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高三一轮复习—集合的概念和运算


上海 XX 教育
教师: 课 学生: 题 年级:
集合的概念和运算

数学
日期:

学科导学案(第
星期: 时段:

次课)

教学目标 教学重点 教学难点 教学方法

1、 复习集合的概念和运算,查漏补缺; 2、 积累中等难度题目的解题方

法,攻克常见题型,排查易错点。

逆否命题等价;反证法;补集思想;分类讨论方法 新定义开放型试题

讲练结合法、转化思想、分类讨论思想

学习内容与过程
一、 上节课知识点的回顾与反思: 二、 新授课内容 【经典例题与解题技巧】
一、 集合的有关概念 知识结构: 1. 一般地,研究对象统称为元素,一些元素组成的总体叫集合,也简称集。 2. 关于集合的元素的特征 (1)确定性(2)互异性(3)无序性 3. 元素与集合的关系; (1)如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于 A,记作 a∈A (2)如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于 A,记作 a ? A 4. 常用数集及其记法 非负整数集(或自然数集) ,记作 N;正整数集,记作 N*或 N+;整数集,记作 Z;有理数集,记作 Q; 实数集,记作 R 5. 集合的表示方法 (1) 列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内。 说明:集合中的元素具有无序性,所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。 (2) 描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号{}内。 具体方法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线, 在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。如:{x|x-3>2},{(x,y)|y=x2+1},{直角三角形},…; 强调:描述法表示集合应注意集合的代表元素:{(x,y)|y= x2+3x+2}与 {y|y= x2+3x+2}不同,只要不 引起误解,集合的代表元素也可省略,例如:{整数},即代表整数集 Z。 辨析: 这里的{ }已包含“所有”的意思, 所以不必写{全体整数}。 下列写法{实数集}, {R}也是错误的。 (3) 韦恩图法

考点分析: 考点一:集合元素特性之确定性。 例:下列各项中,不可以组成集合的是( A.所有的正数 B.等于 2 的数 ( ) )

C.接近于 0 的数 D.不等于 0 的偶数 练:下列选项中元素的全体可以组成集合的是 A.学校篮球水平较高的学生 C.2007 年所有的欧盟国家 考点二:集合元素特性之互异性。 例:若 x∈R,则{3,x,x2-2x}中的元素 x 应满足什么条件? B.校园中长的高大的树木 D.中国经济发达的城市

练 1:数集{0,1,x2-x}中的 x 不能取哪些数值?

练 2:已知集合 A={

x ax ? 2 x ? 1 ? 0, a ? R, x ? R
2

}.

(1)若 A 中只有一个元素,求 a 的值; (2)若 A 中至多有一个元素,求 a 的取值范围.

考点三:集合表示方法之描述法与列举法。 例:平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合是( A. {x,y 且 x ? 0, y ? 0 } C. {(x,y) x ? 0, y ? 0 }
2

)

B. {(x,y) x ? 0, y ? 0 } D. {x,y 且 x ? 0, y ? 0 } . }.

练 1:用列举法表示集合 D={ ( x, y) y ? ? x ? 8, x ? N , y ? N }为 练 2:6.由所有偶数组成的集合可表示为{ x x ?

练习: 2.下面四个命题正确的是( ) B.由 1,2,3 组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}

A.10 以内的质数集合是{0,3,5,7}

C.方程 x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 的解集是{1,1} D.0 与{0}表示同一个集合 3. 下面四个命题: (1)集合 N 中最小的数是 1; (2)若 -a ? Z,则 a ? Z;

(3)所有的正实数组成集合 R+; (4)由很小的数可组成集合 A; 其中正确的命题有( )个 A.1 B.2 C.3 D.4 2 4.下面四个命题: (1)零属于空集; (2)方程 x -3x+5=0 的解集是空集; 2 (3)方程 x -6x+9=0 的解集是单元素集; (4)不等式 2 x-6>0 的解集是无限集; 其中正确的命题有( )个 A.1 B.2 C.3 D.4 6.当 a 满足 时, 集合 A={ x 3x ? a ? 0, x ? N }表示单元集.
?

7.对于集合 A={2,4,6},若 a ? A,则 6-a ? A,那么 a 的值是__________.

8.已知集合 A={x ? N|

12 6-x

? N },试用列举法表示集合 A.

