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人教a版必修1学案:3.2函数模型及其应用(含答案)


3.2

函数模型及其应用

【入门向导】 想一想? 杰米是一个百万富翁,一天,他碰到了一件奇怪的事.一个叫韦伯的人对他说,我想和 你订个合同,在整整的一个月(30 天)内,我每天给你 10 万元,而你第一天只需给我 1 元钱, 第二天给我 2 元钱,每天给我的钱是前一天的两倍.杰米非常高兴,他同意订这样的合同. 1-2n - 同学们,按此合同,谁最终会获利?(提示公式:20+21+22+?+2n 1= ) 1-2

幂函数、指数函数、对数函数三种函数模型的增长情况有什么区别? 一般地,对于指数函数 y=ax(a>1)和幂函数 y=xn(n>0),通过探索可以发现,在区间(0, +∞)上,无论 n 比 a 大多少,尽管在 x 的一定变化范围内,ax 会小于 xn,但由于 ax 的增长快 于 xn 的增长,因此总存在一个 x0,当 x>x0 时,就会有 ax>xn. 同样地,对于对数函数 y=logax(a>1)和幂函数 y=xn(n>0),在区间(0,+∞)上,随着 x 的增长,logax 增长得越来越慢,图象就像是渐渐地与 x 轴平行一样,尽管在 x 的一定变化范 围内, logax 可能会大于 xn, 但是由于 logax 的增长慢于 xn 的增长, 因此总存在一个 x0, 当 x>x0 n 时,就会有 logax<x . 综上所述,在区间(0,+∞)上,尽管函数 y=ax(a>1)、y=logax(a>1)和 y=xn(n>0)都是增 函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“级别”上,随着 x 的增大,y=ax(a>1)的增 长速度越来越快,会超过并远远大于 y=xn(n>0)的增长速度,而 y=logax(a>1)的增长速度则 会越来越慢,因此,总会存在一个 x0,当 x>x0 时,就会有 logax<xn<ax. 常见的数学模型有哪些? 利用具体函数解决综合问题是我们需要关注的,具体函数的运用在生活中有很多体现, 在学习完函数这部分内容以后,重点运用一次函数、二次函数、分段函数、指数函数、对数 函数和幂函数来解决问题.下面是几种常见的数学模型: 1.一次函数模型:f(x)=kx+b(k、b 为常数,k≠0); k 2.反比例函数模型:f(x)= +b(k、b 为常数,k≠0); x 2 3.二次函数模型:f(x)=ax +bx+c(a、b、c 为常数,a≠0); 注意 二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型, 在高考的应用题考查中最为常见. 4.指数函数模型:f(x)=abx+c(a、b、c 为常数,a≠0,b>0,b≠1); 5.对数函数模型:f(x)=mlogax+n(m、n、a 为常数,a>0,a≠1); 说明 随着新课标的实施,指数、对数函数模型将会起到越来越重要的作用,在高考的 舞台上将会扮演愈来愈重要的角色. 6.幂函数模型:f(x)=axn+b(a、b、n 为常数,a≠0,n≠1); 7.分段函数模型:这个模型实则是以上两种或多种模型的综合,因此应用也十分广泛. 函数应用举例 函数应用题是函数知识的综合运用,涉及到的知识面很广,这里主要对一、二次函数及 分段函数的应用举例分析,希望能对同学们有所帮助. 一、建立函数解析式,解决几何问题 例 1 现有 100 米长的篱笆材料, 利用一面长度够用的墙作为一边, 围成一个矩形的猪圈, 问此矩形的长、宽各为多少时,猪圈的面积最大?最大为多少?

分析 如图要求出矩形的面积就要知道矩形长与宽,篱笆材料的长共为 100 米,因此可 假设宽为 x 米,则矩形的长就可以表示出来,这样就可以得到面积 S 关于 x 的解析式.

