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宝山2016届高三一模数学卷(附答案)


宝山区 2015 学年度第一学期期末 高三年级数学学科教学质量监测试卷
(本试卷共有 23 道试题,满分 150 分,考试时间 120 分钟.)
一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,只要求直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.方程 4 ? 2 ? 6 ? 0 的解集为
x x

. . .

2.已知: (1-2i) z ? 5+10i ( i 是虚数单位 ),则 z =

3.以 (1,2) 为圆心,且与直线 4 x ? 3 y ? 35 ? 0 相切的圆的方程是
n ? ? ?? 2 ? ? 4.数列 ?? ? , n ? N *? 所有项的和为 ?? 3 ? ? ? ?



5. 已知矩阵 A= ? ?

? 1 2? ? x 6? ? 19 22? ? ? ,B= ? ,AB= ? ? ? ? ? 43 50? ? ,则 x+y= ? y 4? ?7 8? ? ?

. .

6. 等腰直角三角形的直角边长为1,则绕斜边旋转一周所形成的几何体的体积为

a? ? 3 7.若 ? x ? ? 的展开式中 x 的系数是-84,则a= x? ?
8. 抛物线 y ? ?12 x 的准线与双曲线
2

9



x2 y 2 ? ? 1 的两条渐近线所围成的三角形的面积等于 9 3



9. 已知 ?, t ? 0, 函数 f ( x) ?

3 1

sin ?x cos?x

的最小正周期为 2? , 将 f ( x) 的图像向左平移 t 个单位, 所得图像对应的 .

函数为偶函数,则 t 的最小值为

10.两个三口之家,共4个大人,2个小孩,约定星期日乘红色、白色两辆轿车结伴郊游,每辆车最多乘坐4人,其中 两个小孩不能独坐一辆车,则不同的乘车方法种数是 11. 向量 a , b 满足 a ? 1 , a ? b ? . . 项.

r

r

r

r

r

r 3 r r , a 与 b 的夹角为60°,则 b ? 2
8 是该数列的第 9

??? ,则 12. 数列 1, , ,, ,, , , , ,

1 2 1 2 3 1 2 3 4 2 1 3 2 1 4 3 2 1

13. 已知直线 (1 ? a) x ? (a ? 1) y ? 4(a ? 1) ? 0 (其中 a 为实数) 过定点 P , 点 Q 在函数 y ? x ? 连线的斜率的取值范围是 .

1 的图像上, 则 PQ x

14. 如图,已知抛物线 y ? x 及两点 A1 (0, y1 ) 和 A2 (0, y2 ) ,其中 y1 ? y2 ? 0 .过 A 1 , A2 分别作 y 轴的垂线,交抛
2

物线于 B1 , B2 两点,直线 B1 B2 与 y 轴交于点 A3 (0, y3 ) ,此时就称 A 1 , A2 确定了 A 3 .依此类推,可由 A2 , A 3确 定 A4 , L .记 An (0, yn ) , n ? 1, 2,3,L .

给出下列三个结论: ① 数列 { yn } 是递减数列; ② 对任意 n ? N , yn ? 0 ;
*

③ 若 y1 ? 4 , y2 ? 3 ,则 y5 ?

2 . 3

其中,所有正确结论的序号是_____. 二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个结论,其中有且只有一 个结论是正确的.必须用 2B 铅笔将正确结论的代号涂黑,选对得 5 分,不选、选错或者选出的代号超过一个,一 律得零分. 15.如图,该程序运行后输出的结果为?? ( ) (A)1 (B)2 (C)4 (D)16

16. P是 ?ABC 所在平面内一点,若 CB ? ? PA ? PB ,其中 ? ? R , 则P点一定在??( (A) ?ABC 内部 (C)AB边所在直线上 ) (B)AC边所在直线上 (D)BC边所在直线上

17.若 a , b 是异面直线,则下列命题中的假命题为 ------------------------------------------ ( ) (A)过直线 a 可以作一个平面并且只可以作一个平面 ? 与直线 b 平行; (B)过直线 a 至多可以作一个平面 ? 与直线 b 垂直; (C)唯一存在一个平面 ? 与直线 a、b 等距; (D)可能存在平面 ? 与直线 a、b 都垂直。 18.王先生购买了一部手机,欲使用中国移动“神州行”卡或加入联通的130网,经调查其收费标准见下表:(注: 本地电话费以分为计费单位,长途话费以秒为计费单位.) 网络 甲:联通130 乙:移动“神州行” 月租费 12元 无 本地话费 0.36元/分 0.60元/分 长途话费 0.06元/秒 0.07元/秒

