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2017届高三数学一轮复习练习2-8函数与方程.doc


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配餐作业(十一)
一、选择题

函数与方程
)

1.(2016· 温州十校联考)设 f(x)=lnx+x-2,则函数 f(x)的零点所在的区间为( A.(0,1) C.(2,3) D.(3,4) B.(1,2)

解析:法一:∵f(1)=ln1+1-2=-1<0, f(2)=ln2>0, ∴f(1)· f(2)<0, ∵函数 f(x)=lnx+x-2 的图象是连续的, ∴函数 f(x)的零点所在的区间是(1,2)。

法二:函数 f(x)的零点所在的区间转化为函数 g(x)=lnx,h(x)=-x+2 图象交点的横坐 标所在的范围,如图所示,可知 f(x)的零点所在的区间为(1,2)。 答案:B 2.(2016· 河北质检)若 f(x)是奇函数,且 x0 是 y=f(x)+ex 的一个零点,则-x0 一定是下 列哪个函数的零点( A.y=f(-x)ex-1 B.y=f(x)e x+1


)

C.y=exf(x)-1 D.y=exf(x)+1 解析:由已知可得 f(x0)=-ex0,则 e-x0f(x0)=-1,e-x0f(-x0)=1,故-x0 一定是 y =exf(x)-1 的零点,故选 C。 答案:C 3.(2016· 大连模拟)f(x)是 R 上的偶函数,f(x+2)=f(x),当 0≤x≤1 时,f(x)=x2,则函 数 y=f(x)-|log5x|的零点个数为( A.4 C.8 B.5 D.10 )

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解析:由零点的定义可得 f(x)=|log5x|,两个函数图象如图,总共有 5 个交点,所以共 有 5 个零点。 答案:B
? ?log2x,x>0, 4. (2016· 宁德模拟)已知函数 f(x)=? x 且关于 x 的方程 f(x)+x-a=0 有且 ?3 ,x≤0, ?

只有一个实根,则实数 a 的范围是( A.(-∞,0) C.(1,2) B.(0,1) D.(1,+∞)

)

解析:方程 f(x)+x-a=0,即 f(x)=-x+a,亦即函数 y=f(x)与 y=-x+a 有且只有 一个交点,在同一坐标系中作出 y=f(x)与 y=-x+a 的图象知,a>1,故选 D。 答案:D 5. (2016· 资阳一诊)已知 x0 是函数 f(x)=ex- 若 x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),则( A.f(x1)<0,f(x2)<0 C.f(x1)>0,f(x2)<0 ) B.f(x1)<0,f(x2)>0 D.f(x1)>0,f(x2)>0 1 的一个零点(其中 e 是自然对数的底数)。 x- 1

1 解析:∵f(x)=ex- 在(1,+∞)上是增函数,且 x0 是 f(x)的一个零点,∴f(x0)=0。 x-1 又∵x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),∴f(x1)<f(x0)=0,f(x2)>f(x0)>0,故选 B。 答案:B 6.已知函数 f(x)=ax3-3x2+1,若 f(x)存在唯一的零点 x0,且 x0>0,则 a 的取值范围 是( ) A.(2,+∞) B.(-∞,-2)

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C.(1,+∞)

D.(-∞,-1)

解析:当 a=0 时,f(x)=-3x2+1 有两个零点,不符合题意,故 a≠0.f′(x)=3ax2-6x= 2? 2 3x(ax-2),令 f′(x)=0,得 x=0 或 x= ,由题意得 a<0 且 f? ?a?>0,解得 a<-2,故选 B。 a 答案:B 二、填空题 7.若二次函数 f(x)=x2-2ax+4 在(1,+∞)内有两个零点,则实数 a 的取值范围为 ________。 解析:方法一:据二次函数图象应满足: Δ>0, ? ? -2a ?- 2 >1, ? ?f? 1?>0, 5 解得 2<a< 。 2 方法二:运用根与系数的关系。 设 x1,x2 为方程 x2-2ax+4=0 的两根,则有 x1+x2=2a,x1x2=4。① 要使原方程 x2-2ax+4=0 的两根 x1,x2 均大于 1, ?x 1-1?+? x 2-1?>0, ? ? 则需满足?? x 1-1? ? x 2-1?>0, ? ?Δ>0。 5 将①代入上述不等式组中,解之,得 2<a< 。 2 方法二:运用求根公式。 方程 x2-2ax+4=0 的两根为 2a± 4a2-16 x1,2= =a± a2-4; 2 且 Δ>0,得 a>2 或 a<-2。 要使两根均大于 1,只需小根 a- a2-4>1 即可, 5 解之得 2<a< 。 2 2? 答案:? ?2,5? 8.定义在 R 上的奇函数 f(x)满足:当 x>0 时,f(x)=2 015x+log2 015x,则在 R 上,函 数 f(x)零点的个数为________。 解析:函数 f(x)为 R 上的奇函数,
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4a -16>0, ? ?a>1, 即? 5 , ?a<2 ?