解 如右图,设矩形猪圈的宽为 x 米,则长为(100-2x)米, 于是 S=x(100-2x) =-2x2+100x =-2(x-25)2+1 250(0<x<50). 这是二次函数的一部分,由二次函数的性质可得当 x=25(米)时,面积 S 最大,最大值为 1 250(平方米),此时矩形的长为 100-2×25=50(米). 答 当矩形的长与宽分别为 50 米、25 米时,面积最大,最大为 1 250 平方米. 二、由表格确定函数解析式,解决实际问题 例 2 某公司今年一月份推出一种新产品,成本价为每件 492 元,经试销调查,销售量与 销售价的关系如下表: 650 662 720 800 销售价 x(元/件) 350 333 281 200 销售量 y(件) 由此可知, 销售量 y 与销售价格 x 的关系可近似看作一次函数 y=kx+b(通常取表中相距 较远的两组数据所得的一次函数较为精确).试问:销售价定为多少时,一月份利润最大?并 求最大利润和此时的销售量. 分析 首先要根据表格确定销售量 y 与销售价格 x 的关系式,进一步才能确定利润. 解 由题意及表格可得当 x=650 时,y=350; 当 x=800 时,y=200. 将它们代入 y=kx+b, ? ? ?350=650k+b, ?k=-1, 可得? 解得? ?200=800k+b. ?b=1 000. ? ? 即销售量 y 与销售价格的关系式为 y=-x+1 000(0≤x≤1 000). 设一月份的利润为 P,则由题意可得 P=y(x-492)=(-x+1 000)(x-492) =-x2+1 492x-492 000 =-(x-746)2+64 516(0≤x≤1 000). 这是二次函数的一部分,由二次函数的性质可得 当 x=746(元/件)时, 利润最大,最大值为 64 516(元), 此时的销售量为 y=254(件). 答 销售价定为 746 元时, 一月份利润最大, 最大利润为 64 516 元, 此时的销售量为 254 件. 三、分段函数的应用 例 3 某单位决定住公房的职工必须按基本工资的高低交纳建房公积金,办法如下: 每月工资 公积金 1 000 以下 不交纳 1 000 元 交纳超过 1 000 元部分的 5% 至 2 000 元 2 000 元至 1 000 元至 2 000 元部分交纳 5% 3 000 元 2 000 元至 3 000 元部分交纳 10% 1 000 元至 2 000 元部分交纳 5% 3 000 元以上 2 000 元至 3 000 元部分交纳 10% 3 000 元以上的部分交纳 15% (1)设职工每月工资为 x 元,交纳公积金后实得 y 元,求 y 与 x 之间的关系式; (2)张某的月工资为 2 400 元,则他应交纳多少的公积金.

分析 本题意为工资中要扣除公积金,由表可得分了四段,每一段交纳的方式不相同, 因此我们一段一段地来分析. 解 (1)当 0<x≤1 000 元时,不交纳公积金, 即 y=x; 当 1 000<x≤2 000 时, 交纳超过 1 000 元的部分的 5%, 即 y=1 000+(x-1 000)(1-0.05)=0.95x+50. 同理可得当 2 000<x≤3 000 时, 交纳公积金后实得 y=0.9x+150; 当 x>3 000 时,交纳公积金后实得 y=0.85x+300. 所以所求函数的表达式为 x, 0<x≤1 000, ? ?0.95x+50, 1 000<x≤2 000, y=? 0.9x+150, 2 000<x≤3 000, ? ?0.85x+300, x>3 000. (2)张某的月工资为 2 400 元, 则他实得 y=2 400×0.9+150=2 310(元), 因此他交纳的公积金为 2 400-2310=90(元). 答 张某应交纳公积金 90 元. 函数模型建立过程中的常见错误 解答函数应用问题时,要分四步进行: 第一步:阅读、理解; 第二步:建立数学模型,把应用问题转化为数学问题; 第三步:解答数学模型,求得结果; 第四步:把数学结果转译成具体问题的结论,做出解答. 而这四步中,最为关键的是把第二步处理好.只要把数学模型建立妥当,所有的问题即 可在此基础上迎刃而解. 但是, 很多同学在建模过程中忽视了一些细节, 导致“满盘皆输”. 一、忽视实际意义出错 例 4 生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本,它可以表示为商品数量的函数.现 知一企业生产某种商品的数量为 x(件)时的成本函数为 y=10+2x+2x2(万元),若售出一件商 品的价格是 20 万元,那么该企业所能获取的最大利润是多少? 错解 设该企业所能获取的最大利润为 z(万元),则 z=20x-(10+2x+2x2), 即 z=-2x2+18x-10=-2(x-4.5)2+30.5, 故 z 的最大值为 30.5,即该企业所能获取的最大利润为 30.5 万元. 剖析 同学们,你认为以上解答出现了什么问题?应该怎样进行修正呢?题目中的条件 已经暗示了 x 为自然数,而该错解中却是在 x=4.5 时取到的最大值 30.5,这种情况在实际中 是无法操作的. 正解 设该企业所能获取的最大利润为 z(万元), 则 z=20x-(10+2x+2x2)(x∈N), 即 z=-2x2+18x-10=-2(x-4.5)2+30.5, 故当 x=4 或 5 时,z 取最大值 30, 即该企业生产 4 件或 5 件商品时所取得的利润最大,为 30 万元. 二、因读题不精而出错