若王先生每月拨打本地电话的时间是拨打长途电话时间的5倍,若要用联通130应最少打多长时间的长途电话才 合算. ??( ) (B)400秒 (C)500
A

(A)300秒 (D)600秒



三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列 必须写出必要的步骤,答题务 必写在黑色矩形边框内.

各 题
P Q B C

19.(本题满分 12 分) 在三棱锥 P ? ABC 中,已知 PA,PB,PC 两两垂直,PB=5,PC=6,三棱锥 P ? ABC 的体积为 20,Q 是 BC 的 中点,求异面直线 PB,AQ 所成角的大小(结果用反三角函数值表示)。

20. (本题满分 14 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分) 已 知 角 A、B、C 是 ?ABC 的 三 个 内 角 , a、b、c 是 各 角 的 对 边 , 若 向 量

9 A? B? A? B? ? ?5 m ? ?1 ? cos(A ? B), c o s ? , n ? ? , cos ? ,且 m ? n ? . 8 2 ? 2 ? ? ?8
(1)求 tan A ? tan B 的值; (2)求

ab sin C 的最大值. a ? b2 ? c2
2

21. (本题满分 14 分,第 1 小题 7 分,第 2 小题 7 分) 某市 2013 年发放汽车牌照 12 万张,其中燃油型汽车牌照 10 万张,电动型汽车 2 万张.为了节能减排和控制 总量,从 2013 年开始,每年电动型汽车牌照按 50%增长,而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少 0.5 万张,同时规 定一旦某年发放的牌照超过 15 万张,以后每一年发放的电动车 的牌照的数量维持在这一年的水平不变. ... (1)记 2013 年为第一年,每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列 ?an ? ,每年发放的电动型汽车牌照数构成数列

?bn? ,完成下列表格,并写出这两个数列的通项公式;
a1 ? 10 b1 ? 2 a2 ? 9.5 b2 ? 3 a3 ? b3 ? a4 ? b4 ?
? ?

(2)从 2013 年算起,累计各年发放的牌照数,哪一年开始超过 200 万张? 22. (本题满分16分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题6分) 已知椭圆

1 x2 ? y 2 ? 1上两个不同的点 A,B 关于直线 y ? mx ? (m ? 0) 对称. 2 2
1 2

(1)若已知 C (0, ) , M 为椭圆上动点,证明: MC ? (2)求实数 m 的取值范围; (3)求 ?AOB 面积的最大值( O 为坐标原点).

10 ; 2

y

O B A

x

23.(本题满分 18 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 8 分) 已知函数 f ( x) ? logk x ( k 为常数, k ? 0 且 k ? 1 ),且数列 ? f (an )? 是首项为 4, 公差为 2 的等差数列. (1)求证:数列 ?an ? 是等比数列; (2) 若 bn ? an ? f (an ) ,当 k ?

1 时,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn 的最小值; 2 (3)若 cn ? an lg an ,问是否存在实数 k ,使得 ?cn ? 是递增数列?若存在,求出 k 的范围;若不存在,说明理由.

宝山区 2015 学年第一学期期末高三年级数学
参考答案 一.填空题 1. ?log2 3? 5. 8 10.48 6. 11. 2. -3-4 i 3. ?x ? 1? ? ? y ? 2? ? 25
2 2

4. 2

2 ? 6
1 2
15.D

7. 1

8. 3 3 13. [?3,??) 17. D 18.B

9.

5? 6
14. ① ② ③

12. 128 16. B

二.选择题 三.解答题 19.解: V ?

1 1 ? ? 5 ? 6 PA ? 20 ,所以 PA ? 4 ,-------------------3 分 3 2

取 PC 的中点为 D,连结 AD,DQ, 则 ?AQD 为异面直线 PB,AQ 所成的角,--------------------------------5 分
A

PD ? 3, QD ?