9.由实数构成的集合 A 满足条件:若 a ? A, a ? 1,则

1 1? a

? A ,证明:

(1)若 2 ? A,则集合 A 必还有另外两个元素,并求出这两个元素; (2)非空集合 A 中至少有三个不同的元素。

二、 集合间的基本关系 知识结构 1. 集合与集合之间的“包含”关系; 集合 A 是集合 B 的部分元素构成的集合,我们说集合 B 包含集合 A; 如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,我们说这两个集合有包含关系,称集合 A 是集合 B 的子集。 记作: A ? B(或B ? A) 读作:A 包含于 B,或 B 包含 A

用 Venn 图表示两个集合间的“包含”关系

B

A

A ? B(或B ? A)

(1)

真子集的概念

若集合 A ? B ,存在元素 x ? B且x ? A ,则称集合 A 是集合 B 的真子集。 记作:A B(或 B A) 读作:A 真包含于 B(或 B 真包含 A) (2) 空集的概念 不含有任何元素的集合称为空集,记作: ? 规定:任何一个集合是它本身的子集 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。 集合与集合之间的 “相等”关系;

2.

A ? B且B ? A ,则 A ? B 中的元素是一样的,因此 A ? B


?A ? B A? B?? ?B ? A
n n n

n 若有限集 A 有 n 个元素,则 A 的子集有 2 个,真子集有 2 ? 1 个,非空子集有 2 ? 1 个,非空真子集有 2 ? 2 个.

考点分析: 考点一:有关子集,真子集,空集概念的考察。 例:下列四个命题:① ? ={0} ;②空集没有子集;③任何一个集合必有两个或两个以上的子集;④空集是任何一个 集合的子集.其中正确的有( A.0 个 ) C.2 个 D.3 个 )

B.1 个

练 1:已知全集 U={0,1,2,3}且 CU A={2},则集合 A 的真子集共有( A.3 个 B.5 个 C.8 个 D.7 个 )

练 2:设 U 为全集,集合 M、N U,且 M ? N,则下列各式成立的是( A.Cu M ? Cu N C.Cu M ? Cu N B.Cu M ? M D.Cu M ? N

考点二:利用子集,真子集的关系求未知数。 例:已知 A={x|x=8m+14n,m、n∈Z} ,B={x|x=2k,k∈Z} ,问: (1)数 2 与集合 A 的关系如何? (2)集合 A 与集合 B 的关系如何?

练 1:已知集合 A ? x | x ? ( p ? 2) x ? 1 ? 0,x ? R ,且 A ? {负实数},求实数 p 的取值范围.
2

?

?

练 2:已知全集 U={1,2,4,6,8,12},集合 A={8,x,y,z},集合 B={1,xy,yz,2x},其中 z ? 6,12 ,若 A=B, 求 Cu A..

练习: 1.若 M={x|x>1},N={x|x≥a},且 N ? M,则( A.a>1 B.a≥1 C.a<1 ) D.a≤1

3.若 A B,A C,B={0,1,2,3} ,C={0,2,4,8} ,则满足上述条件的集合 A 为________. 4.如果 M={x|x=a2+1,a ? N*},P={y|y=b2-2b+2,b ? N+},则 M 和 P 的关系为 M_________P. 5. 设集合 M={1, 2, 3, 4, 5, 6}, A ? M, A 不是空集, 且满足: a ? A, 则 6-a ? A, 则满足条件的集合 A 共有_____________ 个. 7.集合 A={x|x2+x-6=0},B={x|mx+1=0},若 B A,则实数 m 的值是 8.判断下列集合之间的关系: (2)A={ x | x 2 ? x ? 2 ? 0 },B={ x | ?1 ? x ? 2 },C={ x | x 2 ? 4 ? 4 x }; (3)A={ x | 1 ? x ? 10 },B={ x | x ? t ? 1, t ? R },C={ x | 2 x ? 1 ? 3 };
10
2



(4) A ? { x | x ?

k 2

?

1 4

, k ? Z }, B ? { x | x ?

k 4

?

1 2

, k ? Z }.

9.已知全集 U={1,2,3,4,5},A={x ? U|x2-5qx+4=0,q ? R}. (1)若 Cu A=U,求 q 的取值范围; (2)若 Cu A 中有四个元素,求 Cu A 和 q 的值; (3)若 A 中仅有两个元素,求 Cu A 和 q 的值.

三、 集合的基本运算 知识结构: 1. 并集 一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,称为集合 A 与 B 的并集 记作:A∪B 读作:“A 并 B” 即: A∪B={x|x∈A,或 x∈B} Venn 图表示: A B

?
A∪B

说明: 两个集合求并集, 结果还是一个集合, 是由集合 A 与 B 的所有元素组成的集合 (重复元素只看成一个元素) 。

2.

说明:连续的(用不等式表示的)实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。 问题:在上图中我们除了研究集合 A 与 B 的并集外,它们的公共部分(即问号部分)还应是我们所关心的,我们 称其为集合 A 与 B 的交集。 交集 一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做集合 A 与 B 的交集。 记作:A∩B 读作:“A 交 B” 即: A∩B={x|∈A,且 x∈B} 交集的 Venn 图表示

说明:两个集合求交集,结果还是一个集合,是由集合 A 与 B 的公共元素组成的集合。 拓展:求下列各图中集合 A 与 B 的并集与交集 B A A(B) A B A B A B

3.

