当前位置:首页 >> 数学 >>

河南省许昌市四校2015-2016学年高二上学期第三次联考数学试卷(理科) Word版含解析


2015-2016 学年河南省许昌市四校高二(上)第三次联考数学试 卷(理科)
一、选择题:本大题 12 小题,每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 2 2 1.命题“如果 x≥a +b ,那么 x≥2ab”的逆否命题是( ) 2 2 2 2 A.如果 x<a +b ,那么 x<2ab B.如果 x≥2ab,那么 x≥a +b 2 2 2 2 C.如果 x<2ab,那么 x<a +b D.如果 x≥a +b ,那么 x<2ab 2.“x<0”是“ln(x+1)<0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.命题“所有奇数的立方是奇数”的否定是( A.所有奇数的立方不是奇数 B.不存在一个奇数,它的立方是偶数 C.存在一个奇数,它的立方是偶数 D.不存在一个奇数,它的立方是奇数 )

4.设 M=2a(a﹣2) ,N=(a+1) (a﹣3) ,则有( A.M>N B.M≥N C.M<N D.M≤N
2



5.不等式 x ﹣2x﹣5>2x 的解集是( ) A.{x|x≥5 或 x≤﹣1} B.{x|x>5 或 x<﹣1} C.{x|﹣1<x<5} D.{x|﹣1≤x≤5} 6.在△ ABC 中,B=60°,b =ac,则△ ABC 一定是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 7.已知数列{an}的前 n 项的和 Sn=a ﹣1(a 是不为 0 的实数) ,那么{an}( A.一定是等差数列 B.一定是等比数列 C.或者是等差数列,或者是等比数列 D.既不可能是等差数列,也不可能是等比数列 8.等差数列{an}的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,则它的前 3m 项和为( A.130 B.170 C.210 D.260 9.若 a,b,c 成等比数列,则函数 y=ax +bx+c 的图象与 x 轴的交点个数为( A.0 B.1 C.2 D.0 或 1
2 n 2







10.双曲线 A. (﹣∞,0)

的离心率 e∈(1,2) ,则 k 的取值范围是( B. (﹣3,0) C. (﹣12,0)
2 2



D. (﹣60,﹣12)

11.过点 M(﹣2,0)的直线 l 与椭圆 x +2y =2 交于 P1,P2,线段 P1P2 的中点为 P.设直 线 l 的斜率为 k1(k1≠0) ,直线 OP 的斜率为 k2,则 k1k2 等于( ) A.﹣2 B.2 C. D.﹣

12.如果方程 点的是( A. + )

+

=1(p<0,q<0)表示双曲线,那么下列椭圆中,与这个双曲线共焦

=1 B.

+

=﹣1

C.

+

=1 D.

+

= ﹣1

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.在△ ABC 中,已知 b=50 ,c=150,B=30°,则边长 a=
2 2

. .

14. 与双曲线 x ﹣4y =4 有共同的渐近线, 并且经过点 (2, ) 的双曲线方程是
2 2

15. 若点 O 和点 F 分别为椭圆 3x +4y =12 的中心和左焦点, 点 P 为椭圆上任意一点, 则 最大值为 .
2 2

16.已知直线 y=kx+1 与双曲线 3x ﹣y =3 的右支相交于不同的两点,则 k 的取值范围 是 .

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17. (10 分) (2015 秋?许昌月考)已知 x,y 满足不等式组

,求 z=3x+5y 的最

大值和最小值. 18. (12 分) (2015 秋?许昌月考)已知常数 a∈R,解关于 x 的不等式 ax ﹣2x+a<0.
2

19. (12 分) (2009?宜昌一模)某个体户计划经销 A、B 两种商品,据调查统计,当投资额 为 x(x≥0)万元时,经销 A、B 商品中所获得的收益分别为 f(x)万元与 g(x)万元.其

中 f(x)=x+1;g(x)=

.如果该个体户准备投入 5 万元经

营这两种商品, 请你帮他制定一个资金投入方案, 使他能获得最大收益, 并求出其最大收益. 20. (12 分) (2011?郑州二模)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2﹣an,数列{bn}满足 b1=1, b3+b7=18,且 bn﹣1+bn+1=2bn(n≥2) . (Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式; (Ⅱ)若 cn= ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

21. (12 分) (2011?双流县校级模拟)已知向量 ,函数 (Ⅰ)若 f(x)=1,求 . 的值;



(Ⅱ)在锐角△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且满足 (2B)的取值范围.

