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数列综合1


数列综合训练 1 1.两个等差数列,它们的前 n 项和之比为 5 n ? 3 ,则这两个数列的第 9 项之比是( C )
2n ? 1

A. 5
3

B. 8
5

C. 8
3
*

D. 7
4

2.数列{an}前 n 项和是 Sn,如果 Sn=3+2an(n∈N ),则这个数列是( A ) A.等比数列 B.等差数列 C.除去第一项是等比 D.除去最后一项为等差 3.a、b、c 成等比数列,则 f(x)=ax2+bx+c 的图象与 x 轴的交点个数是( A ) A.0 B.1 C.2 D.不确定 4.一个只有有限项的等差数列,它的前 5 项的和为 34,最后 5 项的和为 146,所有项的和 为 234 ,则它的第七项等于( ) A . 22 B. 2 1 C. 1 9 D. 1 8 5.若等比数列 ? a n ? 的前 n 项和 S n A. 2 B. 1
?3 ?r
n

,则 r 的值是( C. 0

) D. ? 1
S5

6. a n } 是等差数列,S n 是其前 n 项和, 3 { a

? a 8 ? 0 , S 9 ? 0 , 则在 S 1 , S 2 , S 3 , ? , S 9 中最小的是

7.等差数列 5,8,11,……与等差数列 3,8,13,……都有 100 项,那么这两个数列相同 的项共有______20________项。 8.已知 a、b、c 成等比数列,如果 a、x、b 和 b、y、c 都成等差数列,则 a
x ? c y

=______2___

解法一: 赋值法。解法二: b=aq,c=aq2,x=
1 1 2 1 4 a q (1 ? q )
2 2

1 2

(a+b)=

1 2

a(1+q),y=

1 2

(b+c)=

1 2

aq(1+q),

a x

?

c y

= ay

? cx xy

a q (1 ? q ) ?

2

a q (1 ? q )

2

2

? 2

=2。

9.设{an}为等差数列,{bn}为等比数列,且 a1=b1=1,a2+a4=b3,b2b4=a3 分别求出{an}及{bn}的前 10 项的和 S10 及 T10. 解
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∵{an}为等差数列,{bn}为等比数列,∴a2+a4=2a3,

b2·b4=b32,
1 2

已知 a2+a4=b3,b2·b4=a3,∴b3=2a3,a3=b32,得 b3=2b32,∵b3≠0,∴b3= 由 a1=1,a3=
1 4

,a3=

1
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4

,知{an}的公差 d=-
?9 2

3 8

,
1 2

∴S10=10a1+ 10

d=-
10

55
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8
) 31 32

由 b1=1,b3=

,知{bn}的公比 q=
b1 (1 ? q 1? q

2 2

或 q=-

2 2

,

当q ?

2 2

时 , T1 0 ?

b1 (1 ? q 1? q

?

(2 ?

2 );

当q ? ?

2 2

10

时 , T1 0 ?

)

?

31 32

(2 ?

2 ).

10.已知数列 { a n }满足 a 1 ? 1, a n ? 3 (Ⅰ)求 a 2 , a 3 ;

n ?1

? a n ?1 ( n ? 2 ).

(Ⅱ)证明 a n

?

3

n

?1 2

.

(Ⅰ)∵a1=1 . ∴a2=3+1=4, a3=32+4=13 . - (Ⅱ)证明:由已知 an-an-1=3n 1,故
a n ? ( a n ? a n ?1 ) ? ( a n ?1 ? a n ? 2 ) ? ? ? ( a 2 ? a 1 ) ? a 1 ? 3
n ?1

?3

n?2

?? ? 3?1?

3 ?1
n

所以证得 a n

?

3

n

?1 2

.

.

2

11.设正项数列{an}的前 n 项和为 Sn,且存在正数 t,使得对所有正整数 n,t 与 an 的等差中 项和 t 与 Sn 的等比中项相等, 求证: (1)数列

?

Sn

? 为等差数列;

(2)求{an}通项公式及前 n 项和. 11.已知数列 { a n } 中: a 1 ? 1, a n ? 1 ? 2 n a n ( k ? N ? ) , (I)求 a n (II)若 b n
? log
2

(

an 4
n

), 求数列 { b n }

最小项的值;

(III)设数列{ c n }的前 n 项为 b n ,求数列{ | c n | }的前 n 项和 S n . (I) a n (II) b n
? a1 ? a2 a1
? 5n 2 ? 1 2

?? ?

an a n ?1
(n ?

n ( n ?1)

? 2

2

;

?

n

2

5 2

)

2

?

5 8

,? 当 n ? 2 或 3时 ( b n ) min ? ? 3 ; 5n ? n 2
n
2

(III) c n ? n ? 3 , ①当 n ? 3 时, S n ②当 n
? 4时 , S n ? b n ? 2 b 3 ?

2

?

;

? 5 n ? 12 2

.
1 a 2n

12.已知 { a n } 是各项均为正数的等差数列, lg a 1 、 lg a 2 、 lg a 4 成等差数列,又 b n=1,2,3…. (Ⅰ)证明 {b n } 为等比数列; (Ⅱ)如果数列{bn}前 3 项的和等于
7 24

n

?



,求数列{an}的首项 a1 和公差 d.

证明:? lg a1 、 lg a 2 、 lg a 4 成等差数列,? 2 lg a 2 ? lg a1 ? lg a 4 ,即 a 2 2 ? a1 a 4 又设等差数列 ? a n ? 的公差为 d ,则 ( a
? a1 ? (2 ? 1) d ? 2 d
n n

1

? d ) ? a1 ( a1 ? 3 d ) ,即 d
2

2

? a1 d

? d ? 0,? d ? a1 ? 0 ,

a

2

n

,n b
1

?

1 a
2
n

?

1 d

?

1 2
n

这时 ? b n ? 是首项 b1 ?
7 24

1 2d

, 公比为

1 2

的等比数列。

(Ⅱ)解:? b1

? b 2 ? b3 ?

(1 ?

1 2

?

1 4

)?

,? d ? 3



2d

? a1 ? d ? 3


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