例 5 已知甲、乙两物体在同一直线上向同一方向作匀速直线运动,其位移 y(km)和运动 时间 x(h)(0≤x≤5)的关系如图所示,给出以下说法: ①甲、乙运动的速度相同,都是 5 km/h; ②甲、乙运动的时间相同,开始移动后相等时间内甲的位移比乙大; ③甲、乙运动的时间相同,乙的速度是 4 km/h; ④当甲、乙运动了 3 小时后,甲的位移比乙大 3 km,但乙在甲前方 2 km 处. 其中正确的说法是( ) A.③ B.①②③ C.①③④ D.②③④ 错解 ①和③一定是一对一错, 经分析, ③是对的; 对于②, 因为乙的图象在甲的上方, 所以应是甲的位移比乙小,故②错误;对于④,当甲、乙运动了 3 小时,甲的位移为 3×5= 15(km),乙的位移为 5+3×4=17(km),故④错误.故选 A. 剖析 错因在于未读懂图象,从而作出错误判断.对于②,不能依据图象的位置判断位 移大小,要经计算判断;对于④,乙的位移计算错误. 正解 ①和③一定是一对一错,经分析③是对的;对于②,甲、乙运动的时间显然都是 5 小时,因为甲的速度为 5 km/h,乙的速度为 4 km/h,所以开始移动后相等时间内甲的位移 比乙大,故②正确;对于④,当甲、乙运动了 3 小时,甲的位移为 3×5=15(km),乙的位移 为 3×4=12(km),又因为乙是从甲前方 5 km 处开始运动的,所以甲的位移比乙大 3 km,但 乙在甲前方 2 km 处,所以④正确.故选 D. 点评 对于图象题,同学们一定要认真观察,仔细分析,切实理解其真实含义和实际背 景. 三、因主观性太强而致错

例 6 如图所示, 圆弧型声波 DFE 从坐标原点 O 向外传播. 若 D 是 DFE 与 x 轴的交点, 设 OD=x(0≤x≤a),圆弧型声波 DFE 在传播过程中扫过平行四边形 OABC 的面积为 y(图中 阴影部分),则函数 y=f(x)的图象大致是( )

错解 观察图 1 可知,声波扫过的面积先增大后减小,故正确答案为 B. 剖析 本题的错误很明显,y 指的是声波扫过的总面积,不是发展趋势,所以扫过的面 积始终是增大的,上述判断是因主观性太强而致错. 正解 从题目所给的背景图形中不难发现:在声波未传到 C 点之前,扫过图形的面积不 断增大,而且增长得越来越快.当到达 C 点之后且离开 A 点之前,因为 OA∥BC,所以此时 扫过图形的面积呈匀速增长.当离开 A 点之后,扫过图形的面积会增长得越来越慢,所以函

数图象刚开始应是下凹的,然后是一条上升的线段,最后是上凸的.故选 A. 点评 函数图象的凸凹性是函数的一个重要性质,其一般规律是:上凸函数图象若减, 则从左到右减得越来越快;若增,则从左到右增得越来越慢;下凹函数图象正好相反. 错误总是垂青于那些基础知识不扎实、思维不严谨、解题不认真的人,读完本文,希望 同学们能知道怎样远离错误.