说明:当两个集合没有公共元素时,两个集合的交集是空集,而不能说两个集合没有交集 补集 全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作 U。 补集: 对于全集 U 的一个子集 A, 由全集 U 中所有不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U 的补集(complementary set),简称为集合 A 的补集, 记作:CUA 即:CUA={x|x∈U 且 x∈A} 补集的 Venn 图表示

U A CUA
4. 说明:补集的概念必须要有全集的限制 集合基本运算的一些结论: A∩B ? A,A∩B ? B,A∩A=A,A∩ ? = ? ,A∩B=B∩A A ? A∪B,B ? A∪B,A∪A=A,A∪ ? =A,A∪B=B∪A (CUA)∪A=U, (CUA)∩A= ? 若 A∩B=A,则 A ? B,反之也成立 若 A∪B=B,则 A ? B,反之也成立 若 x∈(A∩B) ,则 x∈A 且 x∈B 若 x∈(A∪B) ,则 x∈A,或 x∈B

考点分析: 考点一:求交集,并集,补集等 例:已知集合 A={x|y=x2-2x-2,x∈R} ,B={y|y=x2-2x+2,x∈R} ,则 A∩B= . ,

C N ? {x | 0 ? x ? 2} 那么集合 N ? 练:已知集合 U ? {x | ?3 ? x ? 3} , M ? {x | ?1 ? x ? 1} , U M ? (CU N ) ?
,M ? N ? .

考点二:利用交集,并集,补集,子集关系,求未知数大小或者取值范围。

例 1:已知集合 A= ?x

x ?x?0 ,
2

? B= ?x ax

2

? 2x ? 4 ? 0 , 且

?

A ? B=B,求实数 a 的取值范围.

例 2:已知集合 A= ?x ? R

x ? 4x ? 0
2

? ,B= ?x ? R x

2

? 2( a ? 1) x ? a ? 1 ? 0
2

? ,且 A∪B=A,试求 a 的取值范围.

练 1:已知集合 M= ?2, a ? 2, a

2

? 4 , N ? a ? 3, a ? 2, a ? 4a ? 6 , 且M ? N ? ?2? ,求实数
2 2

?

?

?

a 的的值.

练 2:已知集合 A ? ?x

x ? bx ? c ? 0 , B ? x x ? mx ? 6 ? 0 , 且A ? B ? B, A
2 2

?

?

?

?B = ?2? ,求实数 b,c,m 的值.

练习:

1.已知集合 M

? x x ? px ? 2 ? 0 , N ? x x ? x ? q ? 0 , 且M ? N ? ?2? ,则
2 2

?

?

?

?

p, q 的值为 (

) .

A. p ? ?3, q ? ?2

B. p ? ?3, q ? 2

C. p ? 3, q ? ?2

D. p ? 3, q ? 2
) .

2.设集合 A={ (x,y)|4x+y=6} ,B={ (x,y)|3x+2y=7} ,则满足 C ? A∩B 的集合 C 的个数是( A.0 B .1 C.2 D.3

且A ? B ? B , 3.已知集合 A ? ?x | ?3 ? x ? 5?,B ? ?x | a ? 1 ? x ? 4a ? 1?,

B ? ? ,则实数 a 的取值范围是(

) .

A. a ? 1 C. a ? 0

B. 0 ? a ? 1 D. ? 4 ? a ? 1

4.设全集 U=R,集合 M ? ? x f ( x) ? 0? , N ? ? x g ( x) ? 0? , 则方程 A. M B. M ∩(Cu N)

f ( x) g ( x)

? 0 的解集是(

) .

C. M ∪(Cu N)

D. M ? N

5.有关集合的性质:(1) Cu(A ? B)=(Cu A)∪(Cu B); (2)Cu(A ? B)=(Cu A) ? (Cu B) (3) A ? (CuA)=U A.1 (4) A ? (CuA)= ? B. 2 C.3 其中正确的个数有( D.4 . )个.

6.已知集合 M={x|-1≤x<2=,N={x|x—a≤0} ,若 M∩N≠ ? ,则 a 的取值范围是

8. 已知 A ? B={3}, (CuA)∩B={4,6,8}, A∩(CuB)={1,5},(Cu A)∪(CuB)={ x x ? 10, x ? N * , x ? 3 },试求 Cu(A∪B),A,B.

