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【新课标人教A版】2014届高考数学(理)总复习限时规范训练:8.2 两直线的位置关系 Word版含解析]


第八章

第2讲

(时间:45 分钟 分值:100 分) 一、选择题 π 1. [2013· 开封模拟]直线 2x-y-2=0 绕它与 y 轴的交点逆时针旋转 所得的直线方程是 2 ( ) A. -x+2y-4=0 C. -x+2y+4=0 答案:D π 解析:直线 2x-y-2=0 过点(0,-2)且斜率为 2,此直线绕点(0,-2),逆时针旋转 所 2 1 1 得直线的斜率为- ,故直线方程为 y=- x-2,即 x+y+4=0. 2 2 2. [2013· 荆州模拟]“λ=3”是“直线 λx+2y+3λ=0 与直线 3x+(λ-1)y=λ-7 平行”的 ( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案:C 解析:当 λ=3 时,两直线平行.若直线 λx+2y+3λ=0 与直线 3x+(λ-1)y=λ-7 平行, 则 λ(λ-1)=6,且-λ(λ-7)≠3×3λ,解得 λ=3.因此选 C. 3. [2013· 台州质检]已知直线 l1:y=2x+3,直线 l2 与 l1 关于直线 y=-x 对称,则直线 l2 的斜率为( A. 1 2 ) 1 B. - 2 D. -2 B. x+2y-4=0 D. x+2y+4=0

C. 2 答案:A 解析:∵l2、l1 关于 y=-x 对称, ∴l2 的方程为-x=-2y+3. 1 3 1 即 y= x+ .∴l2 的斜率为 . 2 2 2

4. [2013· 厦门模拟]已知直线 3x+4y-3=0 与直线 6x+my+14=0 平行,则它们之间的 距离是( )

A. 1 C. 1 2

B. 2 D. 4

答案:B 6 m 14 解析:∵ = ≠ ,∴m=8,直线 6x+my+14=0 可化为 3x+4y+7=0,两平行线 3 4 -3 之间的距离 d= |-3-7| =2. 32+42

5. [2013· 金华模拟]已知两点 A(3,2)和 B(-1,4)到直线 mx+y+3=0 的距离相等, 则m的 值为( ) 1 B. 或-6 2 1 D. 0 或 2

1 A. 0 或- 2 1 1 C. - 或 2 2 答案:B

|3m+2+3| |-m+4+3| 解析:依题意得 = , m2+1 m2+1 ∴|3m+5|=|m-7|. ∴3m+5=m-7 或 3m+5=7-m. 1 ∴m=-6 或 m= .故应选 B. 2 6. [2013· 成都模拟]在直角坐标系中,A(4,0),B(0,4),从点 P(2,0)射出的光线经直线 AB 反射后, 再射到直线 OB 上, 最后经直线 OB 反射后又回到 P 点, 则光线所经过的路程是( A. 2 10 C. 3 3 答案:A B. 6 D. 2 5 )

解析: 如图, 设点 P 关于直线 AB, y 轴的对称点分别为 D, C, 易求得 D(4,2), C(-2,0), 则△PMN 的周长=|PM|+|MN|+|NP|=|DM|+|MN|+|NC|.由对称性,D、M、N、C 共线,∴ |CD|即为所求,由两点间的距离公式得|CD|= 40=2 10. 二、填空题 7. 已知直线 l1:ax-y+2a=0,l2:(2a-1)x+ay+a=0 互相垂直,则实数 a 的值是 ________.

答案:0 或 1 解析:因为直线 l1:ax-y+2a=0,l2:(2a-1)x+ay+a=0 互相垂直,故有 a(2a-1) +a(-1)=0,可知 a 的值为 0 或 1. 8. [2013· 金版原创]若直线 l1:x+2my-1=0 与 l2:(3m-1)x-my-1=0 平行,则实数 m 的值为________. 1 答案:0 或 6 解析:因为直线 l1:x+2my-1=0 与 l2:(3m-1)x-my-1=0 平行,则斜率相等,或 1 3m-1 1 者斜率不存在,m=0,或者- = ,∴m= . 2m m 6 9. [2013· 舟山模拟]若两平行直线 3x-2y-1=0,6x+ay+c=0 之间的距离为 c+2 的值为________. a 答案:± 1 3 -2 -1 解析:由题意得 = ≠ , 6 a c ∴a=-4,c≠-2. c 则 6x+ay+c=0 可化为 3x-2y+ =0. 2 c | +1| 2 2 13 由两平行线间的距离,得 = , 13 13 c+2 解得 c=2 或-6,∴ =± 1. a 三、解答题 10. 已知直线 l1:x+a2y+1=0 和直线 l2:(a2+1)x-by+3=0(a,b∈R). (1)若 l1∥l2,求 b 的取值范围; (2)若 l1⊥l2,求|ab|的最小值. 解:(1)因为 l1∥l2, 所以-b-(a2+1)a2=0, 即 b=-a2(a2+1)=-a4-a2 1 1 =-(a2+ )2+ . 2 4 因为 a2≥0,所以 b≤0. 又因为 a2+1≠3,所以 b≠-6. 故 b 的取值范围是(-∞,-6)∪(-6,0]. (2)因为 l1⊥l2, 2 13 ,则 13

所以(a2+1)-a2b=0. 1 显然 a≠0,所以 ab=a+ , a 1 |ab|=|a+ |≥2, a 当且仅当 a=± 1 时等号成立, 因此|ab|的最小值为 2. 11. [2013· 莱芜模拟]已知线段 PQ 两端点的坐标分别为(-1,1)、(2,2),若直线 l:x+my +m=0 与线段 PQ 有交点,求 m 的范围. 解:法一:直线 x+my+m=0 恒过点 A(0,-1),

kAP=

-1-1 -1-2 3 =-2,kAQ= = , 2 0+1 0-2

1 3 1 则- ≥ 或- ≤-2. m 2 m 2 1 ∴- ≤m≤ 且 m≠0. 3 2 又 m=0 时,直线 x+my+m=0 与线段 PQ 有交点, 2 1 ∴所求 m 的范围是[- , ]. 3 2 法二:过 P、Q 两点的直线方程为 2-1 y-1= (x+1), 2+1 1 4 即 y= x+ ,代入 x+my+m=0,整理 3 3 7m 得 x=- , m+3 7m 由已知-1≤- ≤2, m+3 2 1 解得- ≤m≤ . 3 2 2 1 即 m 的范围是[- , ]. 3 2

12. [2013· 武汉调研]已知直线 l 经过直线 2x+y-5=0 与 x-2y=0 的交点, (1)点 A(5,0)到 l 的距离为 3,求 l 的方程; (2)求点 A(5,0)到 l 的距离的最大值. 解:(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x+y-5)+λ(x-2y)=0, 即(2+λ)x+(1-2λ)y-5=0. ∴ =3. ?2+λ?2+?1-2λ?2 |10+5λ-5|

即 2λ2-5λ+2=0, 1 ∴λ=2 或 . 2 ∴l 的方程为 x=2 或 4x-3y-5=0.
? ?2x+y-5=0, (2)由? ?x-2y=0, ?

解得交点 P(2,1),如图,过 P 作任一直线 l,设 d 为点 A 到 l 的距离,则 d≤|PA|(当 l⊥ PA 时等号成立). ∴dmax=|PA|= 10.


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