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2015-2016学年高中数学 1.2.3同角三角函数的基本关系式课件 新人教B版必修4


第一章 基本初等函数

第一章
1.2 1.2.3 任意角的三角函数

同角三角函数的基本关系式

1

课前自主预习

2

课堂典例讲练

4

思想方法技巧

3

/>易错疑难辨析

5

课 时 作 业

课前自主预习

“物以类聚,人以群分”,之所以“分群”、“分类”,

是因为同类之间有很多共同点,彼此紧密地联系.
我们现在研究的三角函数,同角的正弦、余弦、正切之间 有什么关系呢?

同角三角函数的基本关系式

sin2α+cos2α=1 (1)平方关系:____________________.
即同一个角的正弦、余弦的平方和等于 1. sinα =tanα cos α (2)商数关系:________________________. 即同一个角的正弦、余弦的商等于这个角的正切.

tanα· cotα=1 (3)倒数关系: ____________________ , 即同一个角的正切、
余切之积等于 1(或同一个角的正切、余切互为倒数).

2 5 π 1.已知 sinα= 5 ,2<α<π,则 tanα=( A.2 1 C.2
[答案] B

)

B.-2 1 D.-2

2 5 π [解析] ∵sinα= 5 ,2<α<π, ∴cosα=-
?2 5? ?2 1-? ? 5 ? =- ? ?

5 5,

sinα ∴tanα=cosα=-2.

2.

1-cos 5=(



) π B.cos5 π D.-cos5

π A.sin5 π C.-sin5

[答案] A
[解析] 1-cos 5=


π sin 5=sin5.



5 3.(2015· 湖南浏阳一中高一月考)已知 sinα-cosα=-4, 则 sinαcosα=( 7 A. 4 9 C.-32 ) 9 B.-16 9 D.32

[答案] C

5 [解析] ∵sinα-cosα=-4, 25 ∴sin α-2sinαcosα+cos α=16,
2 2

25 ∴1-2sinαcosα=16, 9 ∴sinαcosα=-32.

4 4.若 sinθ=-5,tanθ>0,则 cosθ=________. 3 [答案] -5

4 [解析] ∵sinθ=-5,tanθ>0, 3 ∴cosθ<0.∴cosθ=- 1-sin θ=-5.
2

sinα-cosα 5.已知 tanα=-3,那么 的值为________. 3sinα+5cosα

[答案] 1
[解析] sinα-cosα tanα-1 ∵ tanα = - 3 , ∴ = = 3sinα+5cosα 3tanα+5

-3-1 =1. 3×?-3?+5

6 . 求 证 : sin2α·tanα + cos2α·cotα + 2sinα·cosα = tanα +

cotα.
sinα 1 2 [解析] 左边=sin α· cosα cosα+cos α· tanα+2sinα·
2

sin4α+cos4α+2sin2αcos2α sin3α cos3α = cosα + sinα +2sinα· cosα= sinα· cosα ?sin2α+cos2α?2 1 = sinα· cosα =sinαcosα, 1 sinα cosα 右边=tanα+tanα=cosα+ sinα sin2α+cos2α 1 = sinαcosα =sinαcosα,∴原式成立.

课堂典例讲练

求三角函数的值
8 已知 cosα=-17,求 sinα、tanα 的值.

[分析]

可先由余弦值是负的确定角α的终边在第二或第三

象限,然后再分象限讨论.

[解析] 因为 cosα<0, 且 cosα≠-1, 故 α 是第二或第三象 限角. 如果 α 是第二象限角,那么 sinα= 1-cos α=
2

? 8 ?2 15 1-?-17? =17, ? ?

sinα 15 ? 17? 15 ? ? tanα=cosα=17× - 8 =- 8 . ? ? 15 15 如果 α 是第三象限角,那么 sinα=-17,tanα= 8 . [点评] 本题没有具体指出α是第几象限角,必须由cosα的

值推断α可能是第几象限的角,再分象限加以讨论.

已知tanα=2,求sinα与cosα的值.
[解析] ∵tanα=2>0,∴α 是第一或第三象限角. sinα ∵tanα=2,∴cosα=2,即 sinα=2cosα,代入 sin2α+cos2α 1 =1,得 cos α=5.
2

5 2 5 当 α 为第一象限角时,cosα= 5 ,sinα=2cosα= 5 ; 5 2 5 当 α 为第三象限角时,cosα=- 5 ,sinα=2cosα=- 5 .

