2

(Ⅱ)当 1 ? x ? 3 时, f ( x) ?

9( x ? 1) . x?5

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。做答时用 2B 铅笔在答题卡上 把所选题目对应题号下方的方框涂黑。 (22)(本小题满分 10 分)选修 4 ? 1:几何证明选讲 如图, ⊙O 和⊙ O 相交于 A, B 两点, 过 A 作两圆的切线分别交两圆于 C, D 两点, 连接 DB 并延长交⊙O 于点 E。证明 (Ⅰ) AC ? BD ? AD ? AB ; (Ⅱ) AC ? AE 。
/

(23)(本小题满分 10 分)选修 4 ? 4:坐标系与参数方程 在直角坐标 xOy 中,圆 C1 : x2 ? y 2 ? 4 ,圆 C2 : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 。 (Ⅰ)在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆 C1 , C2 的极坐标方程,并求出圆 C1 , C2 的交点坐 标(用极坐标表示); (Ⅱ)求圆 C1与C2 的公共弦的参数方程。 (24)(本小题满分 10 分)选修 4 ? 5:不等式选讲 已知 f ? x ? = ax+1 ? a ? R ? ,不等式 f ? x ? ? 3 的解集为 x -2 ? x ? 1 (Ⅰ)求 a 的值

?

?

(Ⅱ)若 | f ( x) ? 2 f ( ) |? k 恒成立,求 k 的取值范围。

x 2

2012 年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学参考答案
第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的。 (1) 【解析】

a ? b ? 2 ? x ? 1,? x ? 1 ,故选 D

(2) 【 解 析 一 】 因 为 全 集 U= { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 } , 集 合 A= { 0,1,3,5,8 } , 集 合 B= { 2,4,5,6,8 } ,所以

CU A ? ?2,4,6,7,9?, CU B ? ?0,1,3,7,9?,所以 (CU A) ? (CU B) {7,9}。故选 B【解析二】 集合 (CU A) ? (CU B) 即为在
全集 U 中去掉集合 A 和集合 B 中的元素,所剩的元素形成的集合,由此可快速得到答案,选 B (3) 【解析】

1 1? i 1? i 1 i ? ? ? ? ,故选 A 1 ? i (1 ? i)(1 ? i) 2 2 2

(4) 【解析】

a4 ? a8 ? (a1 ? 3d ) ? (a1 ? 7d ) ? 2a1 ? 10d ,

a2 ? a10 ? (a1 ? d ) ? (a1 ? 9d ) ? 2a1 ? 10d ,?a2 ? a10 ? a4 ? a8 ? 16 ,故选 B
(5) 【解析】全称命题的否定形式为将“ ? ”改为“ ? ” ,后面的加以否定,即将“ f ? x2 ? -f ? x1 ? “ f ? x2 ? -f ? x1 ? (6) 【解析】

?

,故选 C. ? ? x -x ? <0 ”
2 1

?

? ? x -x ? ? 0 ”改为
2 1

sin ? ? cos? ? 2,?(sin ? ? cos? )2 ? 2,?sin 2? ? ?1, 故选 A

(7) 【解析】圆心坐标为(1,2) ,将圆平分的直线必经过圆心,故选 C

1 2 1 x ? ln x,? y? ? x ? ,由y?≤0,解得-1≤x≤1,又x ? 0,? 0 ? x≤1,故选 B 2 x (9) 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示,由图知目标函数过点 A? 5,15? 时, 2 x+3 y 的最大值为 55,故选 D. 2 (10) 【解析】根据程序框图可计算得 s ? 4, i ? 1; s ? ?1, i ? 2; s ? , i ? 3; 3 3 s ? , i ? 4; s ? 4, i ? 5; s ? ?1, i ? 6, ,故选 D 2
(8) 【解析】

y?

(11) 【解析】设线段 AC 的长为 x cm,则线段 CB 的长为( 12 ? x )cm,那么矩形的面积为 x(12 ? x) cm ,
2 2 由 x(12 ? x) ? 20 ,解得 2 ? x ? 10 。又 0 ? x ? 12 ,所以该矩形面积小于 32cm 的概率为

2 ,故选 C 3

( 12 ) 【 解 析 】 因 为 点 P , Q 的 横 坐 标 分 别 为 4 , ? 2 , 代 人 抛 物 线 方 程 得 P , Q 的 纵 坐 标 分 别 为 8,2. 由

x 2 ? 2 y , 则y ?

