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嘉定2016届高三一模数学卷(理、附答案)


2015 学年嘉定区高三年级第一次质量调研

数学试卷(理)
考生注意: 1.答题前,务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚,并贴好条形码. 2.解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写,超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分. 3.本试卷共有 23 道试题,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 一.填空题(本大题满分

56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填 对 4 分,否则一律得零分. 1. lim

n2 ? 1 ? ____________. n ? ? 2n 2 ? n ? 2

2 2.设集合 A ? {x x ? 2 x ? 0 , x ? R} , B ? ? x

? x ?1 ? ? 0 , x ? R ? ,则 A ? B ? __________. ? x ?1 ?

3.若函数 f ( x) ? a x ( a ? 0 且 a ? 1 )的反函数的图像过点 (3 , ? 1) ,则 a ? _________. 4.已知一组数据 6 , 7 , 8 , 9 , m 的平均数是 8 ,则这组数据的方差是_________. 5.在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, M 为棱 A 1B1 的中点,则异面直线 AM 与 B 1C 所成的 角的大小为__________________(结果用反三角函数值表示). 6.若圆锥的底面周长为 2? ,侧面积也为 2? ,则该圆锥的体积为______________. 7.已知

cos75? ? sin ? 1 ? ,则 cos(30? ? 2? ) ? _________. sin 75? cos? 3
开始

k ? 1 ,S ? 0
8.某程序框图如图所示,则该程序运行后 输出的 S 值是_____________.

k ? 2015




S ?S?

1 k (k ? 1)

输出 S

k ? k ?1

结束

2 2 9.过点 P(1 , 2) 的直线与圆 x ? y ? 4 相切,且与直线 ax ? y ? 1 ? 0 垂直,则实数 a 的值

为___________. 10.甲、乙、丙三人相互传球,第一次由甲将球传出,每次传球时,传球者将球等可能地传 给另外两人中的任何一人.经过 3 次传球后,球仍在甲手中的概率是__________. 11.已知直角梯形 ABCD , AD ∥ BC , ?BAD ? 90? . AD ? 2 , BC ? 1 , P 是腰 AB 上的动点,则 | PC ? PD | 的最小值为__________.
1 2 3 n ?1 12.已知 n ? N ,若 Cn ? 2Cn ? 22 Cn ? ? ? 2n ?2 Cn ? 2n ?1 ? 40 ,则 n ? ________.
*

13.对一切实数 x ,令 [ x ] 为不大于 x 的最大整数,则函数 f ( x) ? [ x] 称为取整函数.若

S ?n? an ? f ? ? , n ? N* , Sn 为数列 {an } 的前 n 项和,则 2009 ? __________. 2010 ? 10 ? 14.对于函数 y ? f ( x) ,若存在定义域 D 内某个区间 [a , b] ,使得 y ? f ( x) 在 [a , b] 上的 kx 值域也是 [a , b] ,则称函数 y ? f ( x) 在定义域 D 上封闭.如果函数 f ( x) ? 1? | x | ( k ? 0 )在 R 上封闭,那么实数 k 的取值范围是______________.
二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且仅有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上, 将代表答案的小方格涂黑,每题选对得 5 分,否则一律得零分. 15.“函数 f ( x) ? sin(x ? ? ) 为偶函数”是“ ? ? A.充分不必要条件 C.充分必要条件

?
2

”的(



B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

16.下列四个命题: ①任意两条直线都可以确定一个平面; ②若两个平面有 3 个不同的公共点,则这两个平面重合; ③直线 a , b , c ,若 a 与 b 共面, b 与 c 共面,则 a 与 c 共面; ④若直线 l 上有一点在平面 ? 外,则 l 在平面 ? 外. 其中错误命题的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 17.已知圆 M 过定点 (2 , 0) ,圆心 M 在抛物线 y 2 ? 4 x 上运动,若 y 轴截圆 M 所得的弦 为 AB ,则 | AB | 等于( A. 4 B. 3 ) C. 2
n ?1 n ?1

D. 1

? 4? 18.已知数列 {an } 的通项公式为 an ? ? ? ?9?
A.有最大项,没有最小项 C.既有最大项又有最小项

? 2? ?? ? ? 3?

,则数列 {an } (



B.有最小项,没有最大项 D.既没有最大项也没有最小项

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的 步骤. 19.(本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 如图①,有一个长方体形状的敞口玻璃容器,底面是边长为 20 cm 的正方形,高为 30 cm ,内有 20 cm 深的 溶液.现将此容器倾斜一定角度 ? (图②),且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上(图①、②均为容器的纵截面). (1)要使倾斜后容器内的溶液不会溢出,角 ? 的最大值是多少;
3 (2)现需要倒出不少于 3000 cm 的溶液,当 ? ? 60? 时,能实现要求吗?请说明理由.

