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数学实验与数学建模作业(1)


Mathematica 建立船渡直角弯模型
一、 问题重述
有一艘宽度为 5m 的船,欲驶过某河道的直角湾,河道的宽度如 下图所示,试问:要驶过直角湾 ,船的长度不能超过多少米 ?(精确到 0.01m)

图一

二、 问题分析
如图所示,由于船需要拐过的弯为一个直角,所以船的最大长度 有一限制,即当船头船尾所成直线恰好与直角的内角相切时,设驳船 长度为 L,要使驳船能驶过直角湾,假定驳船外侧与河道的边沿刚好 接触,则河道内侧的角点到驳船内侧的距离不能大于 5m,否则无法

通过. 因而问题归结为求 L 的最大值。 所以只需要建立船长 L 与船外 侧与横轴的夹角 x 的关系, 并利用 mathematica 求出 L 的最大值即可。

三、 模型假设
3.1.假设船的模型为一个标准的矩形,即船头与船尾宽度一致,以便 于分析问题。 3.2.假设船的最大长度为船外侧与河道的边沿刚好接触时的情况,方 便求解。

四、符号说明
L:船的长度。 X:船外侧与横轴的夹角为 x。

五、模型的建立与求解
5.1.建立船长度 L 与 x 的关系: L=10/Sinx+12/Cosx-5*Tanx-5/Tanx 5.2.画出函数的图形: 源代码:
f[x_]:=10/Sin[x]+12/Cos[x]-5*Tan[x]-5/Tan[x]
Plot[f[x],{x,0,Pi/2},PlotRange?{-10,100}]

结果:
100

80

60

40

20

0.5

1.0

1.5

结果分析:由图可知,函数有唯一的极值点,大约在 0.75 附近。 5.3.画出直观的图像: 源代码:
Plot[ f ' [ x] ,{x,0,Pi/2},PlotRange->{-60,60}]

结果:

60 40 20 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5

-20 -40 -60

结果分析:由微分学的知识,取极值的必要条件是一阶导数等于 0。 5.4.求 f(x)的一阶导数并求其零点: 源代码: D[f[x],x] r=NSolve[ f ' [ x] ==0,x] r[[3]] f[x]/.x-> r[[3]] 结果: Out[15]=?10Cot[]Csc[] + 5Csc[]2 ? 5Sec[]2 + 12Sec[]Tan[]

? ?
5.5.最终结果: X=0.731998 L=21.0372

x ?? 0.449069 ? 0.583988 ? ,

x ?? 0.449069 ? 0.583988 ? , x ?0.731998

? ? ??

综上所述, 以上结果表明 x=0.731998, 函数在处取得极大值 21.0372。 所以船欲驶过该直角湾,船的最大长度为 21.04m。


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