考点:与集合有关的新概念问题
例 定义集合运算: A * B ? {z | z ? xy, x ? A, y ? B} 。设 A ? {1,2}, B ? {0,2} ,则集合 A * B 的所有元素之和为 ( )

A .0

B .2

C .3

D .6

选题意图:从题目看本题是一道新概念的问题,但实际上本题考查了学生对于集合的概念的理解,只有能够正确理解 集合的表示方法,相信不难得到正确答案。答案:D 分析:由定义知 A * B ? {0,2,4} ,故所有元素之和为 6. 例 设 S 为复数集 C 的非空子集,若对任意 x, y ? S ,都有 x ? y, x ? y, xy ? S ,则称 S 为封闭集。下列命题: ①集合 S ? {a ? bi | a, b为整数, i为虚数单位 }为封闭集; ②若 S 为封闭集,则一定有 0 ? S ; ③封闭集一定是无限集; ④若 S 为封闭集,则满足 S ? T ? C 的任意集合 T 也是封闭集。 其中的真命题是 .(写出所有真命题的序号)

选题意图:本题将集合与复数结合,既考查了学生对集合概念的理解,也考查了复数的运算,关键是有效考查了学生 的逻辑思维能力,是一道好题。答案:①② 分析:对于命题①,取 x ? a ? bi, y ? c ? di ,其中 a, b, c, d ? Z ,则 x ? y ? (a ? c) ? (b ? d )i ,

x ? y ? (a ? c) ? (b ? d )i ,所以 x ? y ? S , x ? y ? S 。而 xy ? (ac ? bd) ? (ad ? bc)i ,所以 xy ? S ,故 S 为封闭
集,①为真命题;对于命题②,取 x ? y ,则 x ? y ? 0 ? S ,②为真命题;对于③,若 S ? {0} ,则 S 为封闭集,故 ③为假命题;对于④,取 S ? {a ? bi | a, b ? Z } , T ? S ? { 2} ,则 S 为封闭集,但 T 不为封闭集,故④为假命题。 拓展训练:集合 A1 , A2 满足 A1 ? A2 ? A ,则称( A1 , A2 )为集合 A 的一种分拆,并规定: 当且仅当 A1 ? A2 时, ( A1 , A2 )与( A2 , A1 )为集合 A 的同一种分拆,则集合 A={ a, b, c }的不同分拆种数为多少?

解析:当 A1 = ? 时, A2 =A,此时只有 1 种分拆; 当 A1 为单元素集时, A2 = C A A1 或 A,此时 A1 有三种情况,故拆法为 6 种; 当 A1 为双元素集时,如 A1 ={ a , b },B= {c} 、 {a, c} 、 {b, c} 、 {a, b, c} ,此时 A1 有三种情况,故拆法为 12 种; 当 A1 为 A 时, A2 可取 A 的任何子集,此时 A2 有 8 种情况,故拆法为 8 种; 总之,共 27 种拆法。 拓展训练:非空集合 G 关于运算 ? 满足: (1)对任意 a, b ? G ,都有 a ? b ? G ; (2)存在 e ? G ,使得对一切 a ? G ,都有 a ? e ? e ? a ? a ,则称 G 关于运算 ? 为“融洽集” ;现给出下列集合和 运算: ① G ? ?非负整数? , ?为整数的加法 ③ G ? ?平面向量?, ?为平面向量的加法 ⑤ G ? ?虚数? , ?为复数的乘法 其中 G 关于运算 ? 为“融洽集”_____________;(写出所有“融洽集”的序号) 解析: ① G ? ?非负整数? , ?为整数的加法 ,满足任意 a, b ? G , 都有 a ? b ? G , 且令 e ? 0 , 有a?0 ? 0?a ? a, 所以①符合要求; ② G ? ?偶数? , ?为整数的乘法 ,若存在 a ? e ? a ? e ? a ,则 e ? 1 ,矛盾,∴ ②不符合要求; ③ G ? ?平面向量?, ?为平面向量的加法 ,取 e ? 0 ,满足要求,∴ ③符合要求; ④ G ? ?二次三项式?, ?为多项式的加法 ,两个二次三项式相加得到的可能不是二次三项式,所以④不符合要求; ⑤ G ? ?虚数? , ?为复数的乘法 ,两个虚数相乘得到的可能是实数,∴ ⑤不符合要求, 这样 G 关于运算 ? 为“融洽集”的有①③。 ② G ? ?偶数? , ?为整数的乘法 ④ G ? ?二次三项式?, ?为多项式的加法

补充例题:

第一节

集合的含义、表示及基本关系 A组

5.已知集合 A={x|x>5},集合 B={x|x>a},若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件,则实数 a 的取值范围 是________. 解析:命题“x∈A”是命题“x∈B” 的充分不必要条件,∴A B,∴a<5. 答案:a<5