?
① ②

20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分. 已知 x ? R ,设 m ? (2 cos x , sin x ? cos x) , n ? ( 3 sin x , sin x ? cos x) ,记函数 f ( x) ? m ? n . (1)求函数 f ( x) 取最小值时 x 的取值范围; (2)设△ ABC 的角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,若 f (C ) ? 2 , c ? 3 ,求△ ABC 的面积 S 的 最大值.

?

?

? ?

21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 设函数 f ( x) ? k ? a x ? a? x ( a ? 0 且 a ? 1 )是奇函数. (1)求常数 k 的值; (2)若 f (1) ?

8 ,且函数 g ( x) ? a 2 x ? a ?2 x ? 2mf ( x) 在区间 [1 , ? ?) 上的最小值为 ? 2 ,求实数 m 的值. 3

22.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 在平面直角坐标系 xOy 内,动点 P 到定点 F (?1 , 0) 的距离与 P 到定直线 x ? ?4 的距离之比为 (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)若轨迹 C 上的动点 N 到定点 M (m , 0) ( 0 ? m ? 2 )的距离的最小值为 1 ,求 m 的值. (3)设点 A 、 B 是轨迹 C 上两个动点,直线 OA 、OB 与轨迹 C 的另一交点分别为 A1 、B1 ,且直线 OA 、OB 的斜率之积等于 ?

1 . 2

3 ,问四边形 ABA 1B 1 的面积 S 是否为定值?请说明理由. 4

23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 设复数 zn ? xn ? i ? yn ,其中 xn yn ? R , n ? N , i 为虚数单位, zn ?1 ? (1 ? i) ? zn , z1 ? 3 ? 4i ,复数 zn 在
*

复平面上对应的点为 Z n . (1)求复数 z2 , z3 , z4 的值; (2)是否存在正整数 n 使得 OZn ∥ OZ1 ?若存在,求出所有满足条件的 n ;若不存在,请说明理由; (3)求数列 {xn ? yn } 的前 102 项之和.

2015 学年嘉定区高三年级第一次质量调研 数学试卷(理)参考答案及评分标准
一.填空题(每题 4 分,满分 56 分) 1.

1 2

2. {x ? 1 ? x ? 0 , x ? R}(或 [ ?1 , 0) )

3.

1 3

4. 2

5. arccos 9.

10 5
10.

6.

3 ? 3
11. 3

7.

7 9

8.

2015 2016

3 4

1 4

12. 4

13. 100

14. (?? , ? 1) ? (1 , ? ?)

二.选择题(每题 5 分,满分 20 分) 15.B 16.C 17.A

18.C

三.解答题(共 5 题,满分 74 分)答案中的分数为分步累积分数 19.本题 12 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 6 分. C E D B D F B C

?
③ A

60 ?
A

④ (1)如图③,当倾斜至上液面经过点 B 时,容器内溶液恰好不会溢出, 此时 ? 最大. ?????????????????????????(2 分) 解法一:此时,梯形 ABED 的面积等于 20 ? 400( cm ),
2 2

??????(3 分)

因为 ?CBE ? ? ,所以 DE ? 30 ? 20 tan ? , S ABED ? 即

1 ( DE ? AB ) ? AD , 2

1 ? (60 ? 20 tan ? ) ? 20 ? 400 ,解得 tan ? ? 1, ? ? 45? . ??????(5 分) 2 所以,要使倾斜后容器内的溶液不会溢出, ? 的最大值是 45 ? . ?????(6 分) 解法二:此时,△ BEC 的面积等于图①中没有液体部分的面积,
即 S?BEC ? 200( cm ),
2

????????????????????(3 分)

因为 ?CBE ? ? ,所以 S ?BEC ?

解得 tan ? ? 1 , ? ? 45? . ????????????????(5 分) 所以,要使倾斜后容器内的溶液不会溢出, ? 的最大值是 45 ? . ????(6 分) (2)如图④,当 ? ? 60? 时,设上液面为 BF ,因为 ?CBD ? arctan 所以点 F 在线段 AD 上,

1 1 ? BC ? CE ? ? BC 2 ? tan ? ,即 200 tan ? ? 200 , 2 2

3 ? 60? , 2

?????????????????????(1 分)

此时 ?ABF ? 30? , AF ? AB ? tan30? ? 10 3 ,

S?ABF ?