,求 f

22. (12 分) (2010?沈阳模拟) 已知定点

, B 是圆

(C 为圆心)上的动点,AB 的垂直平分线与 BC 交于点 E. (1)求动点 E 的轨迹方程; (2)设直线 l:y=kx+m(k≠0,m>0)与 E 的轨迹交于 P,Q 两点,且以 PQ 为对角线的菱 形的一顶点为(﹣1,0) ,求:△ OPQ 面积的最大值及此时直线 l 的方程.

2015-2016 学年河南省许昌市四校高二(上)第三次联考 数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题 12 小题,每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 2 2 1.命题“如果 x≥a +b ,那么 x≥2ab”的逆否命题是( ) 2 2 2 2 A.如果 x<a +b ,那么 x<2ab B.如果 x≥2ab,那么 x≥a +b 2 2 2 2 C.如果 x<2ab,那么 x<a +b D.如果 x≥a +b ,那么 x<2ab 【考点】四种命题间的逆否关系. 【专题】阅读型. 【分析】根据命题的逆否命题的概念,即是逆命题的否命题,也是逆命题的否命题;写出逆 命题,再求其否命题即可. 【解答】解:命题的逆命题是:如果 x≥2ab,那么 x≥a +b 2 2 ∴逆否命题是:如果 x<2ab,那么 x<a +b , 故选:C 【点评】本题主要考查四种命题间的关系.如图
2 2

2.“x<0”是“ln(x+1)<0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】充要条件. 【专题】计算题;简易逻辑. 【分析】根据不等式的性质,利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论. 【解答】解:∵x<0,∴x+1<1,当 x+1>0 时,ln(x+1)<0; ∵ln(x+1)<0,∴0<x+1<1,∴﹣1<x<0,∴x<0, ∴“x<0”是 ln(x+1)<0 的必要不充分条件. 故选:B. 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据不等式的性质是解决本题的关键, 比较基础. 3.命题“所有奇数的立方是奇数”的否定是( A.所有奇数的立方不是奇数 )

B.不存在一个奇数,它的立方是偶数 C.存在一个奇数,它的立方是偶数 D.不存在一个奇数,它的立方是奇数 【考点】命题的否定. 【专题】计算题;规律型;简易逻辑. 【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可. 【解答】解:根据命题的否定的定义知,命题“所有奇数的立方是奇数”的否定为:存在一个 奇数,它的立方是偶数. 故选:C. 【点评】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系,是基础题. 4.设 M=2a(a﹣2) ,N=(a+1) (a﹣3) ,则有( ) A.M>N B.M≥N C.M<N D.M≤N 【考点】向量在几何中的应用. 【专题】计算题. 【分析】比较两个数的大小,通常采用作差法,分别计算 M﹣N 的结果,判断结果的符号. 【解答】解:∵M﹣N═2a(a﹣2)﹣(a+1) (a﹣3) =(a﹣1) +2>0, ∴M>N. 故选 A. 【点评】本题考查了比较两数大小的方法,分式加减的运用.当 a﹣b>0 时,a>b,当 a﹣ b=0 时,a=b,当 a﹣b<0 时,a<b. 5.不等式 x ﹣2x﹣5>2x 的解集是( ) A.{x|x≥5 或 x≤﹣1} B.{x|x>5 或 x<﹣1} C.{x|﹣1<x<5} D.{x|﹣1≤x≤5} 【考点】一元二次不等式的解法. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】将不等式转化为一元二次不等式,利用因式分解法,可求得结论. 2 2 【解答】解:不等式 x ﹣2x﹣5>2x?x ﹣4x﹣5>0?(x﹣5) (x+1)>0?x>5 或 x<﹣1, 故选 B. 【点评】本题考查了一元二次不等式的解法,求解的关键在于求出对应方程的根,能用因式 分解法的就用因式分解法. 6.在△ ABC 中,B=60°,b =ac,则△ ABC 一定是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 【考点】三角形的形状判断. 【专题】计算题. 2 2 2 2 2 2 【分析】由余弦定理且 B=60°得 b =a +c ﹣ac,再由 b =ac,得 a +c ﹣ac=ac,得 a=c,得 A=B=C=60°,得△ ABC 的形状是等边三角形 2 2 2 2 2 2 【解答】解:由余弦定理得:b =a +c ﹣2accosB=a +c ﹣ac,又 b =ac, 2 2 2 ∴a +c ﹣ac=ac,∴(a﹣c) =0,∴a=c,∴A=B=C=60°, ∴△ABC 的形状是等边三角形. 故选 D.
2 2 2

