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必修四培优4


三角函数及三角恒等变换(一) (40 分钟)
姓名 一、选择题(每小题 5 分,共 4 小题) 1.( 浙江理) (9)设函数 f ( x ) = 4 sin(2 x + 1) ? x ,则在下列区间中函数 f ( x ) 不存在 1.(2010 浙江理) . 零点的是 (A) [ ?4, ?2 ] (B) [ ?2, 0] (C) [ 0, 2] (D) [ 2, 4] 分数

2. (2010 全国卷 1 理)(2)记 cos( ?80°) = k ,那么 tan100° =

1? k2 k A.

1? k2 k B. -

k
C.

k
D. - 1 ? k
2

1? k2


3、 (2008 海南、宁夏)

3 ? sin 70 =( 2 ? cos 2 10
C. 2 D.

A.

1 2

B.

2 2

3 2

4、(安徽六校联考)函数 y = tan ω x (ω > 0) 与直线 y = a 相交于 A 、 B 两点,且 | AB | 最小值为 π , 则函数 f ( x) = 3 sin ω x ? cos ω x 的单调增区间是( ) A. [2kπ ? , 2kπ + ] (k ∈ Z )
6 6

π

π

B. [2kπ ? ,2kπ +
3

π

2π ] (k ∈ Z ) 3 5π ] (k ∈ Z ) 6

C. [2kπ ?

2π π ,2kπ + ] (k ∈ Z ) 3 3

D. [2kπ ? ,2kπ +
6

π

二、填空题(每小题 5 分) 5.(肥城市第二次联考)已知函数 y = 2 sin(ωx + ? ) (0 < ? < π ) 为偶函数, ( x1 ,2), ( x 2 ,2) 为其图象上两点,若 x1 ? x 2 的最小值为 π ,则 ω = 三、解答题 6、知函数 f ( x ) = sin(ωx + ? ) (其中 ω > 0, ? < 图像与 x 轴的任意两个相邻交点间的距离为 条对称轴. (1)求 y = f ( x ) 的表达式. (2)求函数 h( x ) = f ( x ) + g ( x ) 的单调递增区间.(12 分) ,? = 。

π
2

), g ( x) = 2 sin 2 x .若函数 y = f ( x) 的

π
2

, 且直线 x =

π
6

是函数 y = f ( x ) 图像的一

7. (2009 江苏, 分) 14 设向量 a = (4 cos α ,sin α ), b = (sin β , 4 cos β ), c = (cos β , ?4 sin β ) (1)若 a 与 b ? 2c 垂直,求 tan(α + β ) 的值; (2)求 | b + c | 的最大值; (3)若 tan α tan β = 16 ,求证: a ∥ b . 湖北理) (本小题满分 12 分) 8.(2010 湖北理) 已知函数 f(x)= cos(

π

π 1 1 + x) cos( ? x), g ( x) = sin 2 x ? 3 3 2 4

(Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)求函数 h(x)=f(x)-g(x)的最大值,并求使 h(x)取得最大值的 x 的集合。 9.(2009广 东 卷 理 ) (本小题满分12 12分) 12 已知向量 a = (sin θ ,?2) 与 b = (1, cos θ ) 互相垂直,其中 θ ∈ (0, (1)求 sin θ 和 cos θ 的值; (2)若 sin(θ ? ? ) =

π
2

).

10 π , 0 < ? < ,求 cos ? 的值. 10 2

一、选择题(每小题 5 分,共 4 小题) 1.( 浙江理) (9)设函数 f ( x ) = 4 sin(2 x + 1) ? x ,则在下列区间中函数 f ( x ) 不存在 1.(2010 浙江理) . 零点的是 (A) [ ?4, ?2 ] 答案 A (B) [ ?2, 0] (C) [ 0, 2] (D) [ 2, 4]

解析:将 f ( x ) 的零点转化为函数 g ( x ) = 4 sin (2 x + 1)与h( x ) = x 的交点,数形结合可知答 案选 A,本题主要考察了三角函数图像的平移和函数与方程的相关知识点,突出了对转化思 想和数形结合思想的考察,对能力要求较高,属较难题 2. (2010 全国卷 1 理)(2)记 cos( ?80°) = k ,那么 tan100° =

1? k2 k A.

1? k2 k B. -

k
C.

k
2

1? k

D. - 1 ? k

2

3、2.(2008 海南、宁夏)

3 ? sin 70 =( 2 ? cos 2 10
C. 2 D.



A.

1 2

B.

