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江苏省扬州市2015届高三高考数学考前指导原创题交流 解析几何(南师二附中)


南师大二附中解析几何解答题题型复习材料
一、江苏省卷解析几何题的风格、特点分析 江苏高考数学命题经过多年的探索,解析几何大题的命题已逐步形成风格:一是难度的 控制逐步准确、合适; 二是与高中教学逐步贴切,起到了较好的导向作用(这两年的高考题 可以作为课堂教学中的好的例、习题) ;三是试卷结构的改革有利于考出学生的真实的水平; 四是试卷结构与形式的调整使得高中数学教学目标更明确。 二、高考数学命题思路分析 1.源于教材的原则 2.以“数学思想”与“思维策略”测试“数学素养”的原则 3.渗透新课程理念的原则 4.新增内容的逐步适应的原则 例 1: 设 F1 ,F2 分别为椭圆 E : 且点 P 和 F1 关于 y 轴上某点对称. (1)求椭圆 E 的方程; (2)过右焦点 F2 的直线 l 与椭圆相交于 A , B 两点,过点 P 且平行于 AB 的直线与椭圆 交于另一点 Q ,问是否存在直线 l ,使得四边形 PABQ 是平行四边形?若存在,求出 l 的方程; 若不存在,说明理由.

3 x2 y 2 右焦点, 点 P (1, ) 在椭圆 E 上, ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、 2 2 a b

考点:考查曲线上的点坐标和曲线方程的关系,弦长公式,中点坐标公式 (1)解:由点 P (1, ) 和 F1 关于 y 轴上某点对称,得 F1 (?1,0) , 所以椭圆 E 的焦点为 F1 (?1,0) , F2 (1,0) , 由椭圆定义,得 2a ?| PF1 | ? | PF2 |? 4 . 所以 a ? 2 , b ? a2 ? c2 ? 3 .

3 2

x2 y2 ? ?1. 故椭圆 E 的方程为 4 3
(2)解:结论:存在直线 l ,使得四边形 PABQ 的对角线互相平分. 理由如下:

由题可知直线 l ,直线 PQ 的斜率存在, 设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,直线 PQ 的方程为 y ?

3 ? k ( x ? 1) . 2

? x2 y 2 ? 1, ? ? 由 ?4 3 ? y ? k ( x ? 1), ?

消去 y ,

得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ?12 ? 0 , 由题意,可知 ? ? 0 ,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 则 x1 ? x2 ?

8k 2 4k 2 ? 12 , , x x ? 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

? x2 y 2 ? ? 1, ? ? 4 3 由? 消去 y , ? y ? 3 ? k ( x ? 1), ? ? 2
得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? (8k 2 ?12k ) x ? 4k 2 ?12k ? 3 ? 0 , 由 ? ? 0 ,可知 k ? ?

1 3 ,设 Q( x3 , y3 ) ,又 P (1, ) , 2 2

则 x3 ? 1 ?

8k 2 ? 12k 4k 2 ? 12k ? 3 x ? 1 ? , . 3 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

若四边形 PABQ 是平行四边形,则 PB 与 AQ 的中点重合, 所以

x1 ? x3 x2 ? 1 ? ,即 x1 ? x2 ? 1 ? x3 , 2 2

故 ( x1 ? x2 )2 ? 4x1x2 ? (1 ? x3 )2 . 所以 (

8k 2 2 4k 2 ? 12 4k 2 ? 12k ? 3 2 ) ? 4 ? ? (1 ? ) . 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

解得 k ?

3 . 4

所以直线 l 为 3x ? 4 y ? 3 ? 0 时, 四边形 PABQ 的对角线互相平分. (利用 | PQ |?| AB | 也可解决问题)

例 2: 设 F1 ,F2 分别为椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,焦距为 4 3 ,a-b=2- 2 a 2 b2

(1)求椭圆方程 (2)已知 P 是椭圆上的一点,求 P 到 M(m,0) (m>0)的距离的最小值. 考点:考查离心率,曲线上的点坐标和曲线方程的关系,两点间的距离公式,以及二次函数的 最小值求法. 解: (1)方程: + =1

(2)设 P(x,y) ,则 x,y 满足:







∴|PM|=

= ;

=

=

∴①若 0<2m<2,即 0<m<1 时,x=2m 时,函数 ∴此时|PM|的最小值为 ;

取最小值 2﹣m ;

2

②若 2m≥2,即 m≥1 时,二次函数 ∴x=2 时,函数 ∴此时|PM|的最小值为|m﹣2|.

在[﹣2,2]上单调递减; 取最小值(m﹣2) ;
2


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