【点评】本题考查三角形的形状判断,用到余弦定理,在一个式子里面未知量越少越好.是 基础题. 7.已知数列{an}的前 n 项的和 Sn=a ﹣1(a 是不为 0 的实数) ,那么{an}( ) A.一定是等差数列 B.一定是等比数列 C.或者是等差数列,或者是等比数列 D.既不可能是等差数列,也不可能是等比数列 【考点】等比关系的确定. 【专题】计算题;分类讨论. 【分析】由题意可知,当 a=1 时,Sn=0,判断数列是否是等差数列;当 a≠1 时,利用 ,判断数列{an}是等差数列还是等比数列. 【解答】解:①当 a=1 时,Sn=0, 且 a1=a﹣1=0, n n﹣1 an=Sn﹣Sn﹣1=(a ﹣1)﹣(a ﹣1)=0, (n>1) n﹣1 n﹣2 an﹣1=Sn﹣1﹣Sn﹣2=(a ﹣1)﹣(a ﹣1)=0, ∴an﹣an﹣1=0, ∴数列{an}是等差数列. ②当 a≠1 时, a1=a﹣1, n n﹣1 n n﹣1 an=Sn﹣Sn﹣1=(a ﹣1)﹣(a ﹣1)=a ﹣a , (n>1) n﹣1 n﹣2 n﹣1 n﹣2 an﹣1=Sn﹣1﹣Sn﹣2=(a ﹣1)﹣(a ﹣1)=a ﹣a , (n>2) , (n>2) ∴数列{an}是等比数列. 综上所述,数列{an}或是等差数列或是等比数列. 故选 C. 【点评】本题考查数列的概念,等差数列与等比数列的判定,解题时要注意 a=0 的情况,避 免丢解以及 n 的范围满足数列的定义. 8.等差数列{an}的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,则它的前 3m 项和为( ) A.130 B.170 C.210 D.260 【考点】等差数列的前 n 项和;等差数列的性质. 【专题】计算题. 【分析】利用等差数列的前 n 项和公式,结合已知条件列出关于 a1,d 的方程组,用 m 表 示出 a1、d,进而求出 s3m;或利用等差数列的性质,sm,s2m﹣sm,s3m﹣s2m 成等差数列进 行求解. 【解答】解:解法 1:设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,
n

由题意得方程组



解得 d=

,a1=



∴s3m=3ma1+ 故选 C.

d=3m

+

=210.

