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福建省泉州市五校2015届高三数学上学期摸底联考试题 文


福建省泉州五校 2015 届高三上学期摸底联考数学文试卷
考生注意: 1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分.考试时间 120 分钟. 2.请将各题答案填在试卷后面的答题卡上. 3.参考公式:

锥体的侧面积: 锥体的表面积:

s侧 ?

1 c底面周长 ? l s ? c

底面周长 ? l 2 ; 柱体的侧面积: 侧

s 表面积 ? s侧 ? s 底面积; 柱体的表面积: s 表面积 ? s侧 ? 2 s 底面积;

1 V ? Sh 3 ; 柱体的体积公式:V=Sh,其中 S 为底面面积,h 为高 锥体的体积公式:
第 I 卷(选择题 共 60 分) 一.选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.) 1.已知集合

A ? ? x | ?3 ? x ? 3? , B ? ? x | x ? 1?

,则集合 A ? B 为(



A.[0,3) B.[1,3) C.(1,3) D.(-3,1]

2i 2.在复平面内,复数 1 ? i 对应的点的坐标为 (
A. (-1,1) B.(1,1) C.(1,-1) 3.下列有关命题的说法正确的是 ( )
2

) D.(-1,-1)
2

A.命题“ ?x ? R, , 均有 x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是:“ ?x ? R , 使得 x ? x ? 1 ? 0 ” B.“ x ? 3 ”是“ 2 x ? 7 x ? 3 ? 0 ”成立的充分不必要条件
2

? x , y ? , ? x2 , y2 ? , ???, ? xn , yn ? 中 ? ? ? C.线性回归方程 y ? bx ? a 对应的直线一定经过其样本数据点 1 1
的一个点 D.若“

p ? ? ?q ?

”为真命题,则“ p ? q ”也为真命题 )

4.已知 a, b ? R ,且 a ? b ,则(
a ?1 B. b

A. a ? b
2

2

C. lg(a ? b) ? 0

1 1 ( ) a ? ( )b 2 D. 2

5. 已知

?? ? ? ? ? ,? ? 2 ?

?,

sin ? ?

3 tan ? ? ? ? ? ? ? 4 ? 等于( ? 5 ,则 1 D. 7



A. -7

1 B. - 7

C. 7

-1-

6. 某四棱锥的底面为正方形, 其三视图如图所示, 则该四 棱锥的体积等于( ) A. 1 B. 2 C. 3
13

D. 4
正视图 1 侧视图 1

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 b 7.已知双曲线 a 的离心率为
6 2 ,则此双曲线的渐近线方程为(



2 俯视图

A. y ? ?2 x

B. y ? ? 2 x

y??
C.

2 x 2

1 y?? x 2 D.

8.函数 A.

f ? x ? ? log 2 x ?

1 x 的零点所在的区间为(
C.

) D.

? 0,1?

B.

?1, 2 ?

? 2,3?

? 3, 4 ?

9.程序框图如图所示:

如果上述程序运行的结果 S=1320,那么判断框中应填入( A.K<10? B.K≤10? C.K<9? 10. 已知函数

) D.K≤11?

f ? x ? ? cos x, x ? ? 0, 2? ?

有两个不同的零点

f ? x ? ? m ? m ? 0? x1 , x2 , 且方程 有
)

两个不同的实根 1 A.2

x3 , x4 ,若把这四个数按从小到大排列构成等差数列,则实数 m =(
1 B.-2 3 C. 2 D.- 3 2

?x ? 0 ? ?y ? 0 ? 2 2 x? y ? 2 11.在平面区域 ? 内随机取一点,则所取的点恰好落在圆 x ? y ? 1 内的概率是
( )

?
A. 2

?
B. 4

?
C. 8

?
D. 16

12.若曲线 C 上存在点 M ,使 M 到平面内两点

A ? ?5, 0 ?



B ? 5, 0 ?