B组
a b ab 1.设 a,b 都是非零实数,y= + + 可能取的值组成的集合是________. |a| |b| |ab| 解析:分四种情况:(1)a>0 且 b>0;(2)a>0 且 b<0;(3)a<0 且 b>0;(4)a<0 且 b<0,讨论得 y=3 或 y=-1.答案:{3, -1} 2.已知集合 A={-1,3,2m-1},集合 B={3,m2}.若 B?A,则实数 m=________. 解析:∵B?A,显然 m2≠-1 且 m2≠3,故 m2=2m-1,即(m-1)2=0,∴m=1.答案:1 3.设 P,Q 为两个非空实数集合,定义集合 P+Q={a+b|a∈P,b∈Q},若 P={0,2,5},Q={1,2,6},则 P+Q 中元素

的个数是________个. 解析:依次分别取 a=0,2,5;b=1,2,6,并分别求和,注意到集合元素的互异性,∴P+Q={1,2,6,3,4,8,7,11}.答案:8 5.满足{1} A?{1,2,3}的集合 A 的个数是________个. 解析:A 中一定有元素 1,所以 A 有{1,2},{1,3},{1,2,3}.答案:3 1 b 1 c 1 6. 已知集合 A={x|x=a+ , a∈Z}, B={x|x= - , b∈Z}, C={x|x= + , c∈Z}, 则 A、 B、 C 之间的关系是________. 6 2 3 2 6 解析:用列举法寻找规律.答案:A B=C

7.集合 A={x||x|≤4,x∈R},B={x|x<a},则“A?B”是“a>5”的________. 解析:结合数轴若 A?B?a≥4,故“A?B”是“a>5”的必要但不充分条件.答案:必要不充分条件 8.设集合 M={m|m=2n,n∈N,且 m<500},则 M 中所有元素的和为________. 解析:∵2n<500,∴n=0,1,2,3,4,5,6,7,8.∴M 中所有元素的和 S=1+2+22+?+28=511.答案:511 9.设 A 是整数集的一个非空子集,对于 k∈A,如果 k-1?A,且 k+1?A,那么称 k 是 A 的一个“孤立元”.给定 S= {1,2,3,4,5,6,7,8},由 S 的 3 个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合共有________个. 解析:依题可知,由 S 的 3 个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”,这三个元素一定是相连的三个数.故这样的 集合共有 6 个.答案:6 10.已知 A={x,xy,lg(xy)},B={0,|x|,y},且 A=B,试求 x,y 的值. 解:由 lg(xy)知,xy>0,故 x≠0,xy≠0,于是由 A=B 得 lg(xy)=0,xy=1. 1 ∴A={x,1,0},B={0,|x|, }. x 1 于是必有|x|=1, =x≠1,故 x=-1,从而 y=-1. x 11.已知集合 A={x|x2-3x-10≤0}, (1)若 B?A,B={x|m+1≤x≤2m-1},求实数 m 的取值范围; (2)若 A?B,B={x|m-6≤x≤2m-1},求实数 m 的取值范围; (3)若 A=B,B={x|m-6≤x≤2m-1},求实数 m 的取值范围. 解:由 A={x|x2-3x-10≤0},得 A={x|-2≤x≤5}, (1)∵B?A,∴①若 B=?,则 m+1>2m-1,即 m<2,此时满足 B?A. m+1≤2m-1, ? ? ②若 B≠?,则?-2≤m+1, ? ?2m-1≤5. 解得 2≤m≤3.

由①②得,m 的取值范围是(-∞,3]. 2m-1>m-6, ? ? (2)若 A?B,则依题意应有?m-6≤-2, ? ?2m-1≥5. m>-5, ? ? 解得?m≤4, ? ?m≥3. 故 3≤m≤4,

∴m 的取值范围是[3,4]. ? ?m-6=-2, (3)若 A=B,则必有? 解得 m∈?.,即不存在 m 值使得 A=B. ?2m-1=5, ? 12.已知集合 A={x|x2-3x+2≤0},B={x|x2-(a+1)x+a≤0}. (1)若 A 是 B 的真子集,求 a 的取值范围; (2)若 B 是 A 的子集,求 a 的取值范围; (3)若 A=B,求 a 的取值范围. 解:由 x2-3x+2≤0,即(x-1)(x-2)≤0,得 1≤x≤2,故 A={x|1≤x≤2}, 而集合 B={x|(x-1)(x-a)≤0}, (1)若 A 是 B 的真子集,即 A B,则此时 B={x|1≤x ≤ a},故 a>2. (2)若 B 是 A 的子集,即 B?A,由数轴可知 1≤a≤2.