5 , DA ? 5 ,------------------------------------7 分 2

因为 QD ? 平面PAC ,所以 QD ? AD ----------------------9 分 所以 tan?AQD ? 2 异面直线 PB,AQ 所成的角为 arctan 2 。-----------------------12 分

20. (本题满分 14 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分) 解:(1)由 m ? (1 ? cos( A ? B ), cos 即 [1 ? cos( A ? B)] ? cos

u r

u r r 9 A? B r 5 A? B ) , n ? ( , cos ) ,且 m ? n ? , 8 2 8 2

5 8

2

A? B 9 ? .-----------------------------------------------------2 分 2 8

∴ 4cos( A ? B) ? 5cos( A ? B) ,--------------------------------------------------------------------4 分

1 .----------------6 分 9 ab sin C ab sin C 1 ? ? tan C ,-----------------8 分 (2)由余弦定理得 2 2 2 a ?b ?c 2ab cos C 2 tan A ? tan B 9 ? (tan A ? tan B) ------------------------------------------10 分 而∵ tan( A ? B ) ? 1 ? tan A tan B 8 1 由 tan A tan B ? 知: tan A, tan B ? 0 ------------------------------------------11 分 9 9 3 tan( A ? B) ? ? 2 tan A tan B ? , 8 4 1 当且仅当 tan A ? tan B ? 时取等号,-------------------------------------------------------------12 分 3 3 又 tan C ? ? tan( A ? B) ,∴ tan C 有最大值 ? , 4 3 ab sin C 所以 2 的最大值为 ? .---------------------------------14 分 2 2 8 a ?b ?c
即 cos A cos B ? 9sin A sin B ,∴ tan A tan B ? 21. 解:(1)

a1 ? 10 b1 ? 2

a2 ? 9.5 b2 ? 3

a3 ? b3 ?

9 4.5

a4 ? b4 ?

8.5 6.75

? ?

--------------------------------------------------------------1 分
? 当 1 ? n ? 20 且 n ? N 时, an ? 10 ? ( n ? 1) ? (?0.5) ? ?

n 21 ? ; 2 2

当 n ? 21 且 n ? N 时, an ? 0 .

?

? n 21 ? ?? ? , 1 ? n ? 20且n ? N ----------------------------------------------------------4 分 ? an ? ? 2 2 ?0, n ? 21且n ? N ? ?
而 a4 ? b4 ? 15.25 ? 15 ,

? 3 n ?1 ? ?2 ? ( ) , 1 ? n ? 4且n ? N -------------------------------------------------------------7 分 ? bn ? ? 2 ?6.75, n ? 5且n ? N ? ?
(2)当 n ? 4 时, Sn ? (a1 ? a2 ? a3 ? a4 ) ? (b1 ? b2 ? b3 ? b4 ) ? 53.25 .---------------8 分 当 5 ? n ? 20 时, Sn ? (a1 ? a2 ? L ? an ) ? (b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? b5 ? L ? bn )

3 2[1 ? ( )4 ] n(n ? 1) 1 2 ? 6.75(n ? 4) ? 10n ? ? (? ) ? 3 2 2 1? 2 1 68 43 ? ? n2 ? n ? ------------------------------------------------------------11 分 4 4 4 1 2 68 43 n? ? 200 ,即 n2 ? 68n ? 843 ? 0 , 由 Sn ? 200 得 ? n ? 4 4 4
解得 n=34 ? 313 ? 16.30 ? 21 --------------------------------------------------------------13 分

? 到2029年累积发放汽车牌照超过200万张----------------------------------------------------14分
22. (本题满分16分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题6分) 解:(1)设 M ( x, y ), 则

x2 ? y 2 ? 1 , 于是 2

1 1 MC ? x 2 ? ( y ? ) 2 = 2 ? 2 y 2 ? ( y ? ) 2 2 2
? ? y2 ? y ? 9 4
--------------------------------------------------------2 分

1 5 ? ? ( y ? )2 ? 2 2
因 ? 1 ? y ? 1, 所以,当 y ? ?