1 ? AB ? AF ? 150 3 ( cm2 ), 2

???????????????(3 分)
3

剩余溶液的体积为 150 3 ? 20 ? 3000 3 ( cm ), ??????????(4 分) 由题意,原来溶液的体积为 8000 cm , 因为 8000? 3000 3 ? 3000,所以倒出的溶液不满 3000 cm . ????(5 分)
3
3 所以,要倒出不少于 3000 cm 的溶液,当 ? ? 60? 时,不能实现要求.??(6 分) 3

20.本题 14 分,第 1 小题 7 分,第 2 小题 7 分. (1) f ( x) ? m ? n ? 2 3 sin x cos x ? sin 2 x ? cos2 x ? 3 sin 2x ? cos2x

? ?

?? ? ? 2 sin ? 2 x ? ? . 6? ?
? ?

?????????????????????(3 分)

当 f ( x) 取最小值时, sin ? 2 x ?

??

? ? ? ? ?1 , 2 x ? ? 2k? ? , k ? Z ,??(6 分) 6 2 6?

所以,所求 x 的取值集合是 ? x x ? k? ?

? ?

?

? , k ? Z? . ???????(7 分) 6 ?
??????????(1 分)

(2)由 f (C ) ? 2 ,得 sin? 2C ? 因为 0 ? C ? ? ,所以 ? 所以 2C ?

? ?

??

? ?1, 6?

?
6

? 2C ?

2 2

?
6

?

?
6

?

?
2

,C ?

?
3

11? , 6
??????????????(3 分)

在△ ABC 中,由余弦定理 c ? a ? b ? 2abcosC ,
2

??????(4 分)

得 3 ? a ? b ? ab ? ab ,即 ab ? 3 ,
2 2

??????????(5 分)

所以△ ABC 的面积 S ?

1 1 3 3 3 , ?????(6 分) absin C ? ? 3 ? ? 2 2 2 4 3 3 . 4
????????(7 分)

因此△ ABC 的面积 S 的最大值为

21.本题 14 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分. ( 1 ) 解 法 一 : 函 数 f ( x) ? k ? a x ? a? x 的 定 义 域 为 R , 因 为 f ( x) 是 奇 函 数 , 所 以 f (0) ? k ? 1 ? 0 ,

k ? 1 . ??????????????????????(3 分)
当 k ? 1 时, f ( x) ? a x ? a ? x , f (? x) ? a? x ? a x ? ? f ( x) , f ( x) 是奇函数. 所以,所求 k 的值为 1 . ?????????????????????(6 分)

解法二:函数 f ( x) ? k ? a x ? a? x 的定义域为 R , 由题意,对任意 x ? R , f (? x) ? ? f ( x) , 即k ?a
?x

??????????????(2 分)

? a x ? a ? x ? k ? a x , (k ? 1)(a x ? a? x ) ? 0 , ??????????(4 分)
?x

因为 a ? a
x

? 0 ,所以, k ? 1 . ??????????????????(6 分)
8 1 1 8 ,得 a ? ? ,解得 a ? 3 或 a ? ? (舍). 3 3 a 3
x ?x

(2)由 f (1) ?

????(2 分)

所以 g ( x) ? 32 x ? 3?2 x ? 2m(3x ? 3? x ) ,令 t ? 3 ? 3 ,则 t 是关于 x 的增函数,

t ? 3?

1 8 ? , g ( x) ? h(t ) ? t 2 ? 2mt ? 2 ? (t ? m)2 ? 2 ? m2 ,?????(2 分) 3 3
2

8 8 8 ?8? 当 m ? 时,则当 t ? 时, g ( x)min ? ? ? ? 2m ? ? 2 ? ?2 , 3 3 3 ? 3?
解得 m ? 当m ?

25 ; 12

????????????????????????(5 分)

8 2 时,则当 t ? m 时, g ( x)min ? 2 ? m ? ?2 , m ? ?2 (舍去).??(8 分) 3 25 综上, m ? .(本行不写不扣分,每讨论一种情况正确得 3 分) 12
22.本题 16 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 6 分. (1)设 P( x , y) ,由题意, 化简得 3x ? 4 y ? 12 ,
2 2

( x ? 1) 2 ? y 2 1 ? , ???????????(2 分) | x? 4| 2
??????(3 分)

所以,动点 P 的轨迹 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 . ????????????(4 分) 4 3

? x2 ? 1 2 ? ? ? x ? 2mx ? m 2 ? 3 (2)设 N ( x , y ) ,则 | MN | ? ( x ? m) ? y ? ( x ? m) ? 3?1 ? ? 4? 4 ?
2 2 2 2

