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15算术平均数与几何平均数


算术平均数与几何平均数
1.a>0,b>0 时,称 . 为 a,b 的算术平均数;称 为 a,b 的几何平均数. 2 2 2.定理 1 如果 a、b ∈ R,那么 a +b 2ab(当且仅当 时 取“=”号) . 3.定理 2 如果 a、b ∈ R + ,那么 . 它们的几何平均数. 4.已知 x、y ∈ R + ,x+y=P,xy=S. 有下列命题: . (1) 如果 S 是定值,那么当且仅当 x=y 时,x+y 有最小值 (2) 如果 P 是定值,那么当且仅当 x=y 时,xy 有最大值 例 1.设 a、b ∈ R ,试比较 .
+

a+b ≥ 2

(当且仅当 a=b 时取“=”号)即两个数的算术平均数不小于

. .

a+b , 2

ab ,

2 a2 + b2 , 的大小. 1 1 2 + a b

例 2 ①已知 a, b, c ∈ R ,求证 a + b + c ≥ ab + bc + ca.
2 2 2

②已知 a、b、c 是互不相等的正数,求证: a (b 2 + c 2 ) + b(a 2 + c 2 ) + c( a 2 + b 2 ) > 6abc

, 例 3. ①已知 a,b,x,y∈R+(a,b 为常数) +

a x

b = 1 ,求 x+y 的最小值. y a x b = 1 ,若 x+y 的最小值为 18,求 a,b 的值. y

②已知 a,b,x,y∈R+(a,b 为常数) ,a+b=10, +

例 4 若 x>0,y>0,x+y=1, 求证:(1+

1 1 )(1+ )≥9 x y

一、选择题 1 . 在 下 列 函 数 中 , 当 x 取 正 数 时 , 最 小 值 为 2 的 是 ( 4 1 1 A.y=x+ B.y=lg x+ C.y= x2+1+ 2 D.y=x2-2x+3 x lg x x +1 5 1 2.已知 x< ,则函数 y=4x-2+ 的最大值是( 4 4x-5 A.2 B.3


)

)

C.1

D.1/2

3.设 a,b,c∈R ,且 a+b+c=1,若 M=(

1 1 1 -1)( -1)( -1),则必有( ) a b c

A 0≤M<
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1 8

B

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1 ≤M<1 8

C 1≤M<8
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D M ≥8
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4.在下列函数中,当 x 取正数时,最小值为 2 的是( A、y = x +

) D、y = sin x +

4 1 1 2 B、y = lg( x + 1) + C、y = x + 1 + x lg( x + 1) x2 + 1

1 ? π? ,?0 < x < ? sin x ? 2?

1 1 5.(2009·天津高考)设 a>0,b>0.若 3是 3a 与 3b 的等比中项,则 + 的最小值为( a b 1 A.8 B.4 C.1 D. 4 6.若 a, b, c 为△ABC 的三条边,且 S = a + b + c , p = ab + bc + ac ,则(
2 2 2

)



A. S ≥ 2 p


B. p < S < 2 p

C. S > p

D. p ≤ S < 2 p

7.当 x∈R 时,可得到不等式 x+ R

1 4 x x 4 P ≥2,x+ 2 = + + 2 ≥3,由此可推广为 x+ n ≥n+1,其中 x x 2 2 x x
Cn
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P 等于( A nn
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) B ( n ? 1) n
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n ?1

D x
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n

8.设 a>0 ,b>0 则下列不等式中不成立的是() A.a+b+

1 ab

≥2 2

B (a+b)(
新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源th源/:w w kj.x源gty源m /w cx/ 源 源源 o.c源源 p 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王kc@ 1王o.c王 王 新新 x t 2 6 m w 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源/:w w kj.x源gty源m /w cx/ 源 源源 o.c源源 p 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 x t 2 .6 m 王 w @ 1 o 王kc新王c王 新

1 1 + )≥4 a b

C

新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源th源p/源源源gy源源源cx/ 源 w : w j.x t m /w k o .c 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王kc@ 王新 王 新1 o.c王 x t 2 6 m w 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p源源源gy源源源cx/ 源 /: w j.x t m /w w k o .c 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王 王 x @ 2 .6 m 王 w t 1 新 王kc新王oc王

a2 + b2 ≥a+b ab
)

D

新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源th源p/源源源gy源源源cx/ 源 w : w j.x t m /w k o .c 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王kc@ 王新 王 新1 o.c王 x t 2 6 m w 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p源源源gy源源源cx/ 源 /: w j.x t m /w w k o .c 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王 王 x @ 2 .6 m 王 w t 1 新 王kc新王oc王

2ab ≥ ab a+b

9.若实数 a、b 满足 a+b=1,则 3a+3b 的最小值是( A.18 B.6 C.2 3

4 D.2 3 ) D.5 .

1 1 10.(2009·重庆卷)已知 a>0,b>0,则 + +2 ab的最小值是( a b A.2 B.2 2 C.4 二、填空题 11.若正数 a 、 b 满足 ab = a + b + 3 ,则 ab 的取值范围是

16 12.当 x>0 时,函数 y=9x2+ 的最小值为 x
13.若 lgx+lgy=2,则

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1 1 + 的最小值为 x y

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14.若 a>2,b>3,则 a+b+


1 的最小值为 ( a ? 2 )( b ? 3)

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15.已知 x,y∈R ,且 x+4y=1,则 x·y 的最大值为__________. 三、解答题 16.设 x,y,z>0,且 2x+3y+5z=6,求 xyz 的最大值
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17.若 x,y∈R ,且 2x+8y-xy=0,求 x+y 的最小值.




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