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贵州省兴义七中2012届高考数学二轮复习资料:圆锥曲线与方程


贵州省兴义七中 2012 届高考数学二轮复习资料:圆锥曲线与方程 I 卷 一、选择题 1.设 F 是抛物线 C1

: y 2 ? 2 px? p ? 0? 的焦点,点 A 是抛物线 C1 与双曲线

C2 :

x2 y2 ? ? 1 ?a ? 0, b ? 0? 的一条渐近线的一个公共点,且 AF ? x 轴,则双曲线的离 a2 b2
) B.

心率为( A. 【答案】B 2. 已知双曲线

5 2

5

C.

3

D. 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F 1 、F 2 ,P 为左支一点,P 到左准 a 2 b2


线的距离为 d,若 d ,| PF |,| PF2 | 成等比数列,则该双曲线的离心率的取值范围是( 1

A. ?

?1 ? 5 ? , ?? ? ? ? 2 ?

B. ? 1,

? 1? 5 ? ? ? 2 ? ?

C. ?1 ?

?

2, ??

?

D.

?1,1 ?

2? ?

【答案】D

1 1 ,0 ) l:x?? 4 ,点 B 是 l 上的动点.若过 B 垂直于 y 轴的直线与线段 3. 已知点 F( 4 ,直线
BF 的垂直平分线交于点 M,则点 M 的轨迹是 A.双曲线 【答案】D 4. 已知椭圆 C : B.椭圆 C.圆 ( ) D.抛物线

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,短轴长为 2,过右焦点 F 且斜率为 2 a b 2 ??? ? ??? ? ) k (k ? 0) 的直线与椭圆 C 相交于 A、B 两点.若 AF ? 3FB ,则 k ? (
A.1 B.

2

C.

3

D.2

【答案】B 5.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的一个焦点与抛物线 y 2 ? 4x 的焦点重合,且该双曲线的离心率为 a 2 b2
)

5 ,则该双曲线的渐近线方程为(
A.

1 y ? ? x2 2

B.

y ? ? 2x 4

C.

y ? ?2 x

D. y ? ?

2 x 2

【答案】C

6.椭圆 ax 2 ? by 2 ? 1 与直线 y ? 1 ? x 交于 A 、 两点, B 过原点与线段 AB 中点的直线的斜率为 则

3 , 2

a 值为( b 3 A. 2

) B.

2 3 3
)

C.

9 3 2

D.

2 3 27

【答案】A 7.抛物线 A. (

y?

1 2 x 的焦点坐标是( 4
B. (1, 0)

1 , 0) 16

C. (

1 , 0) 16

D.(0,1 )

【答案】D 8. 若双曲线

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0) 上不存在点P 使得右焦点F 关于直线OP (O 为双曲线的中 a2 b2
( ) D. (1, 2) B. [ 2, ??) C. (1, 2]

心)的对称点在y 轴上,则该双曲线离心率的取值范围为 A. ( 2, ??) 【答案】C

解析:这里给出否定形式,直接思考比较困难,按照正难则反,考虑存在点P 使得右焦点F 关于直线

OP(O 为双曲线的中心) 的对称点在y 轴上,因此只要在这个双曲线上存在点P使得OP 斜率为1即可,
所以只要渐进线的斜率大于1,也就是离心率大于

2 ,求其在大于1的补集;该题通过否定形式考
是这条双曲线的两个焦点, )

查反证法的思想,又考查数形结合、双曲线的方程及其几何性质,是中档题. 9. 点 P 在双曲线 ,且 A.2 【 答 案 】D 【解析】解:设|PF 2 |,|PF1 |,|F1 F2 |成等差数列,且分别设为 m-d,m,m+d,则由双曲线定义和勾股 B.3 上?,

的三条边长成等差数列,则此双曲线的离心率是( C.4 D.5

5d c 2 ?5 2 2 2 定理可知:m-(m-d)=2a,m+d=2c, (m-d) +m =(m+d) ,解得 m=4d=8a,? e ? ? a d 2
故选项为 D 10. 已知抛物线

y 2 ? 2 px( p ? 0) 上一点 M (1, m)(m ? 0) 到其焦点的距离为 5,双曲线
)

x2 ? y 2 ? 1 的左顶点为 A, 若双曲线的一条渐近线与直线 AM 平行, 则实数 a 的值是( a
A. 【答案】A 11.若椭圆

1 9

B.

1 25

C.

1 5

D.