距离之差的绝对值为 8,

则称曲线 C 为“好曲线” .以下曲线不是“好曲线”的是(



A. x ? y ? 5

B. x ? y ? 9
2 2

x2 y 2 ? ?1 C. 25 9

D. x ? 16 y
2

-2-

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,将答案填在题后的横线上. ) 13. 如图是甲、乙两名篮球运动员 2013 年赛季每场比赛得分的 茎叶图,则甲、乙两人比赛得分的中位数之和为 . 甲 乙

f ?1? ? 1 f ( x ? 1) ? 2 f ( x) 14.已知函数 f ( x) 满足 且 ,
则 f (1) ? f (2) ? … ? f (10) = 6

7 2 8 4 5

1 2 3

2 6 3 1 9 1 2

3 y ? ? ( x ? 0) x 15.圆心在曲线 上,且与直线 3 x ? 4 y ? 3 ? 0 相切
的面积最小的圆的方程是_ 16.如右图,在直角梯形 ABCD 中,

N D

C M

AB // DC , AD ? AB, AD ? DC ? 2, AB ? 3 , 点 M 是 梯形 ABCD 内

A

B

或边界上的一个动点,点 N 是 DC 边的中点,则 AM ? AN 的最大值是________ 三.解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分。解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 在等差数列

?an ? 中, S n 为其前 n 项和 (n ? N ? ) ,且 a2 ? 3, S4 ? 16 ?an ? 的通项公式;
1 a n a n ?1 ,求数列 ?bn ?的前 n 项和 Tn .

(Ⅰ)求数列

bn ?
(Ⅱ)设

18. (本小题满分 12 分)

已知函数

f ? x ? ? 3 sin x cos x ? cos 2 x ?

1 2

(Ⅰ)求函数

f ? x?

的最小正周期 T ;

(Ⅱ)把

f ? x?

?
的图像向左平移 12 个单位,得到的图像对应的函数为

g ? x?

,求函数

g ? x?



? ?? 0, ? ? 4? ? 的取值范围。
19.(本小题满分 12 分) 如图, 在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,BB1 ? 平面 A1 B1C1 , A1 B1 ? A1C1 ,

CC1 上的动点 点 D 、F 分别是棱 BC 、 CC1 上的中点,点 E 是

-3-

(Ⅰ)证明: A1 F // 平面 ADE ; (Ⅱ)证明 : A1 F ? DE ; 20. (本小题满分 12 分) 某区卫生部门成立了调查小组,调查 “常吃零食与患龋齿的关系”,对该区六年级 800 名 学生进行检查,按患龋齿和不患龋齿分类,得汇总数据:不常吃零食且不患龋齿的学生有 60 名,常吃零食但不患龋齿的学生有 100 名,不常吃零食但患龋齿的学生有 140 名. (Ⅰ)完成下列 2 ? 2 列联表,并分析能否在犯错概率不超过 0.001 的前提下,认为该区学生 的常吃零食与患龋齿有关系? 不常吃零食 不患龋齿 患龋齿 总计 (Ⅱ)4 名区卫生部门的工作人员随机分成两组,每组 2 人,一组负责数据收集,另一组负责 数据处理.求工作人员甲分到负责收集数据组,工作人员乙分到负责数据处理组的概率. 常吃零食 总计

k2 ?
附:

n(ad ? bc) 2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

P( K 2 ? k 0 )

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k0
21. (本小题满分 12 分)

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) (1, ) 2 b 2 在椭圆上. 已知椭圆 a 的长轴长为 4,且点
(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)过椭圆右焦点斜率为 k 的直线 l 交椭圆于 A, B 两点,若 OA ? OB ? 0 ,求直线 l 的方程 22. (本小题满分 14 分)

已知函数

f ? x ? ? 2ax ?

1 ? ? 2 ? a ? ln x ? a ? 0 ? x .
的极值;

(Ⅰ)当 a ? 0 时,求

f ? x?

f ? x? (Ⅱ)当 a ? 0 时,讨论 的单调性;
(Ⅲ)若对任意

a ? ? 2,3? , x1 , x2 ? ?1,3?

,恒有

? m ? ln 3? a ? 2 ln 3 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? 成立,

求实数 m 的取值范围。

-4-

2014 年秋季南侨中学、永春三中、永春侨中、荷山中学、南安三中 高中毕业班摸底统一考试文科数学试题答题卡

一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1 C 2 A 3 B 4 D 5 A 6 B 7 C 8 B 9 A 10 D 11 B 12 B

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上) 13. 54
3 ( x ? 2) 2 ? ( y ? ) 2 ? 9 2 15.