1 ( x ? 4m) 2 ? 3(1 ? m 2 ) , ? 2 ? x ? 2 . ????????????(2 分) 4 1 ①当 0 ? 4m ? 2 ,即 0 ? m ? 时,当 x ? 4 m 时, | MN |2 取最小值 3(1 ? m2 ) ? 1, 2 ?
解得 m ?
2

2 6 4 6 ,m ? ,此时 x ? ? 2 ,故舍去. 3 3 3

???????(4 分)

1 ? m ? 2 时,当 x ? 2 时, | MN |2 取最小值 m2 ? 4m ? 4 ? 1, 2 解得 m ? 1 ,或 m ? 3 (舍). ???????????????????(6 分) 综上, m ? 1 .
②当 4 m ? 2 ,即 (3)解法一:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则由 kOA ? kOB ? ?

3 yy 3 ,得 1 2 ? ? ,(1 分) 4 x1 x2 4

| AB |? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ,
2 1 2 因为点 A 、 B 在椭圆 C 上,所以 y12 ? 3? ?1 ? 4 ? ? , y2 ? 3? ?1 ? 4 ? ?, ? ? ? ?
2 2 2 2 2 所以, 9 x1 x2 ? 16y12 y2 ? 9(4 ? x12 )(4 ? x2 ) ,化简得 x12 ? x2 ? 4 . ????(2 分)

?

x2 ?

?

x2 ?

①当 x1 ? x2 时,则四边形 ABA 1B 1 为矩形, y2 ? ? y1 ,则

y12 3 ? , x12 4
2

2 2 1 1 由 y12 ? 3? ?1 ? 4 ? ? ,得 4 x1 ? 3? ?1 ? 4 ? ? ,解得 x1 ? 2 , y1 ? 2 , ? ? ? ?

?

x2 ?

3

?

x2 ?

3

S ?| AB | ? | A1B |? 4 | x1 || y1 | ? 4 3 .

??????????????(3 分)

②当 x1 ? x2 时,直线 AB 的方向向量为 d ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) ,直线 AB 的方程为

?

( y2 ? y1 ) x ? ( x2 ? x1 ) y ? x2 y1 ? x1 y2 ? 0 ,原点 O 到直线 AB 的距离为 d ?
所以,△ AOB 的面积 S ?AOB ?

| x1 y2 ? x2 y1 | ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2

1 1 ? | AB | ?d ? | x1 y2 ? x2 y1 | , 2 2

根据椭圆的对称性,四边形 ABA 1B 1 的面积 S ? 4S?AOB ? 2 | x1 y2 ? x2 y1 | ,??(4 分) 所以, S ? 4( x1 y2 ? x2 y1 ) ? 4( x1 y2 ? 2x1x2 y1 y2 ? x2 y1 )
2 2 2 2 2 2
2 ? ? ? 3 2 2 x2 x12 ?? 2? 2 2 ? ? ? ? 4?3x12 ? 1 ? ? x x ? 3 x 1 ? ? ? 12( x1 ? x2 ) ? 48 ,所以 S ? 4 3 . 1 2 2? ? ? ? 4? 2 4 ?? ? ? ?

所以,四边形 ABA 1B 1 的面积为定值 4 3 .

??????????????(6 分)

解法二:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 A1 (? x1 , ? y1 ) , B1 (? x2 , ? y2 ) , 由 kOA ? kOB ? ?

3 yy 3 ,得 1 2 ? ? , 4 x1 x2 4

????????????????(1 分)

2 1 2 因为点 A 、 B 在椭圆 C 上,所以 y12 ? 3? ?1 ? 4 ? ? , y2 ? 3? ?1 ? 4 ? ?, ? ? ? ?
2 2 2 2 2 所以, 9 x1 x2 ? 16y12 y2 ? 9(4 ? x12 )(4 ? x2 ) ,化简得 x12 ? x2 ? 4 . ????(2 分)

?

x2 ?

?

x2 ?