解法 2:∵设{an}为等差数列, ∴sm,s2m﹣sm,s3m﹣s2m 成等差数列, 即 30,70,s3m﹣100 成等差数列, ∴30+s3m﹣100=70×2, 解得 s3m=210. 故选 C. 【点评】解法 1 为基本量法,思路简单,但计算复杂;解法 2 使用了等差数列的一个重要性 质,即等差数列的前 n 项和为 sn,则 sn,s2n﹣sn,s3n﹣s2n,…成等差数列. 9.若 a,b,c 成等比数列,则函数 y=ax +bx+c 的图象与 x 轴的交点个数为( A.0 B.1 C.2 D.0 或 1 【考点】数列与函数的综合. 【专题】计算题.
2 2



【分析】根据 a,b 及 c 为等比数列,得到 b =ac,且 ac>0,然后表示出此二次函数的根的 判别式,判断出根的判别式的符号即可得到二次函数与 x 轴交点的个数. 2 【解答】解:由 a,b,c 成等比数列,得到 b =ac,且 ac>0, 2 令 ax +bx+c=0(a≠0) 2 则△ =b ﹣4ac=ac﹣4ac=﹣3ac<0, 2 所以函数 f(x)=ax +bx+c 的图象与 x 轴的交点个数是 0. 故选 A. 【点评】本题主要考查了等比数列的性质,灵活运用根的判别式的符号判断二次函数与 x 轴的交点个数,属于基础题.

10.双曲线

的离心率 e∈(1,2) ,则 k 的取值范围是(



A. (﹣∞,0) B. (﹣3,0) C. (﹣12,0) D. (﹣60,﹣12) 【考点】双曲线的简单性质. 【专题】计算题. 【分析】先把双曲线方程化为标准形式,由离心率的范围求出 k 的取值范围. 【解答】解:∵双曲线 的离心率 e∈(1,2) ,

∴双曲线标准方程为:
2



=1∴k<0,

∴1<e <4,1<

<4,﹣12<k<0,

故答案选 C 【点评】本题考查双曲线的标准方程和离心率. 11.过点 M(﹣2,0)的直线 l 与椭圆 x +2y =2 交于 P1,P2,线段 P1P2 的中点为 P.设直 线 l 的斜率为 k1(k1≠0) ,直线 OP 的斜率为 k2,则 k1k2 等于( ) A.﹣2 B.2 C. D.﹣
2 2

【考点】椭圆的应用;直线与圆锥曲线的综合问题. 【专题】计算题. 2 2 2 2 2 2 【分析】设直线 l 的方程为 y=k1(x+2) ,代入 x +2y =2,得(1+2k1 )x +8k1 x+8k1 ﹣2=0, 然后由根与系数的关系求解能够得到 k1k2 的值. 【解答】解:设直线 l 的方程为 y=k1(x+2) ,代入 x +2y =2,得(1+2k1 )x +8k1 x+8k1 ﹣2=0,所以 x1+x2=﹣
2 2 2 2 2 2



而 y1+y2=k1(x1+x2+4)=



所以 OP 的斜率 k2=

=﹣



所以 k1k2=﹣ , 故选 D. 【点评】本题考查椭圆方程的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答.

12.如果方程 点的是( A. + )

+

=1(p<0,q<0)表示双曲线,那么下列椭圆中,与这个双曲线共焦

=1 B.

+

=﹣1

C.

+

=1 D.

+

= ﹣1

【考点】双曲线的简单性质.

【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】由方程 + =1(p<0,q<0)表示双曲线,可得 c= ,判断出 A,C

不表示椭圆,再求出 B,D 中的 c,即可得出结论. 【解答】解:由题意,方程 + =1(p<0,q<0)表示双曲线,则 c= .

∵p<0,q<0,∴A,C 不表示椭圆, 对于 B,a =﹣2q﹣p,b =﹣p,∴c = 对于 D,a =﹣2p﹣q,b =﹣p,∴
2 2 2 2 2

= =

,不满足题意; ,满足题意.

故选:D. 【点评】本题考查椭圆、双曲线的几何性质,考查学生的计算能力,正确理解椭圆、双曲线 的几何性质是关键. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.在△ ABC 中,已知 b=50 【考点】余弦定理. 【专题】计算题. 【分析】由余弦定理可得 的值. 【解答】解:由余弦定理可得 b =a +c ﹣2accosB,即 = ,
2 2 2

,c=150,B=30°,则边长 a= 100



=

,解一元二次方程求出 a

∴a= , 故答案为 . 【点评】本题考查余弦定理的应用,一元二次方程的解法,求 a 的值,是解题的难点.