(3)若 A=B,则必有 a=2

第二节

集合的基本运算 A组

5.某班共 30 人,其中 15 人喜爱篮球运动,10 人喜爱乒乓球运动,8 人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不 喜爱乒乓球运动的人数为________. 解析:设两项运动都喜欢的人数为 x,画出韦恩图得到方程 15-x+x+10-x+8=30 x=3,∴ 喜爱篮球运动但不喜爱乒 乓球运动的人数为 15-3=12(人).答案:12

B组
1.若集合 M={x∈R|-3<x<1},N={x∈Z|-1≤x≤2},则 M∩N=________. 解析:因为集合 N={-1,0,1,2},所以 M∩N={-1,0}.答案:{-1,0} 4.集合 A={3,log2a},B={a,b},若 A∩B={2},则 A∪B=________. 解析:由 A∩B={2}得 log2a=2,∴a=4,从而 b=2,∴A∪B={2,3,4}. 答案:{2,3,4} 5.已知全集 U=A∪B 中有 m 个元素,(?UA)∪(?UB)中有 n 个元素.若 A∩B 非空,则 A∩B 的元素个数为________. 解析:U=A∪B 中有 m 个元素, ∵(?UA)∪(?UB)=?U(A∩B)中有 n 个元素,∴A∩B 中有 m-n 个元素.答案:m-n

x 7.定义 A?B={z|z=xy+ ,x∈A,y∈B}.设集合 A={0,2},B={1,2},C={1},则集合(A?B)?C 的所有元素之和为 y ________. 解析:由题意可求(A?B)中所含的元素有 0,4,5,则(A?B)?C 中所含的元素有 0,8,10,故所有元素之和为 18.答案:18

9.设全集 I={2,3,a2+2a-3},A={2,|a+1|},?IA={5},M={x|x=log2|a|},则集合 M 的所有子集是________. 解析:∵A∪(?IA)=I,∴{2,3,a2+2a-3}={2,5,|a+1|},∴|a+1|=3,且 a2+2a-3=5,解得 a=-4 或 a=2, ∴M={log22,log2|-4|}={1,2}. 答案:?,{1},{2},{1,2} 10.设集合 A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+2(a+1)x+(a2-5)=0}. (1)若 A∩B={2},求实数 a 的值; (2)若 A∪B=A,求实数 a 的取值范围. 解:由 x2-3x+2=0 得 x=1 或 x=2,故集合 A={1,2}. (1)∵A∩B={2},∴2∈B,代入 B 中的方程,得 a2+4a+3=0?a=-1 或 a=-3;当 a=-1 时,B={x|x2-4= 0}={-2,2},满足条件;当 a=-3 时,B={x|x2-4x+4=0}={2},满足条件;综上,a 的值为-1 或-3. (2)对于集合 B,Δ=4(a+1)2-4(a2-5)=8(a+3).∵A∪B=A,∴B?A, ①当 Δ<0,即 a<-3 时,B=?满足条件;②当 Δ=0,即 a=-3 时,B={2}满足条件;③当 Δ>0,即 a>-3 时,B

=A={1,2}才能满足条件,则由根与系数的关系得 5 ? ? ?a=-2, ?1+2=-2(a+1) ? ?? 矛盾.综上,a 的取值范围是 a≤-3. 2 ?1×2=a -5 ? ? ?a2=7, 12.已知集合 A={x∈R|ax2-3x+2=0}. (1)若 A=?,求实数 a 的取值范围; (2)若 A 是单元素集,求 a 的值及集合 A; (3)求集合 M={a∈R|A≠?}. 解:(1)A 是空集,即方程 ax2-3x+2=0 无解. 2 若 a=0,方程有一解 x= ,不合题意. 3 9 若 a≠0,要方程 ax2-3x+2=0 无解,则 Δ=9-8a<0,则 a> . 8 9 综上可知,若 A=?,则 a 的取值范围应为 a> . 8 2 2 (2)当 a=0 时,方程 ax2-3x+2=0 只有一根 x= ,A={ }符合题意. 3 3 9 当 a≠0 时,则 Δ=9-8a=0,即 a= 时, 8 4 4 方程有两个相等的实数根 x= ,则 A={ }. 3 3 2 9 4 综上可知,当 a=0 时,A={ };当 a= 时,A={ }. 3 8 3 2 (3)当 a=0 时,A={ }≠?.当 a≠0 时,要使方程有实数根, 3 9 则 Δ=9-8a≥0,即 a≤ . 8 9 9 综上可知,a 的取值范围是 a≤ ,即 M={a∈R|A≠?}={a|a≤ } 8 8

学生对本次课的小结及评价 1、本次课你学到了什么知识 2、你对本次课评价: 课后作业情况: 教学小结 特别满意 有(见附件) 满意 一般 无 差 学生签字:

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【课后作业】
一、填空题
2 1. 已知全集 U ? R ,则正确表示集合 M ? {?1,0,1} 和 N ? x | x ? x ? 0 关系的韦恩(Venn)图是

?

?

2. 设集合 A ? {x | ?