直线 OA 的方程为 y1x ? x1 y ? 0 ,点 B 到直线 OA 的距离 d ? △ ABA 1 的面积 S ?ABA1 ?

| x1 y2 ? x2 y1 | x12 ? y12



1 ? | AA1 | ?d ?| x1 y2 ? x2 y1 | , 2

????????(3 分)

根据椭圆的对称性,四边形 ABA ? 2 | x1 y2 ? x2 y1 | ,??(4 分) 1B 1 的面积 S ? 2S?ABA 1
2 2 2 2 所以, S 2 ? 4( x1 y2 ? x2 y1 )2 ? 4( x1 y2 ? 2x1x2 y1 y2 ? x2 y1 )
2 ? 2? ? 3 2 2 x2 x12 ?? 2? 2 2 ? 4?3x1 ? ?1 ? 4 ? ? ? 2 x1 x2 ? 3x2 ? ?1 ? 4 ? ?? ? 12( x1 ? x2 ) ? 48 ,所以 S ? 4 3 . ? ? ?? ? ?

所以,四边形 ABA 1B 1 的面积为定值 4 3 .

????????????(6 分)

解法三:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 A1 (? x1 , ? y1 ) , B1 (? x2 , ? y2 ) 由 kOA ? kOB ? ?

3 yy 3 ,得 1 2 ? ? , 4 x1 x2 4

????????????????(1 分)

2 1 2 因为点 A 、 B 在椭圆 C 上,所以 y12 ? 3? ?1 ? 4 ? ? , y2 ? 3? ?1 ? 4 ? ?, ? ? ? ?
2 2 2 2 2 所以, 9 x1 x2 ? 16y12 y2 ? 9(4 ? x12 )(4 ? x2 ) ,化简得 x12 ? x2 ? 4 . ????(2 分)

?

x2 ?

?

x2 ?

△ ABA 1 的面积 S ?ABA1

x1 1 ? x2 2 ? x1

y1 y1 ? y1

1 1 ?| x1 y2 ? x2 y1 | , ????????(3 分) 1

? 2 | x1 y2 ? x2 y1 | ,??(4 分) 根据椭圆的对称性,四边形 ABA 1B 1 的面积 S ? 2S?ABA 1
所以,所以, S ? 4( x1 y2 ? x2 y1 ) ? 4( x1 y2 ? 2x1x2 y1 y2 ? x2 y1 )
2 2 2 2 2 2
2 ? ? ? 3 2 2 x2 x12 ?? 2? 2 2 ? ? ? ? 4?3x12 ? 1 ? ? x x ? 3 x 1 ? ? ? 12( x1 ? x2 ) ? 48 ,所以 S ? 4 3 . 1 2 2? ? ? ? 4? 2 4 ?? ? ? ?

所以,四边形 ABA 1B 1 的面积为定值 4 3 . ??????????????(6 分) 23.本题 18 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 8 分.

(1) z2 ? (1 ? i)(3 ? 4i) ? ?1 ? 7i , z3 ? ?8 ? 6i , z4 ? ?14 ? 2i .????(4 分) (算错一个扣 1 分,即算对一个得 2 分,算对两个得 3 分) (2)若 OZn ∥ OZ1 ,则存在实数 ? ,使得 OZn ? ?OZ1 ,故 zn ? ? ? z1 , 即 ( xn , yn ) ? ? ( x1 , y1 ) , ????????(3 分) 又 zn ?1 ? (1 ? i) zn ,故 zn ? (1 ? i)n ?1 z1 ,即 (1 ? i)n ?1 ? ? 为实数, ??????(5 分) 故 n ? 1 为 4 的倍数,即 n ? 1 ? 4k , n ? 4k ? 1 , k ? N . ????????(6 分) ????(2 分)

???? ?

???? ?

(3)因为 zn ? 4 ? (1 ? i)4 zn ? ?4zn ,故 xn ? 4 ? ?4 xn , yn ? 4 ? ?4 yn , 所以 xn ? 4 yn ? 4 ? 16xn yn ,

???????????????????????(3 分)

又 x1 y1 ? 12 , x2 y2 ? ?7 , x3 y3 ? ?48 , x4 y4 ? 28 ,

x1 y1 ? x2 y2 ? x3 y3 ? ? ? x100 y100 ? ( x1 y1 ? x2 y2 ? x3 y3 ? x4 y4 ) ? ( x5 y5 ? x6 y6 ? x7 y7 ? x8 y8 ) ? ? ? ( x97 y97 ? x98 y98 ? x99 y99 ? x100 y100 )
? (12 ? 7 ? 48 ? 28) ? 1 ? 1625 ? 1 ? 2100 , 1 ? 16
????????????????(6 分)

而 x101 y101 ? 1625 x1 y1 ? 12? 2100 , x102 y102 ? 1625 x2 y2 ? ?7 ? 2100 , 所以数列 {xn yn } 的前 102 项之和为 1 ? 2
100

??????(7 分)

? 12? 2100 ? 7 ? 2100 ? 1 ? 2102 .???(8 分)


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