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空间直线的一般方程


第八节 空间直线及其方程 一、空间直线的一般方程
定义 空间直线可看成两平面的交线.

?1 : A1 x ? B1 y ? C1 z ? D1 ? 0 ? 2 : A2 x ? B2 y ? C2 z ? D2 ? 0
? A1 x ? B1 y ? C1 z ? D1 ? 0 ? ? A2 x ? B2 y ? C 2 z ? D2 ?

0 空间直线的一般方程 x

z

?1 ?2

L

o

y

注:表示同一直线的一般方程不唯一。

确定空间直线的条件
? 由两个平面确定一条直线;

? 由空间的两点确定一条直线;
? 由空间的一点和一个方向来确定一条直线。

二、空间直线的参数方程与对称式方程

? 如果一非零向量 s 平行于 ? 一条已知直线L,向量 s 称为
直线L的方向向量. 设定点M 0 ( x0 , y0 , z0 ) ? L,

方向向量的定义:

z

? s

L

? M0
o

?M
y

? x ? M ( x, y, z ) ? L, M 0 M // s ? s ? {m , n, p}, M 0 M ? { x ? x0 , y ? y0 , z ? z0 }
则 { x ? x0 , y ? y0 , z ? z0 } ? t{m, n, p}
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? x ? x0 ? mt ? ? y ? y0 ? nt ? z ? z ? pt ? 0
消去参数t,有

直线的参数方程

x ? x 0 y ? y0 z ? z 0 ? ? 直线的对称式方程 m n p
直线的一组方向数
方向向量的余弦称为直线的方向余弦.

注:1. 表示同一直线的对称方程不唯一;
2. 对称式方程可转化为一般方程 ;
? x ? x0 , x ? x0 y ? y0 z ? z 0 ? 3. ? ? 理解为: ? y ? y0 ? z ? z0 . 0 n p ? n p ?

4. 任一条直线均可表示为对称式方程.
直线的两点式方程:设 直线过 ( x1 , y1 , z1 ), N ( x2 , y2 , z2 ) M ? 则s ? ?x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 ?
x ? x1 y ? y1 z ? z1 ?直线方程为: ? ? x2 ? x1 y2 ? y1 z2 ? z1

例1

用对称式方程及参数方程表示直线

?x ? y ? z ? 1 ? 0 . ? ?2 x ? y ? 3z ? 4 ? 0
解 在直线上任取一点 ( x0 , y0 , z0 )

? y0 ? z 0 ? 2 ? 0 取 x0 ? 1 ? ? , ? y0 ? 3 z 0 ? 6 ? 0
解得 y0 ? 0,

z0 ? ?2

点坐标 (1,0,?2),

因所求直线与两平面的法向量都垂直 取

? ? ? s ? n1 ? n2 ? {4,?1,?3},

x ?1 y ?0 z ? 2 对称式方程 ? ? , 4 ?1 ?3 ? x ? 1 ? 4t ? . 参数方程 ? y ? ? t ? z ? ?2 ? 3 t ?

y 例 2 一直线过点 A( 2,?3,4) ,且和 轴垂直相
交,求其方程.

因为直线和y 轴垂直相交,

所以交点为 B(0,?3, 0),

? 取 s ? BA ? {2, 0, 4}, x?2 y?3 z?4 所求直线方程 ? ? . 2 0 4

x?3 z ?1 例3 求直线L1 : ? y? 与直线 2 0 x ?1 y?2 L2: ? ? z的公垂线方程。 1 0 ? 解:L的方向向量s ? ?2,1, 0?? ?1,0, 1? ? ?1,?2,?1?

L与L1确定一平面?1 , ? n1 ? ?1,?2, ? 1?? ?2,1, 0? ? ?1,?2, 5? L与L2确定一平面? 2 , ? n2 ? ?1,?2, ? 1?? ?1,0, 1? ? ?? 2,?2, 2? ? ?1 : ( x ? 3) ? 2 y ? 5( z ? 1) ? 0 ? 2 : ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? z ? 0 ? x ? 2 y ? 5z ? 8 ? 0 ? 公垂线: ? ?x ? y ? z ?1 ? 0

L1
L

L2

三、两直线的夹角
定义 两直线的方向向量的夹角称之.(锐角)

x ? x1 y ? y1 z ? z1 直线 L1 : ? ? , m1 n1 p1 x ? x 2 y ? y2 z ? z 2 直线 L2 : ? ? , m2 n2 p2
cos( L^L ) ? ,
1 2

| m1m2 ? n1n2 ? p1 p2 | m1 ? n1 ? p1 ? m2 ? n2 ? p2
2 2 2 2 2 2

两直线的夹角公式

两直线的位置关系:
(1) L1 ? L2 ?? m1 m2 ? n1 n2 ? p1 p2 ? 0,
m1 n1 p1 ? ? , ( 2) L1 // L2 ?? m2 n2 p2

? 例如, 直线 L1 : s1 ? {1,?4, 0}, ? 直线 L2 : s2 ? {0,0,1}, ? ? ? ? ? s1 ? s2 ? 0, ? s1 ? s2 , 即 L1 ?L2 .

? x ? 4z ? 3 例 4 一直线 L 过点(-3,2,5),且和直线 ? 2 x ? y ? 5 z ? 1 平行, ?

求其方程.