求解实际问题四策略 实际问题一般文字叙述较长、背景新颖、涉及知识面广.很多同学在应用题面前束手无 策,有的读不懂题意、有的不会分析.这里向同学们介绍求解实际问题的四种思路,望对同 学们的学习有所帮助. 一、抓常规,乱中找序 实际问题往往与生活联系密切,无论多么复杂的问题,总存在着生活中的常规现象,抓 住它,就在纷乱的条件中找到了“头序”,问题就能迎刃而解. 例 1 某商店将每个进价为 10 元的商品,按每个 18 元销售时,每天可卖出 60 个.经调 查,若将这种商品的售价(在每个 18 元的基础上)每提高 1 元,则日销售量就减少 5 个,若将 这种商品的售价(在每个 18 元的基础上)每降低 1 元,则日销售量就增加 10 个.为获得每日 最大利润,此商品售价应定为每个多少元? 分析 “总利润=销售量×单个利润”这是生活中的常规,从这里入手我们先设每个售 价为 x 元,每日利润为 y 元. 解 若 x≥18(即提价),销售量为 60-5(x-18),单个利润为 x-10,那么每日利润为 y =[60-5(x-18)](x-10)=-5(x-20)2+500,显然当售价定为每个 20 元时,利润最大,其最 大利润为 500 元. 若 x<18(即降价),销售量为 60+10(18-x),单个利润为 x-10,那么每日利润为 y=[60 +10(18-x)](x-10)=-10(x-17)2+490,显然当售价定为每个 17 元时,利润最大,其最大 利润为 490 元. 比较知,商品售价定为每个 20 元,每日利润最大. 二、抓重点,以纲带目 实际问题的一大特点是:信息量大、文字叙述较长,有时还会出现很多数据,面对这些 信息要善于找主要矛盾,抓重点,以纲带目. 例 2 某市用水收费的方法是:水费=基本费+超额费+损耗费.若每月用水量不超过最 高限量 a 立方米,只付基本费 8 元和每户每月的定额损耗费 c 元;若用水量超过 a 立方米, 除了付同上的基本费和损耗费外,超过部分每立方米付 b 元的超额费,已知每户每月的定额 损耗费不超过 5 元. 该市一家庭今年第一季度的用水量和支付的费用如下表所示. 月份 用水量(立方米) 水费(元) 9 9 一 15 19 二 22 33 三 根据上表中的数据求 a、b、c 的值. 分析 抓住“超过与不超过最高限量的付费方式不同”这一重点,想到用分段函数表示 用水量与水费之间的函数关系. 解 设用水量为 x 立方米,支付费用为 y 元,则 ? ?8+c?0≤x≤a?, y=? ?8+b?x-a?+c?x>a?, ? 由 0<c≤5,得 8<8+c≤13,

因此,第二、三两月的用水量超过最高限量. ?8+b?15-a?+c=19, ? 由? 得 b=2 且 2a=c+19. ? ?8+b?22-a?+c=33, 再分析限量 a,若 a<9,由 8+2(9-a)+c=9,得 2a=c+17 与 2a=c+19 矛盾,因此 a≥9. 此时,由 8+c=9,得 c=1,所以 a=10. 故 a=10,b=2,c=1. 三、抓概念,深入理解 实际问题一般都会伴有新概念、新术语的产生,面对这些新概念、新术语,我们必须抓 住它们,通过对它们的全面分析,使我们能准确地把握题意,从而进行正确求解. 例 3 某工厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为 0.5 万元,每生产 100 台,需要加 可变成本(即另增加投入)0.25 万元.市场对此产品的年需求量为 500 台,销售的收入函数为 x2 R(x)=5x- (万元)(0≤x≤5),其中 x 是产品售出的数量(单位:百台). 2 则年产量为多少时,工厂所得利润最大? x2 解 当 0≤x≤5 时,L(x)=4.75x- -0.5, 2 当 x=4.75 时,L(x)max=10.781 25 万元. 当 x>5 时,L(x)=12-0.25x 为减函数, 此时 L(x)<10.75(万元). ∴生产 475 台时利润最大. 四、用草图,显现关系 例 4 某工厂在甲、 乙两地的两个分厂各生产某种机器 12 台和 6 台, 现销售给 A 地 10 台, B 地 8 台.已知从甲地调运 1 台至 A 地、B 地的运费分别为 400 元和 800 元,从乙地调运 1 台至 A 地、B 地的运费分别为 300 元和 500 元. (1)若总运费不超过 9 000 元,问共有几种调运方案? (2)求出总运费最低的调运方案及最低的运费.

解 画一个草图, 如图所示, 设从甲地运 x 台到 A 地, 那么甲地的另 12-x 台运往 B 地. 由 于 A 地购 10 台,因此,尚需从乙地运去 10-x 台,乙地的另 6-(10-x)台运往 B 地.设总 运费为 y, 则 y=400x+800(12-x)+300(10-x)+500[6-(10-x)] =-200x+10 600. (1)由 y≤9 000,即-200x+10 600≤9 000,得 x≥8. 由于甲地有 12 台,A 地需要 10 台,因此有三种调运方案,即从甲地运 8 台、9 台或 10 台到 A 地. (2)由于 y=-200x+10 600 为减函数,又 8≤x≤10,因此,当 x=10 时,运费最低,最 低运费为 8 600 元.