14.与双曲线 x ﹣4y =4 有共同的渐近线,并且经过点(2,

2

2

)的双曲线方程是



=1 . 【考点】双曲线的简单性质. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 2 【分析】依题意,设双曲线的方程为 x ﹣4y =λ,将点(2, )的坐标代入可求 λ. 2 2 2 2 【解答】解:设与双曲线 x ﹣4y =4 有共同的渐近线的双曲线的方程为 x ﹣4y =λ, ∵该双曲线经过点(2, ) , ∴4﹣4×5=﹣16. 2 2 ∴所求的双曲线方程为:x ﹣4y =﹣16,

整理得:



=1.

故答案为:



=1
2 2

【点评】本题考查双曲线的简单性质,设出所求双曲线的方程为 x ﹣4y =λ 是关键,属于中 档题.
2 2

15. 若点 O 和点 F 分别为椭圆 3x +4y =12 的中心和左焦点, 点 P 为椭圆上任意一点, 则 最大值为 6 . 【考点】椭圆的简单性质;平面向量数量积的运算. 【专题】计算题;函数思想;方程思想;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】设 P(x,y) ,由数量积运算及点 P 在椭圆上可把 据二次函数性质可求其最大值. 【解答】解:设 P(x,y) , 则 =(x,y)?(x+1,y)=x +x+y ,
2 2 2 2

表示为 x 的二次函数,根

又点 P 在椭圆上,故 3x +4y =12, 所以 x +x+(3﹣ x )= x +x+3= (x+2) +2, 又﹣2≤x≤2, 所以当 x=2 时, (x+2) +2 取得最大值为 6,即
2 2 2 2 2

的最大值为 6,

故答案为:6. 【点评】本题考查平面向量的数量积运算、椭圆的简单性质,属中档题. 16.已知直线 y=kx+1 与双曲线 3x ﹣y =3 的右支相交于不同的两点,则 k 的取值范围是 . 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题. 【专题】计算题;函数思想;方程思想;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 把直线方程与双曲线方程联立消去 y, 根据 x1x2>0 和判别式大于 0 求得 k 的范围. 2 2 【解答】解:由直线 y=kx+1 与双曲线方程 3x ﹣y =3 联立,消去 y 2 2 (3﹣k )x ﹣2kx﹣4=0,两个交点的横坐标分别为:x1,x2; ∵x1x2>0 所以﹣ >0 所以 k >3,即 k>
2 2 2

或者 k<﹣



又 x1+x2>0,所以

>0,可得 k<0

∴k<﹣ , 2 2 2 又△ =(﹣2k) +16(3﹣k )>0 解得 k <4,解得﹣2<k<2

解得﹣2<k<﹣



故答案为: . 【点评】 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题. 当直线与圆锥曲线相交时 涉及交点 问题时常用韦达定理法来解决. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17. (10 分) (2015 秋?许昌月考)已知 x,y 满足不等式组

,求 z=3x+5y 的最

大值和最小值. 【考点】简单线性规划. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】作出不等式组对应的平面区域,根据 z 的几何意义,利用数形结合即可得到最大值 和最小值. 【解答】解:不等式组对应的平面区域如图: 由 z=3x+5y 得 y= 平移直线 y= , ,则由图象可知当直线 y= 经过点 A 时直线 y= 的截

距最大, 此时 z 最大,当经过点 B 时,直线的截距最小,此时 z 最小.



解得

,即 A( , ) ,

此时最大值 z=3× +5× =17,



,解得

,即 B(﹣2,﹣1) ,

此时最小值 z=3×(﹣2)+5×(﹣1)=﹣11.