1 10 10 时, MC .即 MC ? ? max 2 2 2

----------------------------4 分

(2)由题意知 m ? 0 ,可设直线 AB 的方程为 y ? ?

1 x ? b . ------------------------------5 分 m

? x2 ? y 2 ? 1, ? ?2 由? 消去 y ,得 1 ? y ? ? x ? b, ? m ?
2 ? m2 2 2b x ? x ? b 2 ? 1 ? 0 . --------------------------------------------------------7 分 2 2m m

因为直线 y ? ?
2

1 x2 x ? b 与椭圆 ? y 2 ? 1有两个不同的交点, m 2
4 ?0, m2
①----------------------------8 分

所以, ? ? ?2b ? 2 ? 即 b ? 1?
2

2 m2

将 AB 中点 M (

2mb m 2b , ) --------------------------------------------------------9 分 m2 ? 2 m2 ? 2
1 m2 ? 2 解得 b ? ? 2 2m 2


代入直线方程 y ? mx ?

由①②得 m ? ?

6 6 或m ? --------------------------------------------------------10 分 3 3

(3)令 t ?

3 1 6 6 ? (? ,0) ? (0, ) ,即 t 2 ? (0, ) , 2 m 2 2

? 2t 4 ? 2t 2 ?
则 AB ?

t2 ?1 ?

3 2

1 t ? 2
2

--------------------------------------------11 分

1 2 -----------------------------------------------12 分 且 O 到直线 AB 的距离为 d ? 2 t ?1 t2 ?
设 ?AOB 的面积为 S (t ) ,所以

S (t ) ?

1 1 1 2 AB ? d ? ? 2(t 2 ? ) 2 ? 2 ? 2 2 2 2
2

--------------------------14 分

当且仅当 t ?

1 时,等号成立. 2

故 ?AOB 面积的最大值为

2 . ---------------------------------------------------16 分 2

23.(本题满分 16 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 8 分) 解:(1) 证:由题意 f (an ) ? 4 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ? 2 ,即 log k an ? 2n ? 2 , ∴ an ? k ∴
2n?2

---------------------------------2 分

an?1 k ? 2n?2 ? k 2 . an k 2 ∵常数 k ? 0 且 k ? 1 ,∴ k 为非零常数, 4 2 ∴数列 ?an ? 是以 k 为首项, k 为公比的等比数列. -----------------------4 分
(2) 当 k ?

2( n ?1) ? 2

1 1 时, an ? n ?1 , f (an ) ? 2n+2 ,----------------------6 分 2 2

1? 1? 1? n ? ? 2n ? 2 ? 4 1 1 4 2 ? 所以 Sn ? n? ? ? n2 ? 3n ? ? n?1 -------------------8 分 1 2 2 2 1? 2 1 1 2 因为 n ? 1 ,所以, n ? 3n ? ? n ?1 是递增数列, 2 2 1 1 15 因而最小值为 S1 ? 1 ? 3 ? ? ? 。----------------------10 分 2 4 4 2 n?2 lg k ,要使 cn ? cn?1 对一切 n ? N* 成立, (3) 由(1)知, cn ? an lg an ? (2n ? 2) ? k * 2 即 (n ? 1)lg k ? (n ? 2) ? k ? lg k 对一切 n ? N 成立. ----------------------12 分
2 * 当 k ? 1 时, lg k ? 0 , n ? 1 ? (n ? 2)k 对一切 n ? N 恒成立;---------------14 分
* 2 当 0 ? k ? 1 时, lg k ? 0 , n ? 1 ? (n ? 2)k 对一切 n ? N 恒成立,

只需 k ? ?
2

? n ?1 ? ? ,-------------------------------------------------16 分 ? n ? 2 ?min n ?1 1 ? 1? ∵ 单调递增, n?2 n?2 2 ? n ?1 ? ∴当 n ? 1 时, ? ? ? . -----------------------------------17 分 ? n ? 2 ?min 3
2

∴k ?

2 6 ,且 0 ? k ? 1 , ∴ 0 ? k ? . 3 3

综上所述,存在实数 k ? (0,

6 ) U (1, ??) 满足条件. ------------------18 分 3


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