14 . 1023

16. 6 三.解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤). 17. (本题满分 12 分) (Ⅰ)设等差数列的公差是 d ?????1 分

? a1 ? d ? 3, ? 4a1 ? 6d ? 16, 由已知条件得 ?
座号 解得 ∴

?????2 分 ?????2 分 ?????1 分

a1 ? 1, d ? 2,

an ? 2n ? 1 . an ? 2n ? 1 ,

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, 姓名

bn ?


1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) an an ?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 ? bn ? 1? 1 1 1 (1 ? ) ? ( ? ) ? ? 2? 3 3 5 ?(

?????3 分

Tn ? b1 ? b2 ?
班级 ?????3 分

1 1 ? 1 1 n ? ) ? ? (1 ? )? 2n ? 1 2n ? 1 ? 2 2n ? 1 2n ? 1

18.(本题满分 12 分)

-5-

解: (Ⅰ)

f ? x ? ? 3 sin x cos x ? cos 2 x ?

1 2

3 1 ? cos 2 x 1 sin 2 x ? ? 2 2 = 2

?????2 分

3 1 sin 2 x ? cos 2 x 2 = 2

?????1 分

?? ? sin ? 2 x ? ? 6? ? =
∴最小正周期 T ? ?

????? 2 分 ????? 1 分

? ? ? ? ?? ?? ? g ? x ? ? sin ? 2 ? x ? ? ? ? ? sin ? 2 x ? ? 12 ? 6 ? 3? ? ? ? (Ⅱ)依题意得:
? ?? x ? ?0, ? ? 4? 2x ?


?????2 分

?

? ? 5? ? ?? , ? 3 ?3 6 ?

?????1 分

? ? ?1 ? ? sin ? 2 x ? ? ? ? ,1? 3 ? ?2 ? ? ∴
?1 ? ,1? ? g ? x? 2 ? ? ∴ 的取值范围为

?????2 分

?????1 分

19.(本题满分 12 分) (Ⅰ) 证明:连结 DF 在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, 点 D 、F 分别是棱 BC 、 CC1 上的中点

? BD平行且等于B1 F

?








BDFB 1











????????? 2 分
-6-

? BB1平行且等于DF ? BB1平行且等于AA1

? 四边形 AA1 FD 是平行四边形
? A1 F // AD
??2 分 ????????

A1 F ? 平面ADE
又 AD ? 平面ADE

?
ADE .
( Ⅱ ) 证 明

A1 F //

平 ??????????2 分



A F ? 平 面 A1 B1C1 , 所 以 : 由 BB1 ? 平 面 A1 B1C1 , 又 1
??2 分 ????2

BB1 ? A1 F

AF 在三角形 A1 B1C1 中, A1 B1 ? A1C1 ,且 F 为 B1C1 的中点,所以 B1C1 ? 1
分 又 BB1

B1C1 ? B1 ,所以 A1 F ? 平面 BCC1 B1 .

又点 D 、 E 分别是棱 BC 、 CC1 上的点,所以 DE ? 平面 BCC1 B1 , 所以 A1 F ? DE . ……………………………………2 分

20. (本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题意可得列联表: 不患龋齿 患龋齿 总计 不常吃零食 60 140 200 常吃零食 100 500 600 总计 160 640 800

注:列联表正确是 3 分

k2 ?
因为

800(60 ? 500 ? 100 ? 140) 2 ? 16.667 ? 10.828 160 ? 640 ? 200 ? 600 。注:此步正确 2 分

所以能在犯错率不超过 0.001 的前提下,为该区学生常吃零食与患龋齿有关系。注:此结论正 确1分 (Ⅱ)设其他工作人员为丙和丁,4 人分组的所有情况有: 收集数据:甲乙;甲丙;甲丁;乙丙;乙丁;丙丁;
-7-

处理数据:丙丁;乙丁;乙丙;甲丁;甲丙;甲乙 共 有 6 种。 ………3 分 记事件 A:工作人员甲分到负责收集数据组,工作人员乙分到负责数据处理 组 ………1 分 则满足条件的情况有:甲丙收集数据,乙丁处理数据;甲丁收集数据,乙丙处理数据共计 2 种………1 分 所 以