1 3

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 (m>n>0)和双曲线 ? ? 1 (a>b>0)有相同的焦点 F 1 ,F 2 ,P m n a b

是两条曲线的一个交点,则|PF 1 |·|PF 2|的值是 A.m-a 【答案】A 12.双曲线 mx + y =1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m 等于 A.【答案】A
2 2

(
2 2



1 B. (m ? a ) 2

C.m -a

D.

m? a

(

) D.

1 4

B.-4

C.4

1 4

II 卷 二、填空题

? x ? 4 cos ? ? y ? 2 sin ? ? 13. 椭圆 ? ( 为参数)上点到直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 的最大距离是
【答案】

10
y 2 ? 2 x 焦点的弦, | AB |? 4 ,则 AB 中点的横坐标是
.

14. 已知 AB 是过抛物线 【答案】

3 2
.

x2 x2 2 15.若椭圆 2 ? y ? 1(a ? 0) 与双曲线 ? y 2 ? 1 有相同的焦点,则 a= 2 a
【答案】2 16.已知圆 C : x
2

? y 2 ? 6x ? 4 y ? 8 ? 0 ,以圆 C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点


和顶点,则适合上述条件的双曲线的标准方程为

x2 y 2 ? ?1 【答案】 4 12
17. 等轴双曲线的一个焦点是 ,则它的标准方程是 F1 (-6,0) 。

【答案】

x2 y2 ? ?1 18 18

18. 已知抛物线 线的方程为

y 2 ? 6 x 的弦 AB 经过点 P(4,2)且 OA⊥OB(O 为坐标原点),弦 AB 所在直

【答案】12x —23y—2=0

三、解答题 19.已知双曲线与椭圆
x2 y2 ? ? 1 有相同的焦点,且与椭圆相交,其四个交点恰好是一个正方形 6 3

的四个顶点,求此双曲线的方程. 【答案】椭圆的焦点为( 3,0 )和(- 3,0 ) 由椭圆及双曲线的对称性可知,四个交点分别关于 x 轴和 y 轴对称,又是正方形的四个顶点,故 可设其中一个交点为(m,m) 代入椭圆方程,可得 m=± 2 ,于是其中一个交点为( 2 , 2 )
?a ? b ? 3 x2 y 2 ? 设双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 ,有 ? 2 ? 2 ? 1 ,解得 a a b 2 ? 2
2 2
2

? 1 , b2 ? 2

?a

b

x2 ?
可求得双曲线方程为 20. 如图,椭圆 C:

y2 ?1 2

x2 y2 ? ? 1 焦点在 x 轴上,左、右顶点分别为 A 1 、A,上顶点为 B.抛物 2 a2 线 C 1 、C:分别以 A、B 为焦点,其顶点均为坐标原点 O,C 1 与 C 2 相交于直线 y ? 2 x 上一点
P.

⑴求椭圆 C 及抛物线 C 1 、C 2 的方程; ⑵若动直线 l 与直线 OP 垂直, 且与椭圆 C 交于不同两点 M、 已知点 Q ? N, ( 的最小值. 0) 求 2 , , QM ? QN

【答案】(Ⅰ)由题意,A( a ,0),B(0, 的方程为

2 ),故抛物线 C 1 的方程可设为 y 2 ? 4ax ,C 2

x2 ? 4 2y

? y 2 ? 4 ax ? ? 2 由 ?x ? 4 2 y ? ? y ? 2x ?
所以椭圆 C:

得a

? 4, P(8,8 2 )

x2 y2 ? ? 1 ,抛物线 C 1 : y 2 ? 16x, 抛物线 C 2 : x 2 ? 4 2 y 16 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,直线 OP 的斜率为

2 ,所以直线 l 的斜率为 ?

2 2

设直线 l 方程为

y??

2 x?b 2

? x2 y2 ?1 ? ? ? 16 2 由? ,整理得 5x 2 ? 8 2bx ? (8b 2 ? 16) ? 0 ?y ? ? 2 x ? b ? 2 ?
因为动直线 l 与椭圆 C 交于不同两点,所以 ? ? 128 b 解得 ?
2

? 20(8b 2 ? 16) ? 0

10 ? b ? 10

8 2 8b 2 ? 16 设 M( x1 , y1 )、N( x2 , y 2 ),则 x1 ? x2 ? b, x1 x2 ? 5 5 y1 y 2 ? (?
因为 QM

2 2 1 2b b2 ? 8 x1 ? b)(? x2 ? b) ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? b 2 ? 2 2 2 2 5

? ( x1 ? 2, y1 ),QN ? ( x2 ? 2, y2 ) ? ( x1 ? 2, y1 )(x2 ? 2, y2 ) ? x1 x2 ? 2 ( x1 ? x2 ) ? y1 y2 ? 2

所以 QM ? QN

?