求三角函数式的值
1 已知 tanα=-3,求下列各式的值: 4sinα-2cosα (1) ; 5cosα+3sinα 3 (2)2sin α-2sinαcosα+5cos2α;
2

1 (3) . 1-sinαcosα

[分析]

由于已知条件为切,所求式为弦,故应想办法将

切化弦,或将弦化切(这是一种分析综合的思想).若切化弦, sinα 1 应把条件 tanα=cosα=-3代入所求式,消去其中一种函数名, 再进一步求值; 若弦化切, 应把所求式化成用 tanα 表示的式子, 一般来说,关于 sinα 和 cosα 的齐次式都可化为以 tanα 表示的 式子.

sinα 1 [解析] (1)解法一:由 tanα=cosα=-3得 cosα=-3sinα, 4sinα-2?-3sinα? 10sinα 代入所求式得 = 5?-3sinα?+3sinα -12sinα 5 =-6. 1 4sinα-2cosα 4tanα-2 4×?-3?-2 5 解法二: = = 1 =-6. 5cosα+3sinα 5+3tanα 5+3×?-3?

3 2sin α-2cosαsinα+5cos2α (2)原式= sin2α+cos2α
2

? ? 3 1 2 ? ? = 2tan α-2tanα+5 · 2 ? ? 1+tan α ? ? 1 1 9 103 =?2×9+2+5?×10= 20 . ? ?

1 (3)原式= 2 sin α+cos2α-sinαcosα sin2α+cos2α = 2 sin α+cos2α-sinαcosα 10 1+tan2α 9 10 = 2 = = . tan α-tanα+1 13 13 9

(2015·四川文,13)已知sin α+2cos α=0,则2sin α·cos α
-cos2α的值是__________. [答案] -1
[解析] 由已知可得 tan α=-2,∴2sin αcos α-cos2 α= 2sin αcos α-cos2 α 2tan α-1 -4-1 = 2 = =-1. sin2 α+cos2 α tan α+1 4+1

三角函数式的化简及证明 化简下列各式:
1-2sin10° cos10° (1) 1-sin 40° ;(2) . 2 sin10° - 1-sin 10°
2

[分析]

本题是化简二次根式,应将被开方式化为完全平

方式,从二次根号下移出来,同时要注意移出后的符号.

[解析] (1) 1-sin240° = cos240° =cos40° . 1-2sin10° cos10° ?cos10° -sin10° ?2 (2) = 2 - cos210° sin10° - 1-sin 10° sin10° |cos10° -sin10° | cos10° -sin10° = = =-1. sin10° -cos10° sin10° -cos10°
[点评] 利用同角三角函数之间的关系公式去掉根号是解

决此题的关键,对于去掉根号后的含绝对值的式子,需根据绝

对值内的式子的符号,做好分类讨论,去掉绝对值.

1+sinα cosα 求证: = cosα . 1-sinα
[ 分析 ] 解法一:因为右边分母为 cosα ,故可将左边分

子、分母同乘cosα,整理化简即可.
解法二:只要证明左式-右式=0即可.

cos2α [解析] 解法一:左边= cosα?1-sinα? 1-sin2α = cosα?1-sinα? ?1-sinα??1+sinα? = cosα?1-sinα? 1+sinα = cosα =右边, ∴原式成立.

1+sinα cosα 解法二:∵ - cosα 1-sinα cos2α-?1+sinα??1-sinα? cos2α-?1-sin2α? = = cosα?1-sinα? cosα?1-sinα? cos2α-cos2α = =0, cosα?1-sinα? 1+sinα cosα ∴ = cosα . 1-sinα

利用sinα±cosα,sinαcosα之间的关系求值
1 已知 α∈(0,π),sinα+cosα=3,计算下列各式 的值: (1)sinαcosα; (2)sinα-cosα.

1 [分析] 先由 sinα+cosα=3两边平方,求出 sinαcosα,判 断出 α 的象限,再求出 sinα-cosα

1 [解析] (1)由 sinα+cosα=3两边平方,得 sin2α+cos2α+ 1 2sinαcosα=9, 4 ∴sinαcosα=-9.

4 (2)由(1)知 sinαcosα=-9<0, 又∵α∈(0,π), π ∴cosα<0,∴α∈(2,π), ∴sinα-cosα>0, ∴sinα-cosα= ?sinα-cosα?2 = sin2α+cos2α-2sinαcosα = 1-2sinαcosα= 17 = 3 . 8 1+9

[点评] (1)sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα 三个式子中, 已知其中一个,可以求其他两个,即“知一求二”,它们之间 的关系是(sinα± cosα)2=1± 2sinαcosα. (2)由 sinαcosα 求 sinα+cosα 或 sinα-cosα 的值时, 要注意 判断它们的符号.