1 2 x ,? y ? ? x, 所以过点 P,Q 的抛物线的切线的斜率分别为 4, ? 2,所以过点 P,Q 的抛物线的切线方 2

程分别为 y ? 4 x ? 8, y ? ?2 x ? 2, 联立方程组解得 x ? 1, y ? ?4, 故点 A 的纵坐标为 ? 4 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答。第 22 题~第 24 题为选考 题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。

(13) 【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体和一个等高的圆柱的组合体,其中长方体的长、宽、高分别为 4、3、 1,圆柱的底面直径为 2,高位 1,所以该几何体的体积为 3 ? 4 ?1 ? ? ?1?1 ? 12 ? ? (14) 【解析】 2(an ? an? 2 ) ? 5an?1 ,? 2an (1 ? q 2 ) ? 5an q,? 2(1 ? q 2 ) ? 5q, 解得q ? 2或q ? 因为数列为递增数列,且 a1 ? 0, 所以q ? 1,? q ? 2 (15) 【解析】由双曲线的方程可知 a ? 1, c ?
2 2

1 2

2,? PF1 ? PF2 ? 2a ? 2, ? PF1 ? 2 PF1 PF2 ? PF2 ? 4

2

2

PF1 ? PF2 ,? PF1 ? PF2 ? (2c)2 ? 8,? 2 PF1 PF2 ? 4, ? ( PF1 ? PF2 )2 ? 8 ? 4 ? 12,? PF1 ? PF2 ? 2 3
球心O为该长方体对角线的中点, 1. 【解析】点 P、A、B、C、D为球O内接长方体的顶点, ??OAB的面积是该长方体对角面面积的 1 , 4

1 AB ? 2 3, PA ? 2 6, ? PB ? 6, ??OABD面积= ? 2 3 ? 6=3 3 4
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) 【解析】 (1)由已知 2 B =A+C ,A+B +C =? , ? B =
2

?
3

, cos B =
3 4

1 2

??6 分

2 (2)解法一: b =ac ,由正弦定理得 sin A sin C = sin B =

1 a 2 +c 2 -b2 a 2 +c 2 -ac = 解法二: b =ac , = cos B = ,由此得 a 2 +c 2 -ac=ac, 得 a=c 2 2ac 2ac ? 3 所以 A=B =C = , sin A sin C = ??12 分 3 4
2

(18)(本小题满分 12 分) 适中。 【解析】 (1) (法一)连结 AB',AC' ,由已知 ?BAC =90?,AB=AC 三棱柱 ABC -A'B'C' 为直三棱柱, 所以 M 为 AB ' 中点.又因为 N 为 B'C' 中点 所以 MN //AC' ,又 MN ? 平面 A'ACC' AC' ? 平面 A'ACC' ,因此 MN //平面A'ACC' (法二)取 A?B ? 的中点为 P,连结 MP,NP,
/ / ∵ M , N 分别为 A B 和 B C 的中点, ∴MP∥ AA? ,NP∥ A?C ? ,∴MP∥面 A?ACC ? ,NP∥面 A?ACC ? ,

??6 分

/

∵ MP ? NP ? P , ∴面 MPN∥面 A?ACC ? ,∵MN ? 面 A?ACC ? , ∴MN∥面 A?ACC ? . (Ⅱ) (解法一) 连结 BN, 由题意 A?N ⊥ B?C ? ,面 A?B ?C ? ∩面 B?BCC ? = B?C ? ,∴ A?N ⊥⊥面 NBC, ∴ VA?? MNC ? VN ? A?MC ? (解法 2) VA?? MNC ∵ A?N =

1 B ?C ? =1, 2

1 1 1 VN ? A?BC ? VA?? NBC ? . 2 2 6 1 1 1 ? VA?? NBC ? VM ? NBC ? VA?? NBC ? 2 2 6
非体育迷 30 45 体育迷 15 10 合计 45 55

2. 【解析】 (1)由频率分布直方图可知,在抽取的 100 人中, “体育迷”有 25 人,从而 2 ? 2 列联表如下: 男 女

合计 75 25 将 2 ? 2 列联表中的数据代入公式计算,得
2 2

100 ??3 分

n ? n11n22 -n12 n21 ? 100 ? ? 30 ?10-45 ?15 ? 100 = = ? 3.030 n1+ n2+ n+1n+2 75 ? 25 ? 45 ? 55 33 因为 3.030<3.841 ,所以没有理由认为“体育迷”与性别有关.