? ? ? ? s ? n1 ? n2 ? 1

? i

? j 0

? k ? 4 ? ?{4,3,1}

2 ?1 ?5
x?3 y?2 z?5 ? ? . 4 3 1 ? s ? {m, n, p} 方法2:设
? 所求直线方程

? m ? 4p ? 0 m n p ? ? ? ? ? s ?n1 , s ?n2 ? ? ? ? ? 4 3 1 ? 2m ? n ? 5 p ? 0

? 取 s ? {4,3,1}

例 5 一直线过点 M0(2,1,3), 且与直线 L: 直相交,求其方程.

x ?1 y ?1 z ? ? 垂 3 2 ?1

l
M1



设所求直线为l , 先求两直线的交点。
M0

L

过点M0做平面垂直于直线L: 3x+2y-z=5 ? x ? ?1 ? 3 t ? ? L的参数方程: y ? 1 ? 2t 代入平面方程 ? ? z ? ?t ?
所以交点为 M1(2/7, 13/7, -3/7)

? 取 s ? kM 0 M1 ? {2,?1,4}

所求直线方程

x ? 2 y ?1 z ? 3 ? ? . 2 ?1 4

四、直线与平面的夹角
定义 直线和它在平面上的投影直线的夹 角? 称为直线与平面的夹角. ? ? 0 ?? ? . 2

x ? x0 y ? y0 z ? z 0 L: ? ? , m n p ? : Ax ? By ? Cz ? D ? 0,

? s ? {m , n, p}, ? n ? { A, B , C },

?^? ? ( s , n) ? ? ? 2

?^? ? ( s , n) ? ? ? 2

? ? sin? ? cos? ? ? ? ? cos? ? ? ? . 2 2

sin? ?

| Am ? Bn ? Cp | 2 2 2 2 2 2 A ? B ?C ? m ?n ? p
直线与平面的夹角公式

直线与平面的位置关系:

A B C ? ? . (1) L? ? ?? m n p ( 2) L // ? ?? Am ? Bn ? Cp ? 0.

x ?1 y z ?1 ? ? 例 6 设直线L : ,平面 2 ?1 2 ? : x ? y ? 2 z ? 3 ,求直线与平面的夹角. ? ? 解 n ? {1,?1, 2}, s ? {2,?1, 2},

sin? ?

| Am ? Bn ? Cp | 2 2 2 2 2 2 A ? B ?C ? m ?n ? p

7 | 1 ? 2 ? ( ?1) ? ( ?1) ? 2 ? 2 | ? . ? 3 6 6? 9
? ? ? arcsin 7 3 6
为所求夹角.

五、平面束
? A1 x ? B1 y ? C1 z ? D1 ? 0 L: ? ? A2 x ? B2 y ? C 2 z ? D2 ? 0

定义:通过一条直线的 全部平面组成的平面族 称为平面束。

则过直线L的全部平面组成的平面 束为

?1 ( A1 x ? B1 y ? C1 z ? D1 ) ? ?2 ( A2 x ? B2 y ? C 2 z ? D2 ) ? 0
?1,?2不同时为零。
则过直线L的面束为 ( A1 x ? B1 y ? C1 z ? D1 ) ? ? ( A2 x ? B2 y ? C 2 z ? D2 ) ? 0

?x ? 5 y ? z ? 0 例7 求过直线: ? 且与平面 x ? 4 y ? x ? z ? 4 ? 0, ? ? 8 z ? 12 ? 0 组成 角的平面方程. 4 解 过已知直线的平面束方程为
x ? 5 y ? z ? ? ( x ? z ? 4) ? 0,

即 (1 ? ? ) x ? 5 y ? (1 ? ? ) z ? 4? ? 0, ? 其法向量 n ? {1 ? ? ,5,1 ? ? }. ? 又已知平面的法向量n ? {1,?4,?8}.

由题设知 ? ? ? n ? n1 cos ? ? ? 4 n n1

(1 ? ? ) ? 1 ? 5 ? ( ?4) ? (1 ? ? ) ? ( ?8) ? 2 1 ? ( ?4)2 ? ( ?8)2 (1 ? ? )2 ? 52 ? (1 ? ? )2

??3 2 即 ? , 2 2 2? ? 27

3 由此解得 ? ? ? . 4

代回平面束方程为 x ? 20 y ? 7 z ? 12 ? 0.

? y ? 2x 例8 求过点 M 0 (1,1,1) 且与两直线 L1 : ? , ?z ? x ? 1 ? y ? 3x ? 4 L2 : ? 都相交的直线 L. ?z ? 2 x ? 1
解 将两已知直线方程化为参数方程为

?x ? t ?x ? t ? ? L1 : ? y ? 2t , L2 : ? y ? 3t ? 4 ?z ? t ? 1 ? z ? 2t ? 1 ? ?
设所求直线 L 与 L1 , L2 的交点分别为 A( t1 ,2t1 , t1 ? 1) 和 B( t2 ,3t2 ? 4,2t2 ? 1).

? M 0 (1,1,1) 与 A, B 三点共线, 故 M0 A ? ?M0 B (? 为实数).
于是 M 0 A, M 0 B 对应坐标成比例 即有 ,
t1 ? 1 2t1 ? 1 ( t1 ? 1) ? 1 ? ? , t2 ? 1 ( 3t2 ? 4) ? 1 ( 2t2 ? 1) ? 1

解之得 t1 ? 0, t2 ? 0, ? A(0,0,?1), B( 2,2,3)

?点 M0 (1,1,1) 和 B(2,2,3)同在直线 L 上,
故 L 的方程为 x ? 1 ? y ? 1 ? z ? 1 .
1 1 2

思考题
x?4 y z?2 m ? ? 在直线方程 中, 、 2m n 6? p n 、 p 各怎样取值时,直线与坐标面xoy 、

yoz 都平行.


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