9b 2 ? 16b ? 14 5

8 10 ? b ? 10 ,所以当 b ? ? 时, QM ? QN 取得最小值 9 9 8 2 16 8 14 38 (? ) ? ?? 其最小值等于 ? (? ) ? 5 9 5 9 5 9
因为 ? 21.已知椭圆 C :

y 2 x2 2 ? 2 ? 1?a >b> 0? 的离心率为 , 且椭圆上一点到两个焦点的距离之和 2 a b 2

为2

2 .斜率为 k ?k ? 0? 的直线 l 过椭圆的上焦点且与椭圆相交于 P,Q 两点,线段 PQ 的垂

直平分线与 y 轴相交于点 M(0,m). (1)求椭圆的标准方程; (2)求 m 的取值范围. (3)试用 m 表示△MPQ 的面积 S,并求面积 S 的最大值. 【答案】(1)依题意可得 ?

?a ? c ? 2 ? 1, ? ?a ? c ? 2 ? 1, ?
2 2

解得 a ?

2, c ? 1.

y2 ? x 2 ? 1. 从而 a ? 2, b ? a ? c ? 1. 所求椭圆方程为 2
2 2

(2)直线 l 的方程为

y ? kx ? 1.

? y ? kx ? 1, ? 由 ? y2 可得 k 2 ? 2 x 2 ? 2kx ? 1 ? 0. 2 ? ? x ? 1, ?2

?

?

该方程的判别式△= 4k 2 设P 可得

? 4 2 ? k 2 ? 8 ? 8k 2 >0 恒成立.
? 2k 1 , x1 x2 ? ? 2 . 2 k ?2 k ?2

?

?

?x1, y1 ?, Q?x2 , y2 ?, 则 x1 ? x2 ?
y1 ? y2 ? k ? x1 ? x2 ? ? 2 ?
2

4 . k ?2

设线段 PQ 中点为 N,则点 N 的坐标为 ?

2 ? ? ?k , 2 ?. 2 ?k ?2 k ?2?

线段 PQ 的垂直平分线方程为

y?

2 1? k ? ? ?x? 2 ?. k ?2 k ? k ?2?
2
2

1 . k ?2 1 又 k ? 0 ,所以 0< m < . 2
令x

? 0 ,由题意 m ?

(3)点 M

?0, m? 到直线 l : y ? kx ? 1 的距离 d ?

m ?1 1? k 2

?

1? m 1? k 2

PQ ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ?
2

?x1 ? x2 ?2 ? 4 x1 x2
2

4 ? ? 2k ? ? 1? k ? ? 2 ? ? 2 ?k ?2? k ?2

1? k 2 ?

8k 2 ? 8 k2 ? 2

于是

1 1 1? m 8k 2 ? 8 S ?MPQ? ? d ? PQ ? ? ? 1? k 2 ? 2 2 2 1? k 2 k ?2
? 1 ? m 8k 2 ? 8 ? 2 . 2 k ?2

由m ?

1 1 3 , 可得 k 2 ? ? 2. 代入上式,得 S ?MPQ ? 2m?1 ? m ? , k ?2 m
2

即S

1 3 ? 2m?1 ? m ? ?0 < m < ? . ? 2?

设 而

3 2 f ?m? ? m?1 ? m? , 则 f ??m? ? ?1 ? m? ?1 ? 4m?.

1 1 1 f ??m? >0 ? 0<m< , f ??m ? <0 ? <m< , 4 4 2

所以

? 1? ?1 1? f ?m ?在 ? 0, ? 上单调递增,在 ? , ? 上单调递减. ? 4? ?4 2?
1 ? 1 ? 27 时, f ?m ? 有最大值 f ? ? ? . 4 ? 4 ? 256 1 3 6 时,△MPQ 的面积 S 有最大值 . 4 16

所以当 m ?

所以当 m ?

22.如图,椭圆的方程为

x2 2y2 ? 2 ? 1(a ? 0) ,其右焦点为 F,把椭圆的长轴分成 6 等分,过 a2 a

每个等分点作 x 轴的垂线交椭圆上半部于点 P 1 ,P 2 ,P3 ,P 4 ,P5 五个点,且 | P 1F|+|P2 F|+|P3 F|+|P 4F|+|P5 F |=5 (1)求椭圆的方程; (2)设直线 l 过 F 点(l 不垂直坐标轴),且与椭圆交于 A、B 两点,线段 AB 的垂直平分线 交 x 轴于点 M(m, 0),试求 m 的取值范围.

2.