2 2

3 2

答案 C 解析

3 ? sin 70 3 ? cos 20 3 ? (2 cos 2 20 ? 1) = = = 2 ,选 C 2 ? cos 2 10 2 ? cos 2 10 2 ? cos 2 10

4、(安徽六校联考)函数 y = tan ω x (ω > 0) 与直线 y = a 相交于 A 、 B 两点,且 | AB | 最小值为 π , 则函数 f ( x) = 3 sin ω x ? cos ω x 的单调增区间是( ) A. [2kπ ? , 2kπ + ] (k ∈ Z )
6 6

π

π

B. [2kπ ? ,2kπ +
3

π

2π ] (k ∈ Z ) 3 5π ] (k ∈ Z ) 6

C. [2kπ ? 答案 B

2π π ,2kπ + ] (k ∈ Z ) 3 3

D. [2kπ ? ,2kπ +
6

π

二、填空题(每小题 5 分)

5.(肥城市第二次联考)已知函数 y = 2 sin(ωx + ? ) (0 < ? < π ) 为偶函数, ( x1 ,2), ( x 2 ,2) 为其图象上两点,若 x1 ? x 2 的最小值为 π ,则 ω = ,? = 。

解析: 由题意分析知函数 y = 2 sin(ωx + ? ) 的周期为 T = π ,∴ ω =



π

= 2, 又因为函数

y = 2 sin(ωx + ? ) (0 < ? < π ) 为偶函数,所以必须变换成余弦函数形式,综合分析知

ω = 2, ? =
三、解答题

π
2



6、知函数 f ( x ) = sin(ωx + ? ) (其中 ω > 0, ? < 图像与 x 轴的任意两个相邻交点间的距离为 条对称轴. (1)求 y = f ( x ) 的表达式. (2)求函数 h( x ) = f ( x ) + g ( x ) 的单调递增区间.

π
2

), g ( x) = 2 sin 2 x .若函数 y = f (x) 的

π
2

, 且直线 x =

π
6

是函数 y = f ( x ) 图像的一

(1)由函数 y = f ( x) 的图像与 x 轴的任意两个相邻交点间的距离为

π 得函数周期为 π , 2

∴ω = 2
? = 2kπ +

∵ 直线 x =

π π 是函数 y = f ( x) 图像的一条对称轴,∴ sin( 2 ? + ? ) = ±1 , 6 6 π ∴ f ( x) = sin( 2x + ) . 6

7π π π π 或 2kπ + , (k ∈ Z ) , ∵ ? < , ∴ ? = . 6 6 2 6 π 6 π 6

(2) h( x) = sin( 2x + ) ? cos 2x + 1 = sin( 2x ? ) + 1
∴ 2kπ ? π π π ≤ 2x ? ≤ 2kπ + (k ∈ Z) , 2 6 2 π π ≤ x ≤ kπ + (k ∈ Z) . 6 3

即函数 h( x) 的单调递增区间为 kπ ?

7.(2009 江苏,14)设向量 a = (4 cos α ,sin α ), b = (sin β , 4 cos β ), c = (cos β , ?4 sin β ) (1)若 a 与 b ? 2c 垂直,求 tan(α + β ) 的值; (2)求 | b + c | 的最大值; (3)若 tan α tan β = 16 ,求证: a ∥ b . 分析 本小题主要考查向量的基本概念, 同时考查同角三角函数的基本关系式、 二倍角的正 弦、两角和的正弦与余弦公式,考查运算和证明得基本能力。

湖北理) (本小题满分 12 分) 8.(2010 湖北理) 16. 已知函数 f(x)= cos(

π

π 1 1 + x) cos( ? x), g ( x) = sin 2 x ? 3 3 2 4

(Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)求函数 h(x)=f(x)-g(x)的最大值,并求使 h(x)取得最大值的 x 的集合。 18.(2009广 东 卷 理 ) (本小题满分12分) 1 已知向量 a = (sin θ ,?2) 与 b = (1, cos θ ) 互相垂直,其中 θ ∈ (0, (1)求 sin θ 和 cos θ 的值; (2)若 sin(θ ? ? ) =

π
2

).

10 π , 0 < ? < ,求 cos ? 的值. 10 2

解: (1)∵ a 与 b 互相垂直,则 a ? b = sin θ ? 2 cos θ = 0 ,即 sin θ = 2 cos θ ,代入

sin 2 θ + cos 2 θ = 1 得 sin θ = ± 2 5 5 , cos θ = . 5 5

2 5 5 π , cos θ = ± ,又 θ ∈ (0, ) , 5 5 2

∴ sin θ =

(2)∵ 0 < ? <

π
2

,0 <θ <

π
2

,∴ ?

π
2

< θ ?? <

π
2

,则

cos(θ ? ? ) = 1 ? sin 2 (θ ? ? ) =

3 10 , 10 2 . 2

∴ cos ? = cos[θ ? (θ ? ? )] = cos θ cos(θ ? ? ) + sin θ sin(θ ? ? ) =


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