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2015-2016高中数学 3.1.1数系的扩充和复数的相关概念练习 新人教A版选修1-2


3.1.1 数系的扩充和复数的相关概念 基 础 梳 理 1.虚数单位 i. (1)它的平方等于-1,即 i2=-1. (2)实数可以与它进行四则运算,在进行四则运算时,原有 的加、乘运算律仍然成立. 2.复数的代数形式. (1)形如 z=a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,a+bi 叫做复数 的代数形式,a 和 b 分别叫做复数 z 的实部和虚部. (2)复数 z=a+bi(a,b∈R)的分类. ?实数(b=0) ? ? 复数? ?纯虚数(a=0,且b≠0) 虚数(b≠0)? ? ? ? ?非纯虚数(a≠0,b≠0) 3.复数相等的充要条件. 复数 a+bi=c+di(a,b,c,d∈R)?a=c 且 b=d(把复数 问题划归为实数问题)., 基 础 自 测 1.复数(2+ 3)i 的实部是(D) A .2 B. 3 C.2+ 3 D. 0 解析:复数(2+ 3)i 的实部是 0,故选 D. 2.如果 C,R 和 I 分别表示复数集、实数集和纯虚数集,那 么有(D) A.C=R∪IB.R∩I={0} C.R=C∩ID.R∩I=? 解析:复数系的构成是: 复数 z=a+bi(a,b∈R) ?实数(b=0时) ? ? ? ?纯虚数(a=0时) ? 虚数 (b≠0 时 ) ? ?非纯虚数(a≠0时) ? ? 由此不难得到答案应为 D. 3.下列命题:①i 是-1 的一个平方根;②-i 是一个负数; ③如果 a+bi=3+4i(a、b∈C),则 a=3,b=4.其中正确的命 题 的 个 数 是 _______________________________________________________ _________________. 解析:由复数的定义和性质知②错,③错,①对. 答案:1 个 (一)虚数单位i及其性质 为了解决 x2+1=0 这样的方程在实数集中无解的问题,人 们引进了一个新数 i,叫做虚数单位,它的平方等于-1,它可 以与实数进行四则运算. (二)复数的代数形式和复数的分类 (1)复数的代数形式 z=a+bi 要求 a 和 b 必须是实数, 否则 不是代数形式. (2)若 z 是纯虚数,可设 z=bi(b≠0,b∈R);若 z 是虚数, 可设 z=a+bi(b≠0,b∈R);若 z 是复数,可设 z=a+bi(a,b ∈R). (3)形如 z=bi 的数不一定是纯虚数,只有 b≠0,b∈R 时, 才是纯虚数,否则不是纯虚数. (三)复数相等的概念 (1)两个复数相等的充要条件是两个复数的实部和虚部分别 相等,它是把复数问题转化为实数问题的主要手段. (2)应用复数相等的充要条件时,首先要把“=”左右两边 的复数形式写成代数形式,即分离实部和虚部,然后列出方程求 解. 注意:(1)根据复数相等的定义,在 a=c,b=d 两式中,只 要有一个不相等,则 a+bi≠c+di. (2)若两个复数全是实数,则可以比较大小.反之,若两个 ? ?a>0, 复数能比较大小,则它们必是实数(如 a+bi>0?? ) ? ?b=0 (3)若两个数不全是实数,则不能比较大小. 1.虚数单位 i 具有两条性质: (1)它的平方等于-1,即 i2=-1. (2)实数可以与它进行四则运算,在进行四则运算时,原有 的加、乘运算律仍成立. 2.关于复数的代数形式 z=a+bi(a,b∈R),注意以下几 点: (1)a,b∈R,否则不是代数形式. (2)从代数形式可判定 z 是实数、虚数还是纯虚数. 反之,若 z 是纯虚数,可设 z=bi(

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