2

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1 ? 因此 f(0)=0,当 x>0 时,f(x)=2 015x+log2 015x 在区间? ?0,2 015?内存在一个零点, 又 f(x)为增函数, 因此在(0,+∞)内有且仅有一个零点。 根据对称性可知函数在(-∞,0)内有且仅有一解, 从而函数 f(x)在 R 上的零点的个数为 3。 答案:3
?2x-a,x≤0, ? 9.已知函数 f(x)=? 2 有 3 个不同的零点,则实数 a 的取值范围是 ? ?x -3ax+a,x>0,

________。 解析:依题意,要使函数 f(x)有三个不同的零点, 则当 x≤0 时,方程 2x-a=0, 即 2x=a 必有一个根,此时 0<a≤1; 当 x>0 时,方程 x2-3ax+a=0 有两个不等的实根,即方程 x2-3ax+a=0 有两个不等 的正实根, Δ=9a -4a>0, ? ? 于是有?3a>0, ? ?a>0,
2

4 由此解得 a> 。 9

0<a≤1, ? ? 因此,满足题意的实数 a 需满足? 4 ? ?a>9, 4 即 <a≤1。 9 4 ? 答案:? ?9,1? 三、解答题 10.设函数 f(x)=ax2+bx+b-1(a≠0)。 (1)当 a=1,b=-2 时,求函数 f(x)的零点; (2)若对任意 b∈R,函数 f(x)恒有两个不同零点,求实数 a 的取值范围。 解析:(1)当 a=1,b=-2 时,f(x)=x2-2x-3, 令 f(x)=0,得 x=3 或 x=-1。 所以函数 f(x)的零点为 3 或-1。 (2)依题意,f(x)=ax2+bx+b-1=0 有两个不同实根, 所以 b2-4a(b-1)>0 恒成立, 即对于任意 b∈R,b2-4ab+4a>0 恒成立, 所以有(-4a)2-4× (4a)<0? a2-a<0,
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解得 0<a<1,因此实数 a 的取值范围是(0,1)。 11.已知 y=f(x)是定义域为 R 的奇函数,当 x∈[0,+∞)时,f(x)=x2-2x。 (1)写出函数 y=f(x)的解析式; (2)若方程 f(x)=a 恰有 3 个不同的解,求 a 的取值范围。 解析:(1)当 x∈(-∞,0)时,-x∈(0,+∞), 因为 y=f(x)是奇函数, 所以 f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x,
2 ? ?x -2x,x≥0, ? 所以 f(x)= 2 ?-x -2x,x<0。 ?

(2)当 x∈[0,+∞)时, f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,最小值为-1; 当 x∈(-∞,0)时,f(x)=-x2-2x=1-(x+1)2,最大值为 1。 所以据此可作出函数 y=f(x)的图象(如图所示),根据图象,若方程 f(x)=a 恰有 3 个不 同的解,则 a 的取值范围是(-1,1)。

e2 11 题图 12.已知函数 f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+ (x>0)。 x (1)若 y=g(x)-m 有零点,求 m 的取值范围; (2)确定 m 的取值范围,使得 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根。 解析:(1)方法一 ∵x>0 时, e2 g(x)=x+ ≥2 e2=2e, x

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等号成立的条件是 x=e, 故 g(x)的值域是[2e,+∞), 因而只需 m≥2e, 则 y=g(x)-m 就有零点。 所以 m 的取值范围是[2e,+∞)。 e2 方法二 作出 g(x)=x+ (x>0)的大致图象如图。 x 可知若使 y=g(x)-m 有零点,则只需 m≥2e。 所以 m 的取值范围是[2e,+∞)。 (2)若 g(x)-f(x)=0 有两个相异的实根, 即 g(x)与 f(x)的图象有两个不同的交点, e2 作出 g(x)=x+ (x>0)的大致图象。 x

∵f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2。 ∴其图象的对称轴为 x=e,开口向下,最大值为 m-1+e2。 故当 m-1+e2>2e,即 m>-e2+2e+1 时,g(x)与 f(x)有两个交点, 即 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根。 ∴m 的取值范围是(-e2+2e+1,+∞)。

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