?2=

??6 分

(Ⅱ)由频率分布直方图知, “超级体育迷”为 5 人,从而一切可能的结果所组成的基本事件空间为

? ={{ a1 , a2 },{ a1 , a3 },{ a1 , b1 },{ a1 , b2 },{ a2 , a3 },{ a2 , b1 },{ a2 , b2 },{ a3 , b1 },{ a3 , b2 },{ b1 ,

b2 }}.其中 ai 表示男性, i =1,2,3, bj 表示女性, j =1,2. ? 由 10 个基本事件组成,而且这些基本事件出现是等
可能的,用 A 表示“任选 3 人中,至少有 2 人是女性”这一事件,则 A={{ a1 , b1 },{ a1 , b2 },{ a2 , b1 },{ a2 ,

b2 },{ a3 , b1 },{ a3 , b2 },{ b1 , b2 }},事件 A 由 7 个基本事件组成,∴ P ( A) ?
(20) 【解析】(Ⅰ)设 A( x0 , y0 ),则矩形 ABCD 的面积 S= 4 | x0 | y0 | ,由

7 . 10

2 x0 x2 2 2 ? y0 ? 1得, y0 ? 1? 0 , 9 9

∴x y

2 2 0 0=

2 1 2 9 2 9 9 1 x0 2 2 ? ) ? ,当 x0 ? , y0 ? 时, Smax =6,∴ t = 5 时,矩形 ABCD 的面积最大,最大 x (1 ? ) = ? ( x0 2 2 9 2 4 9 2 0

面积为 6.

??6 分

(Ⅱ) 设 A? x1,y1 ? ,B ? x1,-y1 ? ,又知 A 1 ? -3,0? ,A 2 ? 3,0? ,则 直线 A 1 A 的方程为 直线 A2 B 的方程为 由①②得
2

y1 ? x+3? x1 +3 -y y = 1 ? x-3? x1 -3 y=

① ②

- y12 y = 2 2 ? x2 -32 ? x1 -3

x12 ③ 由 点 A ? x1 ,y1 ? 在 椭 圆 C0 上 , 故 可 得 2 +y1 =1, 从 而 有 3

? x2 ? x2 y12 = ?1- 12 ? ,代入③得 -y 2 =1? x<-3,y <0 ? 9 ? 3 ?
∴直线 AA1 与直线 A2 B 交点 M 的轨迹方程为

x2 2 -y =1? x<-3,y <0 ? 9

??12 分

(21) 【解析】(Ⅰ)(法 1)记 g ( x) = ln x ? 又∵ g (1) ? 0 ,∴ g ( x) <0,即 f ( x) <

1 1 3 3 x ? 1 ? ( x ? 1) ,则当 x >1 时, g ?( x) = ? ? ?0, 2 x 2 x 2
??4 分

3 ( x ? 1) ; 2

(法 2)由均值不等式,当 x >1 时, 2 x ? x ? 1 ,∴ x ? 令 k ( x) ? ln x ? x ? 1 ,则 k (1) ? 0 , k ?( x ) ? 由①②得,当 x >1 时, f ( x) <

x 1 ? , 2 2



1 ? 1 ? 0 ,∴ k ( x) ? 0 ,即 ln x ? x ? 1 , ② x
??4 分

3 ( x ? 1) . 2 9( x ? 1) (Ⅱ)(法 1)记 h( x ) ? f ( x ) ? ,由(Ⅰ)得, x?5

1 1 54 x?5 54 ( x ? 5)3 ? 216 x 2? x 54 h?( x) = ? ? ? = < = , ? x 2 x ( x ? 5) 2 4 x ( x ? 5) 2 4 x( x ? 5)2 2x ( x ? 5)2
令 g ( x) = ( x ? 5)3 ? 216 x ,则当 1 ? x ? 3 时, g ?( x ) = 3( x ? 5)2 ? 216 ? 0 ∴ h( x) 在(1,3)内单调递减,又 h(1) ? 0 ,∴ h( x) <0, ∴当 1< x <3 时, f ( x) ?