2 角 A 为△ABC 的一个内角,若 sinA+cosA=3,则这个三 角形为( ) B.钝角三角形 D.等腰三角形 A.锐角三角形 C.等腰直角三角形
[答案] B

2 4 [解析] 将 sinA+cosA=3两边平方得 1+2sinAcosA=9, 5 ∴sinAcosA=-18<0, 又∵0<A<π,∴sinA>0, cosA<0,故角 A 为钝角.

易错疑难辨析

已知cosθ=t,求sinθ、tanθ的值.
[错解] (1)当 0<t<1 时,θ 为第一或第四象限角,θ 为第一 象限角时,sinθ= 1-cos2θ= 1-t2, 1-t2 sinθ tanθ=cosθ= t ; θ 为第四象限角时,sinθ=- 1-cos2θ=- 1-t2; 1-t2 sinθ tanθ=cosθ=- t .

(2)当-1<t<0 时,θ 为第二或第三象限角,θ 为第二象限角 时,sinθ= 1-cos2θ= 1-t2, 1-t2 sinθ tanθ=cosθ= t ; θ 为第三象限角时, sinθ=- 1-cos2θ=- 1-t2.
2 1 - t sinθ tanθ=cosθ=- t .

2 ? ? 1-t ?θ为第一、二象限角? 综上,sinθ=? 2 ? ?- 1-t ?θ为第三、四象限角? 2 ? 1 - t ? ? t ?θ为第一、二象限? tanθ=? 1-t2 ? - t ?θ为第三、四象限? ? ?



.

[ 辨析 ]

上述解法注意到了 θ 的余弦值含有参数 t ,根据余

弦函数的取值范围对t进行分类讨论,但上述讨论不全面,漏掉

了很多情况,如t=-1,t=0,t=1.

[正解] 当 t=-1 时,sinθ=0,tanθ=0; 当-1<t<0 时, θ 为第二或第三象限角, 若 θ 为第二象限角,
2 1 - t 则 sinθ= 1-t2,tanθ= t ,若 θ 为第三象限角,则 sinθ= 2 - 1 - t - 1-t2,tanθ= . t

当 t=0 时,sinθ=1,tanθ 不存在或 sinθ=-1,tanθ 不存 在.

当 0<t<1 时,θ 为第一或第四象限角,若 θ 为第一象限角,
2 1 - t 则 sinθ= 1-t2,tanθ= t ,若 θ 为第四象限角,则 sinθ= 2 1 - t - 1-t2,tanθ=- t .

当 t=1 时,sinθ=0,tanθ=0. 综上得:

? 1-t2?θ为第一、二象限角,或终边落在y轴 ? ? 正半轴上,或终边落在x轴上? sinθ=? 2 - 1 - t ?θ为第三、四象限角,或终边落在 ? ? ? y轴负半轴上? ? 1-t2 ? ?θ为第一、二象限角,或终边落在x t ? ? 轴上? tanθ=? ?不存在 ?θ终边落在y轴上? ? 1-t2 ?- t ?θ为第三、四象限角? ?



.

思想方法技巧

方程思想 (2015· 山东潍坊市四县联考)已知关于 x 的方程 2x2-( 3+1)x+m=0 的两根为 sinθ 和 cosθ,求: sinθ cosθ (1) + 的值; 1-cotθ 1-tanθ (2)m 的值; (3)方程的两根.

[解析] 已知方程的两根为 sinθ 和 cosθ, ? 3+1 ?sinθ+cosθ= 2 ? m ∴? ?sinθcosθ= 2 ? ?Δ=4+2 3-8m≥0 ① ② ③

sinθ cosθ sin2θ cos2θ (1) + = + = 1-cotθ 1-tanθ sinθ-cosθ cosθ-sinθ sin2θ-cos2θ 3+1 =sinθ+cosθ= 2 . sinθ-cosθ

2+ 3 (2)对①式两边平方,得 1+2sinθcosθ= 2 , 3 3 3 m 所以 sinθcosθ= 4 .由②,得 2 = 4 ,所以 m= 2 . 2+ 3 3 由③,得 m≤ 4 ,所以 m= 2 . 3 3 2 (3)∵m= 2 ,∴原方程为 2x -( 3+1)x+ 2 =0. 3 1 解得 x1= 2 ,x2=2, 3 ? ?sinθ= 2 所以? ?cosθ=1 2 ? 3 ? ?cosθ= 2 ,或? ?sinθ=1 2 ?

.


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