P ? A? ?
…… 1 分

2 1 ? 6 3。



21. (本题满分 12 分)

x2 y 2 ? 2 ?1 解: (Ⅰ)由题意 a ? 2 .所求椭圆方程为 4 b .
(1,
又点

x2 3 ? y2 ? 1 ) 2 在椭圆上,可得 b ? 1 .所求椭圆方程为 4 . ………4 分
2 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 a ? 4, b ? 1 ,所以 c ? 则直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 3) .

3 ,椭圆右焦点为 ( 3, 0) .
……..1 分

? ? y ? k ( x ? 3), ? 2 2 2 2 2 2 ? x ? 4 y ? 4 ? 0, 可得 (1 ? 4k ) x ? 8 3k x ? 12k ? 4 ? 0 . 由?
由于直线 AB 过椭圆右焦点,可知 ? ? 0 .

………1 分 ……..1 分



A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
2

,则

x1 ? x2 ?

8 3k 2 12k 2 ? 4 , x x ? 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 ,

?k 2 y1 y2 ? k ( x1 ? 3)( x2 ? 3) ? k [ x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 3] ? 1 ? 4k 2 .………2 分
2

所以

OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ?

12k 2 ? 4 ?k 2 11k 2 ? 4 ? ( ) ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 .

……..1 分

11k 2 ? 4 4 2 11 ?0 k2 ? ,k ? ? 2 11 11 . 由 OA ? OB ? 0 ,即 1 ? 4k ,可得

……….1 分
-8-

所以直线 l 的方程为

y??

2 11 ( x ? 3) 11 .

………1 分

22. (本题满分 14 分)

1 1 2 1-2x f ( x) ? ? ? 2 ln x ? f 、 ( x)= 2 - = 2 ( x ? 0) x x x x 解: (1)当 a ? 0 时, f、 ( x)=


? 1? ?1 ? 1-2x 1 0, ? ? 0 x ? ? ? , ?? ? 2 f x ? ? ? 上是减函数. x 2 ,可知 ,解得 在 ? 2 ? 上是增函数,在 ? 2
1 f ( ) ? 2 ln 2? 2 2

∴ 值.

f ? x?



















………………4 分

1 1 1 2ax 2 ? (2 ? a) x ? 1 (2) f ( x) ? 2ax ? ? (2 ? a) ln x ? f 、 ( x)=2a ? 2 ? (2 ? a) ? x x x x2 …………
……1 分

? 1? ?1 ? ?1 1? 0, ? ? , ?? ? ? ? , ? f ? x? ? 2 ? ? a ? 0 ? a ? 2 .①当 时, 在 和 上是增函数, 在 ? 2 a ? 上是减函数; ………………1
分 ② 数; ③ 当 a?2 时, 数 当

a?2





f ? x?



? 0, ?? ?









………………1 分

f ? x?

? 1? ?1 ? ?1 1? ? 0, ? ? , ?? ? ? , ? ? 上 是 增 函 数 , 在 ?a 2? 上 是 减 函 在 ? a? 和 ?2

………………1 分

(3)当 2 ? a ? 3 时,由(2)可知 ∴

f ? x?



?1,3? 上是增函数,
2 3.

f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ? f ?3? ? f ?1? ? 4a ? ?2 ? a ? ln 3 ?
2分

………………

-9-

由 ∴

(m ? ln 3)a ? 2 ln 3 ? f ( x1 ) ? f ( x2 )

对任意的 a ? ?2.3?, x1 , x 2 ? ?1,3? 恒成立,

(m ? ln 3)a ? 2 ln 3 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) max
2分

………………



?m ? ln 3?a ? 2 ln 3 ? 4a ? ?2 ? a ? ln 3 ? 2
m ? 4? 2 3a

3 对任意 2 ? a ? 3 恒成立,

即 立,





意 ………………1 分

2?a?3





38 2 13 ? 4? ? 3a 3 , 由于当 2 ? a ? 3 时 9


m?

13 3.



……………1 分

- 10 -


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