9( x ? 1) . x?5

??12 分

(证法 2)记 h( x) = ( x ? 5) f ( x) ? 9( x ? 1) ,则当当 1< x <3 时,

3 1 1 h?( x) = f ( x) ? ( x ? 5) f ?( x) ? 9 < ( x ? 1) ? ( x ? 5)( ? )?9 2 x 2 x
1 1 x 1 [3x( x ? 1) ? ( x ? 5)(2 ? x ) ? 18 x] < [3x( x ? 1) ? ( x ? 5)(2 ? ? ) ? 18 x] 2x 2x 2 2 1 (7 x 2 ? 32 x ? 25) <0. = ??10 分 4x
= ∴ h( x) 在(1,3)内单调递减,又 h(1) ? 0 ,∴ h( x) <0, ∴当 1< x <3 时, f ( x) ?

9( x ? 1) . x?5

??12 分

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。做答时用 2B 铅笔在答题卡上 把所选题目对应题号下方的方框涂黑。 (22)证明: (1)由 AC 与 O 相切于 A ,得 ?CAB =?ADB ,同理 ?ACB =?DAB ,

AC AB = ,即 AC BD =AD AB ??4 分 AD BD (2)由 AD 与 O 相切于 A ,得 ?AED =?BAD ,又 ?ADE =?BDA ,得 ?EAD ?ABD AE AD = 从而 ,即 AE BD =AD AB ,综合(1)的结论, AC =AE ??10 分 AB BD (23)【解析】圆 C1 的极坐标方程为 ? =2 ,圆 C2 的极坐标方程为 ? =4cos ? ,
所以 ?ACB

?DAB 。从而

解?

? ? =2 ? ? ?? ? ?? 得 ? =2,? = ? ,故圆 C1 与圆 C2 交点的坐标为 ? 2, ? , ? 2,- ? 3 ? 3? ? 3? ? ? =4cos ?

??5 分

注:极坐标系下点的表示不唯一

? x=? cos ? ,得圆 C1 与圆 C2 交点的直角坐标为 1, 3 , 1,- 3 ? y =? sin ? ? x=1 故圆 C1 与圆 C2 的公共弦的参数方程为 ? - 3?t 3 ? y =t ? x=1 (或参数方程写成 ? - 3 ? y ? 3) ? y =y
(2) (解法一)由 ?

?

??

?

? 10 分

(解法二)

? x=? cos ? 1 ,得 ? cos ? =1 ,从而 ? = cos ? ? y =? sin ? ? x=1 ? ? 于是圆 C1 与圆 C2 的公共弦的参数方程为 ? - ?? ? 3 ? y = tan ? 3
将 x =1 代入 ?
2 2 2 2 【点评】本题要注意圆 C1 : x ? y ? 4 的圆心为 (0,0) 半径为 r1 ? 2 ,圆 C2 : ( x ? 2) ? y ? 4 的圆心为 ( 2,0) 半径为

r2 ? 2 ,从而写出它们的极坐标方程;对于两圆的公共弦,可以先求出其代数形式,然后化成参数形式,也可以直接
根据直线的参数形式写出。 (24)【解析】(Ⅰ)由 ax+1 ? 3 得 -4 ? ax ? 2 ,又 f ? x ? ? 3 的解集为 x -2 ? x ? 1 ,所以当 a ? 0 时,不合题意 当 a >0 时, -

?

?

4 2 ? x ? ,得 a =2 a a

?5 分

? ?1,x ? -1 ? 1 ? ? x? (Ⅱ)记 h ? x ? =f ? x ? -2 f ? ? ,则 h ? x ? = ?-4 x-3,-1<x <- , 2 ?2? ? 1 ? -1,x ? ? ? 2 所以 h ? x ? ? 1 ,因此 k ? 1

??10 分

【点评】 ,第(Ⅰ)问,要真对 a 的取值情况进行讨论,第(Ⅱ)问要真对 f ( x ) ? 2 f ( ) 的正负进行讨论从而用分段函数 表示,进而求出 k 的取值范围。本题属于中档题,难度适中.平时复习中,要切实注意绝对值不等式的性质与其灵活 运用。

x 2


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