函数应用问题中的创新考点分析 新课标加大了对应用问题的考查,近几年各类考试中函数的应用问题也正悄然变化,对 情境文字与图形的结合的考查增多,下面举例说明.

考点一 看图计算 1.(广州模拟)某民营企业生产 A、B 两种产品,根据市场调查与预测,A 产品的利润与 投资成正比,其关系如图 1,B 产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图 2(注: 利润与投资单位:万元)

图1 图2 (1)分别将 A、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式,并写出它们的函数关系式; (2)该企业已筹集到 10 万元资金,并全部投入 A、B 两种产品的生产,问:怎样分配这 10 万元投资,才能使企业获得最大利润,其最大利润约为多少万元?(精确到 1 万元) 解 (1)设 A 产品的利润 y1(万元)与投资 x(万元)之间的关系式为 y1=ax+b (a≠0), 由 x=1,y1=0.25 和 x=1.8,y1=0.45,得 a+b=0.25,1.8a+b=0.45, ∴a=0.25,b=0,∴y1=0.25x. 设 B 产品的利润 y2(万元)与投资 x(万元)之间的关系式为 y2=k x (k≠0), 由 x=4,y2=2.5,得 k=1.25. ∴y2=1.25 x. 所以 A、B 两种产品利润与投资的函数关系式分别为 y1=0.25x,y2=1.25 x. (2)设将 10 万资金投资 B 产品 x 万元,A 产品(10-x)万元,则利润 y=0.25(10-x)+1.25 x. 令 t= x,∴x=t2. ∴y=-0.25t2+1.25t+2.5=-0.25(t2-5t)+2.5 =-0.25(t-2.5)2+4.062 5. 又 0≤x≤10,∴t∈[0, 10]. ∴当 t=2.5 时, 即 x=6.25 时, y 取得最大值 ymax=4.062 5,10-6.25=3.75. 所以,当投资 A 产品约 4 万元,B 产品约 6 万元时, 所获利润最大,最大利润约为 4 万元. 点评 图象信息题是由图象给出数据信息,探求多个变量之间的关系,再综合应用有关 函数知识加以分析,以达到解决实际问题的目的.这类问题考查收集、整理与加工信息的能 力,解决这类问题的一般步骤是:(1)观察图象,捕捉有效信息;(2)对已获信息进行加工,分 清变量之间的关系;(3)选择恰当的数学工具,通过建模来加以解决;(4)要注意检验,去伪存 真,尤其是实际问题,答案要符合实际. 考点二 几何图形与应用问题的交汇 2.(上海高考)某人定制了一批地砖.每块地砖(如图 1)是边长为 0.4 m 的正方形 ABCD, 点 E、F 分别在边 BC 和 CD 上,△CFE、△ABE 和四边形 AEFD 均由单一材料制成,制成△ CFE、△ABE 和四边形 AEFD 的三种材料的每平方米价格之比为 3∶2∶1.若将此种地砖按如 图 2 所示的形式辅设,能使中间的深色阴影部分成四边形 EFGH. (1)求证:四边形 EFGH 是正方形. (2)E,F 在什么位置时,定制这批地砖所需的材料费用最省?

(1)证明 图 2 是由四块图 1 所示的地砖绕点 C 按顺时针连续三次旋转 90° 后得到的,△ CFE 为等腰直角三角形,所以四边形 EFGH 是正方形. (2)解 设 CE=x,则 BE=0.4-x,每块地砖的费用为 W,制成△CFE、△ABE 和四边形 AEFD 三种材料每平方米的价格依次为(单位:元)3a,2a,a, 1 1 1 1 W= x2· 3a+ ×0.4×(0.4-x)×2a+[0.16- x2- ×0.4×(0.4-x)]a=a(x2-0.2x+0.24) 2 2 2 2 =a[(x-0.1)2+0.23],0<x<0.4. 由 a>0,当 x=0.1 时, W 有最小值,即总费用最省. 所以当 CE=CF=0.1 m 时, 总费用最省. 点评 本题考查平面几何的知识以及二次函数在有限区间上的值域问题,考查对实际问 题的理解以及解决应用问题的能力.


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