【点评】本题主要考查线性规划的应用,根据 z 的几何意义,利用数形结合是解决本题的关 键. 18. (12 分) (2015 秋?许昌月考)已知常数 a∈R,解关于 x 的不等式 ax ﹣2x+a<0. 【考点】一元二次不等式的解法. 【专题】分类讨论;不等式的解法及应用. 【分析】讨论 a=0 时,不等式是什么,解集是什么? a>0 时,如何解不等式 ax ﹣2x+a<0,解集是什么? 2 a<0 时,如何解不等式 ax ﹣2x+a<0,解集是什么? 【解答】解:当 a=0 时,不等式为﹣2x<0,∴x>0; 2 当 a>0 时,∵4﹣4a >0,∴﹣1<a<1, ∴若 0<a<1,则方程 ax ﹣2x+a=0 的两个实数根是 x1=
2 2 2

,x2=



∴不等式 ax ﹣2x+a<0 的解集是{x|
2 2

2

<x<

};

若 a≥1,△ =4﹣4a ≤0,∴不等式 ax ﹣2x+a<0 的解集是?; 2 当 a<0 时,∵4﹣4a >0,∴﹣1<a<1; ∴若﹣1<a<0,则方程 ax ﹣2x+a=0 的两个实数根是 x1=
2

,x2=



∴不等式 ax ﹣2x+a<0 的解集是{x|x>
2

2

,或 x<

};

若 a=﹣1,则不等式 ax ﹣2x+a<0 的解集是{x|x≠ }; 若 a<﹣1,则不等式 ax ﹣2x+a<0 的解集是 R; 综上,a=0 时,不等式的解集是{x|x>0}; 0<a<1 时,不等式的解集是{x| a≥1 时,不等式的解集是?; ﹣1<a<0 时,不等式的解集是{x|x> a=﹣1 时,不等式的解集是{x|x≠ }; a<﹣1 时,不等式的解集是 R. 【点评】 本题考查了用分类讨论法解含有字母系数的不等式的问题, 解题时应适当地进行分 类,求出各种情况的不等式的解集,再综合在一起,是易错题. 19. (12 分) (2009?宜昌一模)某个体户计划经销 A、B 两种商品,据调查统计,当投资额 为 x(x≥0)万元时,经销 A、B 商品中所获得的收益分别为 f(x)万元与 g(x)万元.其 ,或 x< }; <x< };
2

中 f(x)=x+1;g(x)=

.如果该个体户准备投入 5 万元经

营这两种商品, 请你帮他制定一个资金投入方案, 使他能获得最大收益, 并求出其最大收益. 【考点】分段函数的应用. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据条件,表示为分段函数形式,利用基本不等式或者一元二次函数的最值,进行 求解即可 【解答】解:设投入 B 商品的资金为 x 万元(0≤x≤5) ,则投入 A 商品的资金为 5﹣x 万元, 设收入为 S(x)万元, ①当 0≤x≤3 时,f(5﹣x)=6﹣x,g(x)= 则 S(x)=6﹣x+ x+1= =17﹣[(x+1)+ , ]≤17﹣2 =17﹣6=11,当且仅当

,解得 x=2 时,取等号.
2

②当 3<x≤5 时,f(5﹣x)=6﹣x,g(x)=﹣x +9x﹣12, 2 2 则 S(x)=6﹣x﹣x +9x﹣12=﹣(x﹣4) +10≤10,此时 x=4. ∵10<11, ∴最大收益为 11 万元, 答: 投入 A 商品的资金为 3 万元, 投入 B 商品的资金为 2 万元, 此时收益最大, 为 11 万元. 【点评】本题主要考查函数的应用问题,利用分段函数,分别求解,利用基本不等式和一元 二次函数的最值是解决本题的关键. 20. (12 分) (2011?郑州二模)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2﹣an,数列{bn}满足 b1=1, b3+b7=18,且 bn﹣1+bn+1=2bn(n≥2) . (Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式; (Ⅱ)若 cn= ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

【考点】数列递推式;数列的求和. 【专题】计算题. 【分析】 (Ⅰ) 由前 n 项和与第 n 项的关系, 可得 由 bn﹣1+bn+1=2bn(n≥2)知,数列{bn}是等差数列,由 , 求出此等比数列的通项公式; ,求得

,从而写出等差数列 的通项公式.