1 ? x ? 2}, B ? {x x 2 ? 1} ,则 A B ? 2





A. {x ?1 ? x ? 2} C. {x | x ? 2}
2 3. 集合 A ? ?0,2, a? , B ? 1, a ,若 A

B. { x | ?

1 ? x ? 1} 2

D. {x |1 ? x ? 2}

?

?

B ? ?0,1,2,4,16? ,则 a 的值为(
D.4

)

A.0

B.1

C.2

4. 若集合 A ? x | 2 x ? 1|? 3 , B ? ? x

?

?

? 2x ?1 ? ? 0? , 则 A∩B 是 ? 3? x ?

1 ? A. ? ? x ?1 ? x ? ? 或2 ? x ? 3? 2 ? ?

B. x 2 ? x ? 3

?

?

? 1 ? C. ? x ? ? x ? 2? ? 2 ?

D. ? x ?1 ? x ? ? ?

? ?

1? 2?
)

5. 已知 P ? {a | a ? (1,0) ? m(0,1), m ? R}, Q ?{b | b ? (1,1) ? n( ? 1,1), n ? R } 是两个向量集合,则 P ? Q ? ( A. {(1,1)} 6
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B. {(-1,1)}

C. {(1,0)}

D. {(0,1)} )

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设集合 M ? {x | x ? k ? 1 , k ? Z } , N ? {x | x ? k ? 1 , k ? Z } ,则( 4 2 2 4 A
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M ?N

B

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M

N


C

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N

M

D

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M

N ??

7

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下列表述中错误的是( A C
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若 A ? B, 则A ? B ? A

B

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若 A ? B ? B,则A ? B
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( A ? B)

A

( A ? B)

D

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痧 U ?A

B? ? ?

U

A ?

?

U

B ?

二、填空题 8. 已知集合 A ? ?x | x ? 1 ? , B ? ?x | x ? a? ,且 A ? B ? R ,则实数 a 的取值范围是______________________ . .

x 9. 若 A ? x ? R x ? 3 , B ? x ? R 2 ? 1 ,则 A

?

?

?

?

B?



10. 设 A 是整数集的一个非空子集,对于 k ? A ,如果 k ? 1 ? A 且 k ? 1 ? A ,那么 k 是 A 的一个“孤立元”,给定

S ? {1, 2,3, 4,5,6,7,8,} ,由 S 的 3 个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合共有
三、解答题 12. 已知 A ? {x ? 2 ? x ? 5} , B ? {x m ?1 ? x ? 2m ?1} , B ? A ,求 m 的取值范围
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个.

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2 13.已知集合 A ? ?x | ?2 ? x ? a? , B ? ? y | y ? 2x ? 3, x ? A? , C ? z | z ? x , x ? A ,且 C ? B ,求 a 的取值范围

?

?

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2 2 14.设 U ? R ,集合 A ? x | x ? 3 x ? 2 ? 0 , B ? x | x ? (m ? 1) x ? m ? 0 ,若 (? U A)

?

?

?

?

B ? ? ,求 m 的值

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3.下面表示同一集合的是( ) (A)M={(1,2)},N={(2,1)} (C)M= ? ,N={ ? }

(B)M={1,2},N={(1,2)} (D)M={x| x 2 ? 2 x ? 1 ? 0} ,N={1} ) (C)x∈CU(P∪Q) (C)CUN ? CUM (D)x∈CUP (D)CUM ? CUN )

4.若 P ? U,Q ? U,且 x∈CU(P∩Q) ,则( (A)x ? P 且 x ? Q (B)x ? P 或 x ? Q 5. 若 M ? U,N ? U,且 M ? N,则( ) (A)M∩N=N (B)M∪N=M
2 2

6.已知集合 M={y|y=-x +1,x∈R},N={y|y=x ,x∈R},全集 I=R,则 M∪N 等于( (A){(x,y)|x= ?
2 2 ,y ? 1 2 , x, y ? R}

(B){(x,y)|x ? ?

2 2

,y?

1 2

, x, y ? R}

(C){y|y≤0,或 y≥1} (D){y|y<0, 或 y>1} 7. 50 名学生参加跳远和铅球两项测试,跳远和铅球测试成绩分别及格 40 人和 31 人,两项测试均不及格的有 4 人,则两项 测试成绩都及格的人数是( ) (A)35 (B)25 (C)28 (D)15 8.设 x,y ? R,A= ?( x, y) y ? x? ,B=

?

( x, y )

y x

? 1 ,则 A、B 间的关系为(

?



(A)A B (B)B A 9. 设全集为 R,若 M= ?x x ? 1? ,N= (A) ?x x ? 0? (B)

(C)A=B (D)A∩B= ? ?x 0 ? x ? 5? ,则(CUM)∪(CUN)是( (C) ?x x ? 1或x ? 5? (D)



?x x ? 1或x ? 5?