【答案】(1)由题意,知

P 与P 5 , P2与P3分别关于y轴对称. 1

设椭圆的左焦点为 F 1 ,则| P 1 F |+| P5 F|=|P 1F |+| P1 F1 |=2 a ,同时| P 2 F|+|P 3F |=2a 而| P3 F |=a ∴| P 1 F|+|P 2F |+| P3 F |+| P4 F|+|P 5F |=5 a =5

2

?a ? 2

? 椭圆方程为

x2 ? y2 ? 1 2
y ? k ( x ? 1)(k ? 0)

(2)由题意,F(1,0),设 l 的方程为

x2 代入椭圆方程为 ? y 2 ? 1 整理,得 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 因为 l 过椭圆的 2

右焦点,

? l与椭圆交于不同的两点 , B. A


A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), AB中点为 x0 , y0 ) , (
? x2 ? 4k 2 1 2k 2 k , x0 ? ( x1 ? x2 ) ? 2 , y 0 ? k ( x0 ? 1) ? ? 2 2 2 1 ? 2k 2k ? 1 2k ? 1

则 x1

1 ? AB 的垂点平分线方程为 y ? y 0 ? ? ( x ? x0 ) k


y ? 0, 得m ? x0 ? ky0 ?

2k 2 k2 k2 ? 2 ? 2 ? 2k 2 ? 1 2k ? 1 2k ? 1

1 2? 1 k2

由于

1 1 ? 0 ? 2 ? 2 ? 2, 2 k k 1 ?0 ? m ? . 2

23.已知椭圆 C 的中心为坐标原点 O ,焦点在 y 轴上,离心率 e ?

2 ,椭圆上的点到焦点的最 2

短距离为 1 ?

2 , 直线 l 与 y 轴交于点 P 0 ,)与椭圆 C 交于相异两点 A 、, AP ? 3PB . ( m , B 且 2

(1)求椭圆方程; (2)求 m 的取值范围. 【答案】 (1)设 C : 2+ 2=1(a > b >0) ,设 c >0,c =a -b ,由条件知 a-c= ∴a =1,b =c = 2 2
2

y a

2

x b

2 2 2 2

2 c 2 , = , 2 a 2

故 C 的方程为:y + =1 1 2 (2)当直线斜率不存在时: m ? ?

x

2

1 2

当直线斜率存在时:设 l 与椭圆 C 交点为 A (x 1 ,y 1 ) B (x 2 ,y 2 ) ,

? y ? kx ? m 2 2 2 得(k +2)x +2 kmx +(m -1)=0 ?? 2 2 ?2 x ? y ? 1 ( ?Δ =(2 km )2 -4(k 2 +2) m 2 -1)=4(k 2 -2m 2 +2)>0 (*)
x 1 +x2 =
-2 km m -1 , x 1x 2 = 2 2 k +2 k +2
2

∵ AP =3 ∴-x 1 =3 x 2 ∴ ?
2

? x1 ? x2 ? ?2 x2
2 ? x1 x2 ? ?3x2

消去 x 2 ,得 3(x 1 +x 2 ) +4 x1 x2 =0,∴3(

-2 km 2 m -1 ) +4 2 =0 2 k +2 k +2

2

整理得 4 k m +2 m -k -2=0 2 1 1 2-2 m 2 2 2 m = 时,上式不成立;m ≠ 时,k = 2 , 4 4 4 m -1

2

2

2

2

1 1 或 ? m ?1 2 2 2 1 1 2-2 m 2 把k = 2 代入(*)得 ? 1 ? m ? ? 或 ? m ? 1 4 m -1 2 2 1 1 ∴ ?1 ? m ? ? 或 ? m ? 1 2 2 1 1 综上 m 的取值范围为 ? 1 ? m ? ? 或 ? m ? 1 2 2
∴k =
2

2-2 m ? 0,∴ ? 1 ? 2 4 m -1

2

m??

24.已知曲线 ? 上任意一点 P 到两个定点 (1)求曲线 ? 的方程;

F1 ? 3, 0 和 F2

?

?

?

3, 0 的距离之和为 4.

?

(2)设过

? 0, ?2? 的直线 l 与曲线 ? 交于 C 、 D 两点,且 OC ? OD ? 0 ( O 为坐标原点),求
? 2,c ? 3,

??? ???? ?

直线 l 的方程. 【答案】(1)根据椭圆的定义,可知动点 M 的轨迹为椭圆,其中 a 则b ?

a2 ? c2 ? 1.所以动点 M 的轨迹方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

(2)当直线 l 的斜率不存在时,不满足题意. 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为

y ? kx ? 2 ,设 C ( x1 , y1 ) , D( x2 , y2 ) ,∵

??? ???? ? OC ? OD ? 0 ,∴ x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .




y1 ? kx1 ? 2 , y2 ? kx2 ? 2 ,

y1 y2 ? k 2 x1 ? x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 .
? x2 2 ? ? y ? 1, 2 ∴ (1 ? k ) x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 . 由方程组 ? 4 ? y ? kx ? 2. ?