(Ⅱ)

,用错位相加法进行数列求和,得到 Tn 的结果.

【解答】解: (Ⅰ)由题意 Sn=2﹣an ①,当 n≥2 时,Sn﹣1=2﹣an﹣1 ②,①﹣②得 an=Sn ﹣Sn﹣1 =an﹣1﹣an , 即 所以 ,又 a1=S1=2﹣a1,∴a1=1,故数列{an}是以 1 为首项, 为公比的等比数列, .

由 bn﹣1+bn+1=2bn(n≥2)知,数列{bn}是等差数列,设其公差为 d, 则 ,所以 ,bn=b1+(n﹣1)d=2n﹣1; .

综上,数列{an}和{bn}的通项公式为

(Ⅱ)



= ∴2Tn=1×2 +3×2 ++(2n﹣3)×2 +(2n﹣1)×2 ,④ 1 2 3 n﹣1 n ③﹣④得﹣Tn=1+2(2 +2 +2 ++2 )﹣(2n﹣1)?2 , 整理得
n 1 2 n﹣1 n



, 所以 Tn= (2n﹣3)

?2 +3. 【点评】本题考查等比数列的性质,等比数列的通项公式,等差数列的性质,等差数列的通 项公式,根据递推关系求通项,用错位相加法进行数列求和,用错位相加法求出 Tn=(2n n ﹣3)?2 +3,是解题的难点. 21. (12 分) (2011?双流县校级模拟)已知向量 ,函数 (Ⅰ)若 f(x)=1,求 . 的值; ,求 f ,

(Ⅱ)在锐角△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且满足

(2B)的取值范围. 【考点】数量积的坐标表达式;三角函数中的恒等变换应用;两角和与差的正弦函数;余弦 定理. 【专题】计算题. 【分析】 (I)利用向量的数量积公式求出 f(x) ,利用二倍角公式及两角和、差公式化简 f (x) ;利用诱导公式将 用 表示,求出值.

(II)利用三角形的余弦定理将已知等式中的余弦用边表示,再次利用余弦定理求出角 A, 利用三角形的内角和为 π 及 B,C 都是锐角求出 B 的范围,求出 f(2B)的范围.

【解答】解: (Ⅰ)若 f(x)=1,可得 则 ,

(Ⅱ)由

可得

即 b +c ﹣a =bc

2

2

2

所以





又 B,C 均为锐角∴ ∴ ∴ 的取值范围是

【点评】本题考查向量的数量积公式、三角形的二倍角公式、和,差角公式、诱导公式;三 角形的余弦定理.

22. (12 分) (2010?沈阳模拟) 已知定点

, B 是圆

(C 为圆心)上的动点,AB 的垂直平分线与 BC 交于点 E. (1)求动点 E 的轨迹方程; (2)设直线 l:y=kx+m(k≠0,m>0)与 E 的轨迹交于 P,Q 两点,且以 PQ 为对角线的菱 形的一顶点为(﹣1,0) ,求:△ OPQ 面积的最大值及此时直线 l 的方程. 【考点】椭圆的标准方程;直线的一般式方程;直线与圆锥曲线的综合问题. 【专题】计算题. 【分析】 (1)根据|EA|=|EB|可判断出|EA|+|EC|=|EB|+|EC|进而根据椭圆的定义可知点 E 的轨 迹是以 A,C 为焦点,长轴长为 4 的椭圆,E 的轨迹方程可得. (2)设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,PQ 的中点为(x0,y0)将直线方程与椭圆方程联立消去 y,根据判别式大于 0 求得 k 与 m 的不等式关系;同时根据 AB 的垂直平分线与 BC,可分 别表示出两直线的斜率使其乘积等于﹣1 求得 k 和 m 的关系式, 进而可求得 k 的范围. 设O 到直线 l 的距离为 d,根据三角形面积公式可得△ OPQ 的面积的表达式,根据 k 的范围确定 △ OPQ 的面积的最大值.求出此时的 k 和 m,所求的直线方程可得. 【解答】解: (1)由题知|EA|=|EB| ∴|EA|+|EC|=|EB|+|EC|=4 又∵ ∴E 的轨迹方程为 (2)设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,PQ 的中点为(x0,y0) 将直线 y=kx+m 与 ∴点 E 的轨迹是以 A,C 为焦点,长轴长为 4 的椭圆,