?x x ? 0或x ? 5?

10.已知集合 M ? { x | x ? 3m ? 1 , m ? Z }, N ? { y | y ? 3n ? 2 , n ? Z } ,若 x0 ? M , y0 ? N , 则 x0 y 0 与集合 M , N 的关系 是 ( ) (A) x0 y 0 ?M 但 ? N (B) x0 y 0 ? N 但 ? M (C) x0 y 0 ? M 且 ? N (D) x0 y 0 ?M 且 ? N 11.集合 U,M,N,P 如图所示,则图中阴影部分所表示的集合是( (A)M∩(N∪P) (B)M∩CU(N∪P) (C)M∪CU(N∩P) (D)M∪CU(N∪P) 12.设 I 为全集,A ? I,B A,则下列结论错误的是( (A)CIA CIB (B)A∩B=B ) (D) CIA∩B= ? 个. . ) U P M N

(C)A∩CIB = ?

14.已知集合 M={a,0},N={1,2},且 M∩N={1},那么 M∪N 的真子集有 15.已知 A={-1,2,3,4};B={y|y=x2-2x+2,x∈A},若用列举法表示集合 B,则 B= 16.设 I ? ? 1 , 2 , 3 , 4 ? , A 与 B 是 I 的子集,若 A 想配集”,那么符合此条件的“理想配集”的个数是 “理想配集”)
B ? ? 2 , 3 ? ,则称 ( A, B ) 为一个“理

. (规定 ( A, B ) 与 ( B , A) 是两个不同的

18.设全集 U=R,集合 A= ?x ? 1 ? x ? 4? ,B= ? y y ? x ? 1, x ? A? ,试求 CUB, A∪B, A∩B,A∩(CUB), ( CU A) ∩(CUB).

19.设集合 A={x|2x2+3px+2=0};B={x|2x2+x+q=0},其中 p,q,x∈R,当 A∩B=

??
1 2

时,求 p 的值和 A∪B.

20.设集合 (1) a 为何值时,集合 A∩B 有两个元素; (2) a 为何值时,集合 A∩B 至多有一个元素.

,B= ?( x, y) y ? 2 x ? a? ,问:

21.已知集合 A= ?a1 , a2 , a3 , a4 ? ,B= a1 , a2 , a3 , a4
2 2 2

?

2

? ,其中 a , a , a , a 均为正整数,且 a
1 2 3 4

1

? a2 ? a3 ? a4 ,A∩B={a1,a4},

a1+a4=10, A∪B 的所有元素之和为 124,求集合 A 和 B.

部分参考答案: 1-5 B A D D A 5、 【解析】因为 a ? (1, m) 6、 【答案】B 【解析】 M : 7、C 10、6 8、a≤1 9、 (0,3)

b ? (1? n,1? n) 代入选项可得 P ? Q ? {(1,1)}.
2k ? 1 奇数 k ? 2 整数 , , ;N: ,整数的范围大于奇数的范围 4 4 4 4

?1,2,3?,?2,3,4?,?3,4,5?,?4,5,6?, ?5,6,7?, ?6,7,8? 共 6 个.故应填 6.
当 m ? 1 ? 2m ? 1 ,即 m ? 2 时, B ? ?3? , 满足 B ? A ,即 m ? 2 ;

12、当 m ? 1 ? 2m ? 1 ,即 m ? 2 时, B ? ? , 满足 B ? A ,即 m ? 2 ;

当 m ? 1 ? 2m ? 1 ,即 m ? 2 时,由 B ? A ,得 ? ∴m ? 3

?m ? 1 ? ?2 即2 ? m ? 3; ?2m ? 1 ? 5

2 13、 B ? ?x | ?1 ? x ? 2a ? 3? ,当 ?2 ? a ? 0 时, C ? x | a ? x ? 4 ,

?

?

而 C ? B 则 2a ? 3 ? 4, 即a ?

1 , 而 ? 2 ? a ? 0, 这是矛盾的; 2

当 0 ? a ? 2 时, C ? ?x | 0 ? x ? 4? ,而 C ? B , 则 2a ? 3 ? 4, 即a ?

1 1 ,即 ? a ? 2 ; 2 2

2 当 a ? 2 时, C ? x | 0 ? x ? a ,而 C ? B ,

?

?

则 2a ? 3 ? a2 ,即 2 ? a ? 3 ; ∴ 14、 A ? ??2, ?1? ,由 (? U A)

1 ?a?3 2

B ? ? , 得B ? A ,

当 m ? 1 时, B ? ??1? ,符合 B ? A ; 当 m ? 1 时, B ? ??1, ?m? ,而 B ? A ,∴ ? m ? ?2 ,即 m ? 2 ∴ m ? 1或 2
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