得 1 ? 4k

?

2

?x

2

? 16kx ? 12 ? 0 .则 x1 ? x2 ?
2 2

16k 12 , x1 ? x2 ? , 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

代入①,得 即k
2

?1 ? k ? ? 1 ?12k 4

? 2k ?

16k ?4?0. 1 ? 4k 2

? 4 ,解得, k ? 2 或 k ? ?2 . y ? 2 x ? 2 或 y ? ?2 x ? 2 .

所以,直线 l 的方程是

25.椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 , F2 ,过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相 a2 b2

交于

A , B 两点,且 AF2
AB ? 4 a; 3



AB , BF2

成等差数列.

(1)求证:

(2)若直线 l 的斜率为 1,且点 (0,?1) 在椭圆 C 上,求椭圆 C 的方程. 【答案】(1)由题设,得 2 AB 由椭圆定义 所以,

? AF2 ? BF2



AB ? AF2 ? BF2 ? 4a ,
4 a. 3

AB ?

(2)由点 (0,?1) 在椭圆 C 上,可设椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1(a ? 1) , 2 a



A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) , F1 (?c,0) , l : x ? y ? c ,代入椭圆 C 的方程,整理得
(a 2 ? 1) y 2 ? 2cy ? 1 ? 0 ,

则 AB

2

? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 2( y1 ? y 2 ) 2 ? 2[( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ]

?? 2c ? 2 4 ? 2 8 ? 2?? 2 4 c2 ? a2 ?1 ? 2 ? 2a 2 , ? ? 2 ?? 2 2 a ? 1? a ? 1? (a ? 1) (a ? 1) 2 ?? ? ? 4 4 ?a, 于是有 a ? 2 3 a ?1

?

?

解得 a

? 2 ,故,椭圆 C 的方程为

x2 ? y2 ?1. 2

x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点. 26.设 F1 、 F2 分别是椭圆 4
(1)若 P 是该椭圆上的一个动点,求 (2)设过定点

???? ???? ? PF1 ? PF2 的最大值和最小值;

M (0,2) 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A 、 B ,且∠ AOB 为锐角(其中 O

为坐标原点),求直线 l 的斜率 k 的取值范围. 【答案】(1)易知 a ? 2, b ? 1, c ?

3

所以 F1

??

3, 0 , F2

? ?

3, 0 ,设 P ? x, y ? ,则

?

???? ???? ? PF1 ? PF2 ? ? 3 ? x, ? y ,

?

??

3 ? x, ? y ? x 2 ? y 2 ? 3

?

? x2 ? 1 ?

x2 1 ? 3 ? ? 3x 2 ? 8 ? 4 4

因为 当x

???? ???? ? x???2, 2? ,故当 x ? 0 ,即点 P 为椭圆短轴端点时, PF1 ? PF2 有最小值 ?2 ???? ???? ? ? ?2 ,即点 P 为椭圆长轴端点时, PF1 ? PF2 有最大值 1 .



(2)显然直线

x ? 0 不满足题设条件,可设直线 l : y ? kx ? 2, A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,将

y ? kx ? 2 代入
∴ x1 ? x2

x2 1? ? ? y 2 ? 1,消去 y ,整理得: ? k 2 ? ? x 2 ? 4kx ? 3 ? 0 4 4? ?

??

4k 1 k ? 4
2

, x1 ? x2 ?

3 1 k ? 4
2



由? ?

? 4k ?

2

3 3 1? ? 或k ? ? , ? 4 ? k ? ? ? 3 ? 4k 2 ? 3 ? 0 得: k ? 2 2 4? ?

又0

0

??? ??? ? ? ? ?A0B ? 900 ? cos ?A0B ? 0 ? OA ? OB ? 0

∴ OA ? OB ? x1 x2

??? ??? ? ?
3k 2 k2 ? 3 1 k ? 4
2

? y1 y2 ? 0 又 y1 y2 ? ? kx1 ? 2?? kx2 ? 2? ? k 2 x1x2 ? 2k ? x1 ? x2 ? ? 4

?

1 4

?

?k 2 ? 1 ?8k 2 ?4 ? 1 1 k2 ? k2 ? 4 4 ?k 2 ? 1 ? 0 ,即 k 2 ? 4 1 k2 ? 4
∴ ?2 ? k



?

?2

故由①、②得 ?2 ? k

??

3 3 ?k?2 或 2 2


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