联立得(1+4k )x +8kmx+4m ﹣4=0△ =16(4k +1﹣m )>0,即 4k +1>m ① 又

2

2

2

2

2

2

2

依题意有 整理得 3km=4k +1② 由①②可得
2



,∵m>0,∴k>0,∴

设 O 到直线 l 的距离为 d, 则

= 当 此时 时,△ OPQ 的面积取最大值 1, ,∴直线方程为

【点评】 本题主要考查了椭圆的标准方程及直线与椭圆的关系, 考查了学生对圆锥曲线综合 知识的把握.

2016 年 1 月 21 日


相关文章:
河南省许昌市四校2015-2016学年高二上学期第三次联考数...
河南省许昌市四校2015-2016学年高二上学期第三次联考数学试卷(理)_资格考试/认证_教育专区。许昌市四校联考高二上学期第三次考试 数学(理)试卷时间:120 分钟 ...
...2016学年高二上学期第三次联考数学(理)试卷
河南省许昌市四校2015-2016学年高二上学期第三次联考数学()试卷_英语_高中教育_教育专区。许昌市四校联考高二上学期第三次考试 数学(理)试卷时间:120 分钟 ...
2015-2016学年河南省许昌市四校高二上学期第三次联考数学(理)试题...
2015-2016学年河南省许昌市四校高二上学期第三次联考数学(理)试题 word版_高中教育_教育专区。许昌市四校联考高二上学期第三次考试 数学(理)试卷 时间:120 ...
河南省许昌市四校2015-2016学年高二数学上学期第三次联...
河南省许昌市四校2015-2016学年高二数学上学期第三次联考试题 理_数学_高中教育_教育专区。许昌市四校联考高二上学期第三次考试 数学()试卷时间:120 分钟 ...
河南省许昌市四校2015-2016学年高二上学期第三次联考语...
河南省许昌市四校2015-2016学年高二上学期第三次联考语文试题 Word版含答案.doc_数学_高中教育_教育专区。许昌市四校联考高二上学期第三次考试 语文试卷第Ⅰ卷 ...
河南省许昌市四校2015-2016学年高二上学期第三次联考语...
河南省许昌市四校2015-2016学年高二上学期第三次联考语文试题 Word版含答案_语文_高中教育_教育专区。许昌市四校联考高二上学期第三次考试 语文试卷第Ⅰ卷 阅读...
河南省许昌市四校2015-2016学年高二上学期第四次(期末)...
河南省许昌市四校2015-2016学年高二上学期第四次(期末)联考数学(文)试题 Word版含答案_高二数学_数学_高中教育_教育专区。许昌市四校联考高二上学期第四次考试 ...
...年高二上学期第三次联考 英语试题(word版)
河南省许昌市四校2015-2016学年高二上学期第三次联考 英语试题(word版) 许昌市四校联考高二上学期第三次考试 英语试卷 第Ⅰ卷 第二部分 阅读理解(共两节,满分...
河南省许昌市四校2015-2016学年高二上学期第三次联考历...
河南省许昌市四校2015-2016学年高二上学期第三次联考历史试题 Word版含答案.doc_数学_高中教育_教育专区。许昌四校 2015-2016 学年上期第三次联考 高二历史 一...
河南省许昌市四校2015-2016学年高二上学期第三次联考政...
河南省许昌市四校2015-2016学年高二上学期第三次联考政治试题(含解析).doc_数学_高中教育_教育专区。许昌市四校联考高二上学期第三次考试 政治试卷本试题卷分第...
更多相关标签: